2025届江苏省无锡江阴市高三数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2025届江苏省无锡江阴市高三数学第一学期期末教学质量检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()1sin f x x x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )
A ．
2
3
B ．
163
C ．6
D ．与点O 的位置有关
3．已知函数()()2
22ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有
()()
1212
8f x f x x x -≥-，
则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,1-- B ．()2,1-- C ．(],3-∞-
D ．(],2-∞-
4．过直线0x y +=上一点P 作圆()()2
2
152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线
0x y +=对称时，APB ∠=（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
5．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点33,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2
2
13
y x -=
B ．22
126x y -=
C ．2
213x y -=
D ．22
162
x y -=
6．已知函数()sin 22f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4
x k k Z π
π=-∈ B ．+,4
x k k Z π
π=∈
C ．1
,2x k k Z π=
∈ D ．1+,24
x k k Z π
π=
∈ 7．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．
A ．7?S ≥
B ．21?S ≥
C ．28?S ≥
D ．36?S ≥
8．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14
m n
+的最小值为（ ） A ．
97
B ．
53
C ．
43
D ．
1310
9．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=PB 14=AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面
ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．
103
π
B ．
256
π
C ．
409
π
D ．
503
π
11．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为( ) A ．1
B ．
12
C ．
13
D ．
14
12．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =
A ．{|34}x x <<
B ．{|4x x <或6}x >
C ．{|21}x x -<<-
D ．{|14}x x -<<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设(,)P x y 为椭圆22
11612
x y +=在第一象限上的点，则
346x y x y +--的最小值为________.
14．已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．4a =，b ，3
A π
=
则cos2B =_________．
15．若奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()g x 为R 上的单调函数，对任意实数x ∈R 都有()g 221x
g x ⎡⎤-+=⎣⎦，
当[]0,1x ∈时，()()f x g x =，则()2log 12f =________.
16．对于任意的正数,a b ，不等式2
2
2
(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知ABC 满足 ，且23b A π==
，求sinC 的值及ABC 的面积.（
从①4
B π
=，②a =
③a =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.） 18．（12分）已知函数()|3||1|f x x x =-+-．
（1）若不等式()f x x m ≤+有解，求实数m 的取值范围；
（2）函数()f x 的最小值为n ，若正实数a ，b ，c 满足a b c n ++=，证明：48ab bc ac abc ++≥．
19．（12分）已知函数()sin )sin(),23
ππf x x x x x R =+++∈. （Ⅰ）求(2019)f π的值；
（Ⅱ）若()1f α=，且0απ<<，求cos α的值.
20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点2
，
设椭圆Γ的上顶点为B ，右顶点和右焦点分别为A ，F ，
且56
AFB π∠=
． （1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）设直线:(1)l y kx n n =+≠±交椭圆Γ于P ，Q 两点，设直线BP 与直线BQ 的斜率分别为BP k ，BQ k ，若
1BP BQ k k +=-，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21．（12分）已知矩形纸片ABCD 中，6,12AB AD ==，将矩形纸片的右下角沿线段MN 折叠，使矩形的顶点B 落在矩形的边AD 上，记该点为E ，且折痕MN 的两端点M ，N 分别在边,AB BC 上.设,MNB MN l θ∠==，EMN ∆的面积为S .
（1）将l 表示成θ的函数，并确定θ的取值范围； （2）求l 的最小值及此时sin θ的值；
（3）问当θ为何值时，EMN ∆的面积S 取得最小值？并求出这个最小值. 22．（10分）已知函数()412f x x x =--+. （1）解不等式()2f x >；
（2）记函数()52y f x x =++的最小值为k ，正实数a 、b 满足69k a b +=
626b a
ab
+≥ 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解析】
先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解. 【详解】
由题可知()f x 定义域为)(],00,ππ⎡-⋃⎣，
()()()11sin sin f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，
∴()f x 是偶函数，关于y 轴对称， ∴排除C ，D.
又2
636
sin 066612f ππππππ-⎛⎫⎛⎫=-=
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，22
sin 02222f ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴()f x 在()0,π必有零点，排除A.
