2017-2018学年高中数学北师大1学案：第一章2 集合的基本关系含解析

§2集合的基本关系
预习课本P7～9，思考并完成以下问题
1．子集的定义是什么?如何表示？
2．集合相等的含义是什么?
3．真子集的定义是什么?如何表示？它与子集有什么关系？4．子集有哪些性质?
错误!
1．子集
概念对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B 包含集合A，记作A⊆B（或B⊇A）,就说集合A是集合B的子集。

图示
性质(1）任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.（2）空集是任何集合的子集．也就是说，对于任何一个集合A，都有∅⊆A。

[点睛]
(1)“A是B的子集”的含义是:集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B。

（2）不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合"，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素．
(3）当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作A B(或B⊉A)．
2．集合相等
(1)概念：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B.
(2）图示：
［点睛］若A＝B，则A⊆B且B⊆A;反之，若A⊆B且B⊆A，
则A＝B.
3．真子集
对于两个集合A与B，如果A⊆B,并且A≠B,我们就说集合A 是集合B的真子集，记作A B(或B A）．
[点睛] 对于集合A，B，C,若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A B，B C，则A C；若A⊆B，B C,则A C。

［小试身手]
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√"，错误的打“×"．(1）1∈｛0,1,2}．（)
（2）｛1｝∈{0,1，2｝．( ）
(3){1}⊆｛0，1，2｝．( ）
(4）∅{0，1，2}．（）
（5)｛0，1，2}⊆｛0，1,2｝．（）
(6){0,1，2｝＝｛2,0，1｝．( ）
答案:(1)√(2）×（3）√(4)√（5)√(6）√
2．已知集合M＝｛x｜x是平行四边形}，N＝{x｜x是矩形｝，P＝｛x|x是正方形｝，Q＝{x｜x是菱形｝,则( )
A．M⊆N B．P⊆N
C．Q⊆P D．Q⊆N
答案：B
3．已知集合A＝{－2，3,6m－6｝,若｛6｝⊆A,则实数m＝________。

解析:因为{6}⊆A，根据子集的概念可知，6∈A.
所以6＝6m－6，即m＝2。

答案：2
4．若A＝{1，a，0},B＝｛－1，b,1}且A＝B，则a＝________，b＝________。

答案:－1 0
集合间关系
的判断
[典例］指出下列各对集合之间的关系:
（1）A＝｛－1,1},B＝{x∈Z|x2＝1｝；
(2)A＝{－1,1｝，B＝｛(－1，－1），(－1,1）,(1，－1），（1，1)｝；
（3）A＝{x｜x是等边三角形｝，B＝{x｜x是等腰三角形}；
(4)A＝{x|－1<x<4｝，B＝｛x|x－5<0｝．
［解］（1）用列举法表示集合B＝｛－1,1}，故A＝B。

（2)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是实数对，故A 与B之间无包含关系．
(3)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.
(4)集合B＝｛x｜x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.
判断集合之间的关系其基本方法是转化为判定元素和集合间的关系．首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B，若是，则A⊆B,否则A B。

其次判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A，若是，则B⊆A，否则B A.最后下结论：若A⊆B，B⊆A，则A＝B；若A⊆B，B A,则A B，若A B，B ⊆A，则B A,若上述三种情况均不成立，则A B，B A.
［活学活用]
判断下列各组中的两个集合间的关系．
（1)P＝{x｜x＝2n，n∈Z｝，Q＝{x｜x＝4n，n∈Z｝；
（2）P＝{x｜x＝2n，n∈Z｝，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z};
(3)P＝{x|x＝2n－1，n∈N＊｝,Q＝{x｜x＝2n＋1，n∈N*}；
(4)P＝｛x|x2－x＝0｝，Q＝错误!.
解：(1)∵P是偶数集,Q是4的倍数集，∴Q P。

（2)∵n∈Z，∴n－1∈Z，∴Q表示偶数集，
∵P也表示偶数集，∴P＝Q.
(3）P是由所有正奇数组成的集合,Q是由除1之外的正奇数组成的集合，∵1∉Q,∴Q P.
(4)P＝｛x｜x2－x＝0}＝{0,1｝，在Q中，当n为奇数时，
x＝错误!＝0，当n为偶数时，x＝错误!＝1,
∴Q＝{0,1｝,∴P＝Q.
集合
相等
［典例] 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b｝，B＝{a,ac,ac2｝，若A ＝B，求c的值．
［解] 由集合中元素的互异性，知b≠0，c≠±1，c≠0，a≠0.又A＝B,∴错误!或错误!
∴a＝2ac－ac2或a＝2ac2－ac，
即c2－2c＋1＝0或2c2－c－1＝0，
又∵c≠±1，∴c＝－错误!,
故所求实数c的值为－错误!.
根据两个集合相等求集合中的特定字母，一般是从集合中元素对应相等来建立方程（或方程组)．要注意将对应相等的情况分类列全，最后还需要注意将方程（或方程组)的解代入原集合检验，对不符合题意的解要舍去．
[活学活用］
设a，b∈R，集合｛1，a＋b，a｝＝错误!,则b－a＝（）
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C ∵错误!中,a≠0，∴a＋b＝0。

