山东省烟台市20122013学年高一下学期期末考试数学扫描版含答案

山东省烟台市20122013学年高一下学期期末考试数学扫描版含答案
参考答案
一、选择题
A B C B B B D A B A D C 二、填空题
13．1 14． 10
5
15．
322
162三、解答题
17．解答：（1）设,a b 所成角为θ，由327-a b 2291247
-⋅+=a a b b ，将
1
==a b 代入得：
12
⋅=
a b ， ………
……4分 所
以
1||||cos cos 2
θθ⋅===
a b a b ，
……………5分 又
[0,]
θπ∈，故
3
π
θ=
，即
,a b
所成角的大小为
3
π． ……………7分
（
2）
因
为
22222|3|969||6||13
+=+⋅+=+⋅+=a b a a b b a a b b ……………10分
所
以313
+=a b ．
……………12分 18．解答：（1）由图像可知2A =.
8
T =，∵
28,4
T π
π
ωω
=
=∴=
，故
()2sin()
4
f x x π
ϕ=+ ……………3分
又图象经过点(1,2),∴2sin()24πϕ+=，即sin()14
π
ϕ+= ∵
||2
π
ϕ<
，∴
4
π
ϕ=
，∴
()2sin()
44
f x x π
π
=+； ……………6分
（2）()(2)2sin()2sin()44424
y f x f x x x πππππ=++=++++ 2sin()2cos()
4444
x x ππππ
=+++
22sin()22424
x x πππ
=+=，
……………9分
∵2[6,]3x ∈--，∴3246
x πππ
-≤≤-， 当
324
x ππ
π-
≤≤-，即
[6,4]
x ∈--时，
()
f x 单调递
减； ……………11分
当
4
6
x π
π
π-≤
≤-
，即
2
[4,]
3
x ∈--时，
()
f x 单调递
增. …………12分
19.解：(1)∵(cos 2,sin )AC αα=-，(cos ,sin 2)BC αα=-，
∴|AC 22(cos 2)sin 54cos ααα-+=-|22cos (sin 2)54sin ααα
+-=-
……………2分
由||=||得
sin cos αα
=. (4)
分
又∵ α∈(2π,2
3π
)，∴ α
=45π
. (5)
分
（2）1(2,2),(cos ,sin )2
AB DC αα=-=-，由//AB DC 得 1
(2sin )2(cos )0
2
αα---=，
……………7分
所以1sin cos 2αα+=, 可
得
2
sin()44
πα+=
，即
3sin 24
α=-
. ……………9分
而
α
∈
3(,)22
ππ
，所以
7
tan()4πα+=……………10分
222sin sin 22sin 2sin cos sin 2tan()
sin 1tan 41cos 3737()(4728
αααααπ
ααααα
++==⋅+--
=-⋅-=
…………12分 20．解答：
方法一：（1）1sin cos 2sin cos ()1sin cos x x x x
f x x x
+++=++ 222sin cos sin cos 2sin cos =
1sin cos (sin cos )sin cos (sin cos )(1sin cos )1sin cos 1sin cos sin cos 24
x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x x x x x x π
++++++++++++==
++++=+=+
)
…………6分
方法二：1sin cos 2sin cos ()1sin cos x x x x f x x x +++=++=2sin cos 11sin cos x x
x x
+
++ 2(sin cos )12sin cos x x x x
+=+
22sin cos (sin cos )1(sin cos 1)(sin cos 1)
x x x x x x x x ∴=+-=+++- 代入
上
式
得
：
()sin cos 2)4
f x x x x π
=+=+ (6)
分 （
2
）
当
[0,]
x π∈时，
5[,]444
x π
ππ+
∈，
2sin()[4x π+∈ ……………8分
所以
2)[2]
4
x π
+∈-，即
()
f x 的最大值为
2
……………10分 此
时
4
2
x π
π
+
=
，所以
4
x π
=
． ……………12分 21．
解
答
：（1）
⊥m n
，
22sin (12sin )3024
x x
x ∴--
= …………………2分
32sin cos sin 22
x x
x x
==
tan 3x ∴=
,3
x k k Z
π
π∴=+
∈, ……
…………5分
∴x 的取值的集合为：{|,}3x x k k Z π
π∴=+∈ ………………6分
（2）2
()2sin (2cos 1)32sin 3224
x
x
f x x t x x t =--=--
2sin()23
x t
π
=--
……………8分
∵函数()f x 有两个零点
∴方程2sin()203
x t π--=当[0,]x π∈时有两个解
∴y=
2t
与y=
2sin([0,]
3
x x π
π-
∈)，图象有两个交
点 ……………10分
当[0,]x π∈时，2[,]333x πππ
-∈-，由图像得，23,2)
t ∈ ……………12分
t
∴的取值范围为32
……………13分
22．解答：(1)解:由已知||||3OA OB ==由三角函数定义得,
因为26cos 33
α==,
所
以
23sin 1cos αα=-=
……………3分
33363323
3)sin 322B x αα-απ-=+===
(6)
分
(2)解:不妨设1
1
2
2
(,),(,),A x y B x y OA OB r ==，
依题意得：11cos ,sin x r y αα
==， 1sin y
r α
=,2
sin()
3
y
r απ
=+. 所
以
22111111
cos sin sin 2224
S x y r r ααα=
=⋅=, ……
………8分
5,),(,
)62
326
απππππ
∈(∴α+∈
所以222
221112||[cos()]sin()sin(2)223343
S
x y r r αααπππ=
=-+⋅+=-+……
10分
依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα,
整理得 cos20=α
因为 62ππ<<α, 所以 23
π
<<πα, 所
以
22
π=
α, 即
4
π
=
α …
…………13分。