故选：B. 【点睛】
本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题. 2、B 【解析】
根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论. 【详解】
如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的， 正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形， 顶点O 在平面11ADD A 上，高为2， 所以四棱锥的体积为1
84233
⨯⨯=， 所以该几何体的体积为816833
-=. 故选:B.
【点睛】
本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题. 3、D 【解析】
求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】
()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x
+++'=+=
， 当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减； 不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减， 从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有()()
1212
8f x f x x x -≥-，
即
()()12128f x f x x x -≥-，
()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，
令()()8g x f x x =+，则()22
48a g x ax x
+'=
++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1
240a ax x
+++≤， 从而()22221412
2121
x x a x x ---≤=-++，因为()2
2212221x x --≥-+， 所以实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：D.
【点睛】
此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目. 4、C 【解析】
判断圆心与直线0x y +=的关系，确定直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称的充要条件是PC 与直线0x y +=垂直，从而PC 等于C 到直线0x y +=的距离，由切线性质求出sin APC ∠，得APC ∠，从而得APB ∠． 【详解】
如图，设圆22
(1)(5)2x y ++-=的圆心为(1,5)C -，半径为2，点C 不在直线0x y +=上，要满足直线1l ，2l 关
于直线0x y +=对称，则PC 必垂直于直线0x y +=，∴15222
PC -+=
=，
设APC θ∠=，则2APB θ∠=，21
sin 2
22AC PC
θ==
=，∴30θ=︒,260APB θ∠==︒． 故选：C ．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线0x y +=对称，得出PC 与直线0x y +=垂直，从而得PC 就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角． 5、C 【解析】
根据双曲线方程求出渐近线方程：b y x a =，再将点33,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
代入可得33b a =，连接FA ，根据圆的性质可得233
33
c -=，从而可求出c ，再由222c a b =+即可求解. 【详解】
由双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>， 则渐近线方程：b
y x a
=±
， 3
3
b a ∴=
，
连接FA ，则2333
FA
c b AO a -===2c =， 所以2224c a b =+=，解得2
2
3,1a b ==.
故双曲线方程为2
213
x y -=.
故选：C 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题. 6、C 【解析】
()cos2f x x =，将2x 看成一个整体，结合cos y x =的对称性即可得到答案.
【详解】
由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1
,2
x k k Z π=
∈.
故选：C. 【点睛】
本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数cos x 的性质，是一道容易题. 7、C 【解析】
根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时. 【详解】
第一次循环：0,1S i == 第二次循环：1,2S i == 第三次循环：3,3S i == 第四次循环：6,4S i == 第五次循环：10,5S i == 第六次循环：15,6S i == 第七次循环：21,7S i == 第八次循环：28,8S i ==
所以框图中①处填28?S ≥时，满足输出的值为8. 故选：C 【点睛】
此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目. 8、D 【解析】
根据已知条件和等比数列的通项公式，求出,m n 关系，即可求解. 【详解】
22211232,7m n m n a a a a m n +-==∴+=，
当1,6m n ==时，
1453m n +=，当2,5m n ==时，141310m n +=， 当3,4m n ==时，1443m n +=，当4,3m n ==时，1419
12
m n +=，
当5,2m n ==时，
14115m n +=，当6,1m n ==时，14256
m n +=， 14m n +最小值为13
10
. 故选:D. 【点睛】
本题考查等比数列通项公式，注意,m n 为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题. 9、D 【解析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果 【详解】
故选 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

10、D 【解析】
由题意画出图形，找出△PAB 外接圆的圆心及三棱锥P ﹣BCD 的外接球心O ，通过求解三角形求出三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径，则答案可求. 【详解】
如图；设AB 的中点为D ； ∵PA 2=
PB 14=AB ＝4，
∴△PAB 为直角三角形，且斜边为AB ，故其外接圆半径为：r 1
2
=AB ＝AD ＝2； 设外接球球心为O ；
∵CA ＝CB 10=PAB ⊥面ABC ，
∴CD ⊥AB 可得CD ⊥面PAB ；且DC 226CA AD -=∴O 在CD 上；
故有：AO 2
＝OD 2
+AD 2
⇒R 2
6R ）2
+r 2
⇒R 6
=
∴球O 的表面积为：4πR 2＝4π2
55036π
⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭
.