当b＝1时，a＝－1，这时错误!＝－1，符合题意；
当错误!＝1时，a＝0,不合题意．
故b－a＝1－（－1）＝2.
子集、真子集
的确定
［典例] 试写出满足条件∅M{0,1,2｝的所有集合M.
［解] ∵∅M{0，1,2}，
∴M为｛0，1,2｝的非空真子集．
∴M中的元素个数为1或2.
当M中只有1个元素时，M可以是{0}，｛1｝，｛2}；
当M中有2个元素时，M可以是｛0,1}，{0,2｝，｛1，2｝；
∴M可以是{0}，{1｝，｛2｝,｛0,1｝，｛0,2}，{1，2}．
解答此类问题应根据子集、真子集的概念求解,在写集合的子集或真子集时，一般按元素由少到多的顺序一一列举，可避免重复和遗漏．
［活学活用]
满足｛1，2}M⊆{1，2，3，4,5｝的集合M有________个．解析:由题意可得{1，2}M⊆｛1，2，3,4，5｝，可以确定集合M必含有元素1,2,且含有元素3,4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素:｛1,2,3}｛1,2，4｝｛1，2,5}；
含有四个元素：{1，2，3,4｝｛1,2,3,5}｛1，2，4，5｝；
含有五个元素：{1，2,3，4,5｝．
故满足题意的集合M共有7个．
答案：7
根据集合间的关系求参数的取值范围
［典例］已知集合A＝{x｜－2≤x≤5｝，B＝｛x｜m＋1≤x ≤2m－1}．若B⊆A，求实数m的取值范围．
[解］当B＝∅时,由m＋1＞2m－1，得m＜2。

当B≠∅时,如图所示
则错误!解得2≤m≤3.
综上可知，m的取值范围是m≤3.
［一题多变]
1．[变设问]在本例条件下,若A⊆B，试求m的取值范围．
解：当A⊆B时，B≠∅。

如图所示：
则错误!即错误!故m不存在．
2．［变条件]若A＝{x｜x2＋x－6＝0｝,B＝｛x｜mx－1＝0｝，B ⊆A,如何求解?
解:由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3，
即A＝{2，－3｝．
当m＝0时，B＝∅，此时B⊆A；
当m≠0时，B＝错误!，由B⊆A得错误!＝2或错误!＝－3，
即m＝错误!或m＝－错误!。

故所求实数m的值为0或错误!或－错误!.
利用集合间的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，首先要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．
一般地,当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时应注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助于数轴列不等式或不等式组来处理，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其要注意端点值能否取到．
层级一学业水平达标
1．下列说法：①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅。

其中正确的有（）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：选B ①空集是它自身的子集；②当集合为空集时说法
错误;③空集不是它自身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．
2．第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日在里约举行，若集合A＝｛参加里约奥运会比赛的运动员}，集合B＝｛参加里约奥运会比赛的男运动员｝，集合C＝{参加里约奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（)
A．A⊆B B．B⊆C
C．C A D．B A
解析：选D 易知集合B,C是集合A的子集，且是真子集，而B，C间没有关系，因此只有D选项正确．
3．已知集合A＝{x｜x2－1＝0}，则下列式子表示不正确的是（）
A．1∈A B．｛－1｝∈A
C．∅⊆A D．{1，－1}⊆A
解析：选B “∈”表示元素与集合之间的关系，而B中两个集合之间的关系用∈表示，故选B.
4．满足{a}⊆M{a，b,c，d｝的集合M共有( ）
A．6个B．7个
C．8个D．15个
解析:选B 依题意a∈M，且M｛a，b，c，d｝，因此M的个数即{b,c，d｝的真子集个数，有23－1＝7(个)．
5．设集合A＝{x，y｝，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于（）A．0 B．1
C．2 D．－1
解析：选C 由A＝B，得x＝0或y＝0。

当x＝0时，x2＝0,此时B＝｛0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y＝0时，x ＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适,故y＝0，x＝1,则2x＋y＝2.
6．已知A＝{1，3，m＋2｝,B＝{3,m2},若B⊆A，则m＝________.
解析：由B⊆A知，m2＝1或m2＝m＋2。

当m2＝1时，m＝±1，此时不满足集合元素的互异性；当m2＝m＋2时，m＝－1或m＝2，当m＝－1时，不满足集合元素的互异性，验证知m＝2时成立．答案:2
7．设集合A＝｛x｜1＜x＜2｝，B＝{x|x＜a｝，若A B，则实数a的取值范围为________．
解析:画出数轴可知a≥2。

