2021学年新教材高中数学3.2.2第1课时函数奇偶性的概念精品练习含解析人教A版必修一

第1课时 函数奇偶性的概念
必备知识基础练
知识点一
函数奇偶性的判断 1.判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x )＝2－|x |；
(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；
(3)f (x )＝x
x －1； (4)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x >0，－2x ＋1，x <0.
知识点二 奇偶函数的图象
2.已知函数y ＝f (x )是偶函数，且图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．0
3．函数f (x )＝4x
3＋x 3的图象( ) A ．关于y 轴对称
B ．关于直线y ＝x 对称
C ．关于坐标原点对称
D ．关于直线y ＝－x 对称
知识点三 利用函数的奇偶性求值
4.若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝
________；
5．若函数f (x )＝x ＋1x ＋a x
为奇函数，则a ＝________. 6．已知f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx －8，且f (d )＝10，则f (－d )＝________.
关键能力综合练
一、选择题
1．下列函数为奇函数的是( )
A ．y ＝－|x |
B ．y ＝2－x
C ．y ＝1x
3 D ．y ＝－x 2＋8 2．函数f (x )＝1x
－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝x 对称
3．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －2，若f (－3)＝10，则f (3)＝( )
A ．－8
B ．18
C ．10
D ．－14
(1)求证：f (x )是奇函数；
(2)若f (－3)＝a ，试用a 表示f (12)．
3．2.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
必备知识基础练
1．解析：(1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，
又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，
∴f (x )为偶函数．
(2)∵函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，
∴f (x )既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称，
∴f (x )是非奇非偶函数．
(4)f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x >0时，－x <0，
f (－x )＝1－(－2x )＝1＋2x ＝f (x )；
当x <0时，－x >0，
f (－x )＝1＋(－2x )＝1－2x ＝f (x )．
综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数．
2．解析：因为f (x )是偶函数，且图象与x 轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y 轴一定是对称的，故所有实根之和为0.选D.
答案：D
3．解析：∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－4x
3－x 3＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．
答案：C
4．解析：∵函数f (x )在[a －1,2a ]上是偶函数，
∴a －1＋2a ＝0，得a ＝13
. 又f (－x )＝f (x )，即13x 2－bx ＋1＋b ＝13
x 2＋bx ＋1＋b 对x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－23，23均成立，
∴b ＝0.
答案：13
0 5．解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，
即－x ＋1－x ＋a －x ＝－x ＋1x ＋a x
. 显然x ≠0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，
故a ＋1＝0，得a ＝－1.
答案：－1
6．解析：令g (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ，则g (x )为奇函数．
f (d )＝
g (d )－8＝10，∴g (d )＝18，
f (－d )＝
g (－d )－8＝－g (d )－8＝－26.
答案：－26 关键能力综合练
1．解析：A 、D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶，而C 项中函数为奇函数．
答案：C
2．解析：∵函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x ＋x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x
－x 是奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，故选C. 答案：C
3．解析：由f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －2，
得f (x )＋2＝x 5＋ax 3＋bx .
令G (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＝f (x )＋2，
∵G (－x )＝(－x )5＋a (－x )3＋b (－x )
＝－(x 5＋ax 3＋bx )＝－G (x )，
∴G (x )是奇函数．∴G (－3)＝－G (3)，
即f (－3)＋2＝－f (3)－2，又f (－3)＝10，
∴f (3)＝－f (－3)－4＝－10－4＝－14.
答案：D
4．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c (c ≠0)是偶函数，∴b ＝0，
∴g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，故选A.
答案：A
5．解析：F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )．
又x ∈(－a ，a )关于原点对称，∴F (x )是偶函数．
答案：B
6．解析：∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝2－2＝0，f (0)＝0＋1＝1.∴f [f (－2)]＝f (0)＝1.故选A.
答案：A
7．解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )且f (0)＝0，∴f (－2)＝－f (2)＝－5，∴f (－2)＋f (0)＝－5.
答案：－5
8．解析：依题意有⎩
⎪⎨⎪⎧
4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0， 解得－2≤x ≤2且x ≠0，
∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x ＝－4－x 2
x
，定义域关于原点对称， ∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数．
答案：[－2,0)∪(0,2] 奇
9．解析：在f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1中，令x ＝－1，得f (－1)－g (－1)＝1，又f (x )，
g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f (1)＋g (1)＝1.
答案：1
10．解析：(1)f (x )＝1x －1
的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数．
(2)f (x )＝－3x 2＋1的定义域是R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．
(3)f (x )＝1－x ·1＋x |x ＋2|－2
的定义域是[－1,0)∪(0,1]， 所以f (x )的解析式可化简为f (x )＝1－x ·1＋x
x ，满足f (－x )＝－f (x )，所以f (x )
是奇函数．
(4)函数的定义域为R .
当x >0时，－x <0，
则f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1＝f (x )；
当x ＝0时，f (－x )＝f (x )＝1；
当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝f (x )．
综上，对任意x ∈R ，
都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．
学科素养升级练
1．解析：A 正确；B 错误，仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”；C 正确；D 错误，反例：f (x )＝0满足条件，该函数既是奇函数，又是偶函数．
答案：AC
2．解析：∵函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，
∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．
对于选项A ，|f (－x )|－g (－x )＝|f (x )|＋g (x )≠±(|f (x )|－g (x ))，故其不具有奇偶性；
对于选项B ，f (－x )－|g (－x )|＝f (x )－|g (x )|，故函数为偶函数；
对于选项C ，|f (－x )|＋g (－x )＝|f (x )|－g (x )≠±(|f (x )|＋g (x ))，故其不具有奇偶性；
对于选项D ，f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|g (x )|，故函数为偶函数．
综上，选D.
答案：D
3．解析：(1)证明：由已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，
令y ＝－x 得f (0)＝f (x )＋f (－x )，
令x ＝y ＝0得f (0)＝2f (0)，所以f (0)＝0.
所以f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，
故f (x )是奇函数．
(2)因为f (x )为奇函数．
所以f (－3)＝－f (3)＝a ，
所以f (3)＝－a .
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.。