故选：D .
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题. 11、B 【解析】
设BM tBC =，通过12AN AM =，再利用向量的加减运算可得122
t t AN AB AC -=+，结合条件即可得解. 【详解】 设BM tBC =， 则有()()
11111122222222
t t t
AN AM AB BM AB tBC AB AC AB AB AC -=
=+=+=+-=+. 又AN AB AC λμ=+，
所以12
2t t λμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，有11222t t λμ-+=
+=. 故选B. 【点睛】
本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题. 12、C 【解析】
由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4 【解析】
利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值． 【详解】
解：设点(4cos P α
，)α，其中02
π
α<<
，
∴
33443(6)18()()464646
x y x y x y x y x y x y -+-++=-+=-+------ 418418
4(
)44646x y x y
=--+=-++----， 由4cos x α=
，y α=，02
π
α<<，
可设41844644cos z x y α=
+=---
11cos α=
+-，
导数为2sin (1cos )z αα'=-
-，
由0z '=
，可得23323sin sin αααααα-+--+
22sin )(36cos 3cos sin cos )0αααααααα=---+++=，
sin 0αα-=
或2236cos 3cos sin cos 0αααααα--+++=，
由3)2cos225)2sin(2)336πππ
ααααα-+++=-+++
223)4sin ()(2sin()0333πππααα=-+++=+>，(0)2
π
α<<，
sin 0αα-=
，即tan α=，可得3
π
α=，
由03
π
α<<可得函数z 递减；由
3
2
π
π
α<<
，可得函数z 递增， 可得3
π
α=
时，函数z
取得最小值，且为
1
8
112
+
=-，
则346x y x y
+--的最小值为1． 故答案为：1．
【点睛】
本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题． 14、
7
16
【解析】
利用正弦定理求得角B ，再利用二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】
=
sin B ∴=
187cos 2126416B =-⨯=． 故答案为：7
16
. 【点睛】
本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题. 15、13
- 【解析】
根据()()2f x f x +=-可得,函数()f x 是以4为周期的函数，令()g 22x
x k -+=，可求()21x
g x =-，从而可得
()()21x f x g x ==-，()()22log 122log 3f f =--代入解析式即可求解.
【详解】
令()g 22x
x k -+=，则()g 22x
x k =+-，
由()g 221x
g x ⎡⎤-+=⎣⎦，则()1g k =，
所以()g 221k
k k =+-=，解得1k =，
所以()21x
g x =-，
由[]0,1x ∈时，()()f x g x =， 所以[]0,1x ∈时，()21x
f x =-；
由()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，
所以函数()f x 是以4为周期的函数，
()()()()22222log 12log 3log 4log 32log 32f f f f =+=+=-，
又函数()f x 为奇函数，
所以()()22log 3
221
log 122log 3213
f f -⎡⎤=--=--=-⎣⎦. 故答案为：1
3
- 【点睛】
本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.
16、【解析】
根据,a b 均为正数，等价于2222
2
34442322a ab b b ab
k a ab a ab ++-≤=+++恒成立，令,0b xa x =>，转化为2423,021
x x
k x x -≤+>+恒成立，利用基本不等式求解最值.
【详解】
由题,a b 均为正数，不等式222
(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，等价于
2222
2
34442322a ab b b ab
k a ab a ab ++-≤=+++恒成立， 令,0b xa x =>则2422
3212121
x x k x x x -≤+=++
++， 2
2121
x x ++
≥+
当且仅当2
2121
x x +=
+即1
2
x =时取得等号，
故k 的最大值为
故答案为：【点睛】
此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、见解析 【解析】
选择①时：
4
B π
=,23A π=
，
计算sin C =根据正弦定理得到3a =，计算面积得到答案；
选择②时，a =
b =，
故B A >，A 为钝角，故无解；
选择③时，a B =，
根据正弦定理解得sin B =
sin C =根据正弦定理得到3a =，计算面积得到答案. 【详解】 选择①时：4
B π
=
,2
3A π=
，故(
)sin sin sin cos cos sin 4
C A B A B A B =+=+=. 根据正弦定理：
sin sin a b A B =，故3a =
，故1sin 2S ab C ==.