答案：a≥2
8．已知∅{x｜x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是
________．
解析：因为∅｛x|x2＋x＋a＝0}，所以方程x2＋x＋a＝0有实数解，即Δ＝1－4a≥0，a≤错误!.
答案：a≤错误!
9．已知a∈R，x∈R，A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝｛3，x2＋ax ＋a｝，C＝｛x2＋（a＋1)x－3,1｝．
(1）求使A＝｛2，3,4}的x的值；
（2)求使2∈B,B A的a，x的值；
（3)求使B＝C的a，x的值．
解：（1）由题意,x2－5x＋9＝3，解得x＝2或x＝3。

(2）∵2∈B，B A，∴错误!
∴错误!或错误!
(3）∵B＝C，∴错误!
解得错误!或错误!
10．已知集合A＝{x｜x＜－1或x＞4}，B＝｛x｜2a≤x≤a＋3｝，若B⊆A,求实数a的取值范围．
解:当B＝∅时，只需2a＞a＋3，即a＞3;
当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得错误!或错误!解得a＜－4或2＜a≤3.
综上可得，实数a的取值范围为a＜－4或a＞2。

层级二应试能力达标
1．已知集合A{2，3,7｝，且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有（)
A．3个B．4个
C．5个D．6个
解析:选D 对集合A所含元素的个数分类讨论．A＝∅或{2}或｛3}或｛7｝或｛2，3｝或{2,7}共有6个．
2．已知集合M＝{（x，y)｜x＋y＜0,xy＞0}和P＝｛（x，y)｜x ＜0，y＜0｝，那么( ）
A．P M B．M P
C．M＝P D．M⃘P
解析：选C 由错误!得错误!故M＝P.
3．已知集合A＝｛x｜x2－3x＋2＝0，x∈R｝，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1 B．2
C．3 D．4
解析:选D 因为集合A＝｛1，2｝，B＝｛1,2，3,4}，所以当满
足A⊆C⊆B时,集合C可以为{1，2｝，{1,2，3｝，{1，2，4}，{1,2，3，4｝，故集合C有4个．
4．设集合M＝错误!，N＝xx＝错误!＋错误!,k∈Z,则（）
A．M＝N B．M N
C．M⃘N D．M N
解析：选B 法一：集合M的元素x＝错误!π，是错误!的奇数倍；集合N的元素x＝错误!π，是错误!的整数倍，由此可知M N。

法二：由于是选择题，因此可用特殊值法快速求解，取k＝1,2，3,…，得M＝错误!,
N＝错误!.
由此可知M N。

5．已知集合A＝｛x,xy,x－y｝，B＝{0，|x｜,y},若A＝B，则x ＋y＝________。

解析：∵0∈B，A＝B，∴0∈A.又由集合中元素的互异性可以断定｜x|≠0，y≠0,∴x≠0，xy≠0，故x－y＝0，即x＝y.此时A＝｛x,x2,0}，B＝｛0，|x|，x}∴x2＝|x|，解得x＝±1.当x＝1时，x2＝1，与元素的互异性矛盾．∴x＝－1,即x＝y＝－1,故x＋y＝－2.
答案:－2
6．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R｝，若集合A有且仅有
2个子集,则a的值为________．
解析:因为集合A有且仅有2个子集,所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R）仅有一个根．
①当a＝0时,A＝｛0}符合题意;
②当a≠0时，则Δ＝4－4a2＝0，即a＝±1。

综上所述，a＝0或±1。

答案：0或±1
7．设集合A＝｛x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0,a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
解：因为A＝{x｜x2＋4x＝0｝＝{0,－4｝，B⊆A，所以B可能为∅或{0｝或{－4｝或{0，－4}．
①当B＝∅时,方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解，
所以Δ＝4(a＋1）2－4（a2－1）＜0，所以a＜－1。

②当B＝{0}时，方程x2＋2（a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根0,
由根与系数的关系，得错误!解得a＝－1。

③当B＝｛－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根－4，
由根与系数的关系，得错误!无解．
④当B＝｛0，－4}时，方程x2＋2(a＋1）x＋a2－1＝0有两个不相等的实数根0和－4，
由根与系数的关系，得错误!解得a＝1.
综上可得,a≤－1或a＝1。

8．已知三个集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜x2－ax＋(a－1)＝0｝，C＝{x｜x2－bx＋2＝0}，同时满足B A,C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．
解:A＝｛x|x2－3x＋2＝0}＝｛1,2},∵B＝｛x|x2－ax＋（a－1)＝0}＝｛x|（x－1）［x－(a－1)]＝0｝，∴1∈B。

又B A，∴a－1＝1，即a＝2.∵C＝{x｜x2－bx＋2＝0},且C⊆A,∴C＝∅或｛1}或｛2｝或{1,2｝．当C＝｛1，2}时，b＝3；当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2错误!，此时x＝±错误!（舍去)；当C＝∅时，Δ＝b2－8＜0，即－2错误!＜b＜2错误!。

综上可知，存在a＝2，b＝3或－2错误!＜b＜2错误!满足要求．。