选择②时，a =
b ，故B A >，A 为钝角，故无解.
选择③时，a B =，根据正弦定理：sin sin a b
A B
=
sin B =
，
解得sin B ，(
)sin sin sin cos cos sin 4
C A B A B A B =+=+=. 根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =
，故19sin 24
S ab C -==. 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18、（1）[1,)-+∞（2）见解析 【解析】
(1)分离m 得到()()31g x f x x x x x =-=-+--，求()g x 的最小值即可求得m 的取值范围；（2）先求出n ，得到
2a b c ++=，利用乘"1"变化即可证明不等式.
【详解】
解：（1）设34,1()()312,134,3x x g x f x x x x x x x x x -+≤⎧⎪
=-=-+--=-+<<⎨⎪-≥⎩
，
∴()g x 在(,3]-∞上单调递减，在(3,)+∞上单调递增． 故min ()(3)1g x g ==-． ∵()m g x ≤有解，∴1m ≥-． 即m 的取值范围为[1,)-+∞．
（2）()|3||1||(3)(1)|2f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时等号成立． ∴2n =，即2a b c ++=．
∵11444()114a a b b c c a b c a b c b c a c a b ⎛⎫
++++=++++++++ ⎪
⎝⎭
44616a b a c b c
b a
c a c b
=+
+++++≥． 当且仅当1
2a =，12b =，1c =时等号成立．
∴
114
8a b c
++≥，即48ab bc ac abc ++≥成立． 【点睛】
此题考查不等式的证明，注意定值乘"1"变化的灵活应用，属于较易题目. 19、
（Ⅰ）
【解析】
（Ⅰ）直接代入再由诱导公式计算可得；
（Ⅱ）先得到1
sin()33πα+=，再根据cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦利用两角差的余弦公式计算可得．
【详解】
解：（Ⅰ）(
)2019sin 20192019sin 201923ππf ππππ⎛
⎫⎛⎫=+
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
sin 0sin 23
ππ
=--
022
=-
=-
；
（Ⅱ）因为()sin )sin(),23
ππf x x x x x R =++++∈
所以1()sin sin 3sin()23
πf x x x x x x =+=+， 由()1f α=得11sin()332
πα+=<， 又因为0απ<<，故
23π2πα<<
，所以cos()33
πα+=-，
所以co 11
s os 32c 33ππαα⎡⎤⎦⎛=⨯+ ⎝⎢⎭⎛⎫=+
- ⎪⎥⎝
⎭
⎣=. 【点睛】
本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
20、（1）2
214
x y += （2）直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-．
【解析】
（1）因为椭圆Γ
过点2
，所以222112a b += ①，
设O 为坐标原点，因为56AFB π∠=
，所以6BFO π
∠=
，又||BF a =，所以12
b a = ②， 将①②联立解得21
a b =⎧⎨=⎩（负值舍去），所以椭圆Γ的标准方程为2
214x y +=．
（2）由（1）可知(0,1)B ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ．
将y kx n =+代入2
214
x y +=，消去y 可得222(14)8440k x knx n +++-=，
则2
2
2
2
2
(8)4(14)(44)16(41)0kn k n k n ∆=-+-=-+>，122814kn x x k -+=+，2122
44
14n x x k -=+，
所以122121************
11()()2(1)()
BP BQ
y y x kx n x x kx n x kx x n x x k k x x x x x x --+-++-+-++=+== 22222
4482(1)8(1)214141444(1)(1)114n kn
k n k n k k k n n n n k --⋅+-⋅
-++====--+-++，
所以21n k =--，此时2216[4(21)1]640k k k ∆=---+=->，所以k 0<， 此时直线l 的方程为21y kx k =--，即(2)1y k x =--，
令2x =，可得1y =-，所以直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-． 21、（1）23
sin cos 124l ππθθθ
⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2
）sin θ=，l
.（3）6πθ=时，面积S
取最小值为【解析】
（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,利用三角函数定义分别表示,,,NB MB ME AM ,且6AM MB +=,即可得到
l 关于θ的解析式；12BN ≤,6BM ≤,则2
312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧
=≤⎪⎪
⎪
=≤⎨⎪
⎪
<<⎪⎩
,即可得到θ的范围； （2）由（1）,若求l 的最小值即求2sin cos θθ的最大值,即可求24sin cos θθ的最大值,设为224
()sin cos f θθθ=,令2cos x θ=,则22()(1)f x x θ=-,即可设2
()(1)g x x x =-,利用导函数判断函数的单调性,即可求得()g x 的最大值,进而
求解； （3）由题,23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ⎛⎫=
=⨯≤≤ ⎪⎝⎭,则2268114sin cos S θθ
=⨯,设2cos 12
4t π
πθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,()3(1)t h t t =-,利用导函数求得()h t 的最大值,即可求得S 的最小值.
【详解】
解:（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,
故cos ,sin ,cos 2sin cos 2NB l MB ME l AM ME l θθθθθ=====. 因为6AM MB +=,所以sin cos2sin 6l l θθθ+=，, 所以263
sin (cos 21)sin cos l θθθθ
=
=+,
又12BN ≤,6BM ≤,则2
312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧
=≤⎪⎪
⎪
=≤⎨⎪
⎪
<<⎪⎩
,所以124ππθ≤≤, 所以23
sin cos 124l ππθθθ
⎛⎫=
≤≤ ⎪⎝⎭
（2）记()2
sin cos ,
12
4
f π
π
θθθθ=≤≤
,
则224
()sin cos f θθθ=,
设2cos x θ=,12
x ⎡∈⎢⎣⎦,则22
()(1)f x x θ=-, 记2()(1)g x x x =-,则2
()23g x x x ='-,
令()0g x '=,则2132x ⎡=
∈⎢⎣⎦
,
当12,23x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,0g x
；当23x ⎡∈⎢⎣⎦
时,0g x
,
所以()g x 在12,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增,在23⎡⎢⎣⎦
上单调递减,
故当2
2cos 3x θ==
时l 取最小值,此时sin θ=
,l . （3）EMN ∆的面积23191sin cos 22sin cos 124S l π
πθθθθθ⎛⎫=
=⨯≤≤ ⎪⎝⎭
,
所以2
26
8114sin cos S θθ=
⨯,设2
cos 124t ππθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,则12t ≤≤
设3
()(1)h t t t =-,则2
3
()34h t t t '=-,令()0h t '=,3142t ⎡=∈⎢⎣⎦
,
所以当13,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,()0h t '>；当34
t ⎡∈⎢⎣
⎦时,()0h t '<,
所以()h t 在13,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增,在32,44⎡⎢⎣⎦
上单调递减,
故当23
cos 4
t θ=
=,即6πθ=时,面积S 取最小值为【点睛】
本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力. 22、（1）35,,53⎛
⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（2）见解析. 【解析】
（1）分2x -≤、124
x -<<
、1
4x ≥三种情况解不等式()2f x >，综合可得出原不等式的的解集；
（2）利用绝对值三角不等式可求得函数()52y f x x =++的最小值为9k =，进而可得出61a b +=，再将代数式
61a b +与6a b +相乘，利用基本不等式求得61
a b
+的最小值，进而可证得结论成立. 【详解】
（1）当2x -≤时，由()2f x >，得1422x x -++>，即130x ->，解得1
3
x <，此时2x -≤； 当124x -<<
时，由()2f x >，得1422x x --->，即530x +<，解得3
5x <-，此时325
x -<<-； 当1
4x ≥
时，由()2f x >，得4122x x --->，即350x ->，解得53x >，此时53
x >. 综上所述，不等式()2f x >的解集为35,,53⎛
⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
；
（2）()()524142414841489y f x x x x x x x x =++=-++=-++≥--+=， 当且仅当()()41480x x -+≤时取等号，所以9k =，61a b +=.
所以
()6161366661224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当
36b a a b =，即1
2a =，112b =时等号成立，所以6124a b
+≥.
≥【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考
查运算求解能力，属于中等题.。