云南省昆明市冠益中学2018年高三数学文测试题含解析

云南省昆明市冠益中学2018年高三数学文测试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变
参考答案：
A
略
2. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）
A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）
B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）
C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）
D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）
参考答案：
D
【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的图象．
【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．
【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．
又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f （2）．
故选D．
3. 已知是奇函数当＞0时，=a x（a＞0且a≠1）且= -3 ，则
a的值是（）
A、B、3 C、9 D、
参考答案：
A
4. 抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是
（A）1 （B）2
（C）（D）
参考答案：
B
，做出轴截面，设正方体的边长为
，则，为面的对角线，所以，所以，代入得。

所以，即，解得，所以正方体的体积为。

选B.
【答案】
略
5. 已知点是双曲线的右焦点,过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆
交于点F和另一个点P,且点P在抛物线上,则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象
（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
参考答案：
D
将函数=cos2x，x∈R的图象向右平移个单位，可得函数y=cos2（x-）=sin2x=2sinxcosx，x∈R的图象，故选D．
7. 在中，已知，那么的形状一定是
( )
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
参考答案：
B
略
8. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题中正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
参考答案：
D
9. 已知球O的面上四点A、B、C、D,
则球O的体积等于（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
略
10. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的实轴长为2，离心率为，则双曲线的方程为（）
A．B．x2－=1 C．D．x2－=1
参考答案：
B
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的简单性质，求出a，b，即可得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的实轴长为2，可得a=1，离心率为，可得，可得c=，
则b==2．
则双曲线的方程为：x2﹣=1．
故选：B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设圆C的圆心为双曲线的右焦点，且圆C与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线截得的弦长等于2,则a的值为．
参考答案：
由题知圆心C(，0)，双曲线的渐近线方程为x±ay＝0，圆心C到渐近线的距离d＝
＝，即圆C的半径为.由直线l被圆C截得的弦长为2及圆C的半径为可知，圆心C到直线l的距离为1，即＝1，解得a＝.
12. （坐标系与参数方程选做题）曲线对称的曲线的极坐标方程为。

参考答案：
ρ=4sinθ
略
13. 已知数列通项公式为，数列通项公式为。

设
若在数列中，则实数的取值范围是。

参考答案：
略
14. 若tan20°+msin20°=，则m的值为．
参考答案：
4
考点：两角和与差的正切函数．
专题：三角函数的求值．
分析：由题意可得可得m=，再利用两角和差的正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，运算求得结果．
解答：解：由于tan20°+msin20°=，可得
m====
=4，
故答案为 4．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，属于中档题．
15. 关于圆，有下列命题：
①圆过定点；
②当时，圆与轴相切；
③点到圆上点的距离的最大值为；
④存在，使圆与轴，轴都相切.
其中真命题是 .(写出所有真命题的序号)
参考答案：
①②③
略
16. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm.
参考答案：
185
本题考查了求解线性回归方程以及利用所求的方程进行预测的方法，难度中等。

根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：
因为所以，
所以回归直线方程为，从而可预测他孙子的身高为182+3=185（cm）。

17. 12．已知抛物线的准线与圆
相切，则．
参考答案：
命题意图：本题考查抛物线与圆的性质，简单题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知点，，直线与直线相交于点，直线与直线的斜率分别记为与，且．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过定点作直线与曲线交于两点，的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）
．
（Ⅰ）设，则
，
所以所以（未写出范围扣一分） (4)
分
（Ⅱ）由已知当直线的斜率存在，设直线的方程是，........5分
联立，消去得，.....................6分
因为，所以，...............7分
设， (8)
分
........10分
当且仅当时取等
号，
面积的最大值为
． (12)
分
考点：1、求曲线的方程；2、椭圆的方程；3、利用基本不等式求最值．
19. （12分）（2013春?潮阳区校级期中）已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q（p≠0且
p≠1），求证：数列{a n}为等比数列的充要条件为q=﹣1．
参考答案：
充分性：当q=﹣1时，a1=S1=p+q=p﹣1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=p n﹣1（p﹣1）．当n=1时也成立．于是数列{a n}为等比数列；必要性：当n=1时，a1=S1=p+q．当n≥2
时，a n=S n﹣S n﹣1=p n﹣1（p﹣1）．由p≠0，p≠1．知==p．故q=﹣1．由此得到q=﹣1是数列{a n}为等比数列的充要条件．
证明：充分性：当q=﹣1时，a1=S1=p+q=p﹣1．
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=p n﹣1（p﹣1）．
当n=1时也成立．
于是==p（n∈N+），
即数列{a n}为等比数列．
必要性：当n=1时，a1=S1=p+q．
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=p n﹣1（p﹣1）．
∵p≠0，p≠1．
∴==p．
∵{a n}为等比数列，
∴==p，=p ，即p﹣1=p+q ．∴q=﹣1．
综上所述，q=﹣1是数列{a n }
为等比数列的充要条件．
本题考查等比数列的性质和应用，考查充要条件的证明．解题时要认真审题，仔细
20. （本题满分12分）已知数列的前项和为，，若数列是公比为的等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和的取值范围．
参考答案：
解：(Ⅰ)，，
当时，，且，，
所以数列的通项公式为．
(Ⅱ)
．
21. 本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形。

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过作直线交椭圆于，，求△的面积
参考答案：
（Ⅰ）+=1（Ⅱ）
22. 如图，已知四边形ABEF于ABCD分别为正方形和直角梯形，平面ABEF⊥平面ABCD，
AB=BC=AD=1，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱ED的中点．
（1）求证：CM∥平面ABEF；
（2）求三棱锥D﹣ACF的体积．
参考答案：
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）几何法：连结AE，BF，交于点O，连结OM，推导出四边形BCMO是平行四边形，由此能证明CM∥平面ABEF．
向量法：以A为原点，AF为x轴，AC为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CM∥平面ABEF．
（2）三棱锥D﹣ACF的体积V D﹣ACF=V F﹣ACD，由此能求出结果．
【解答】证明：（1）几何法：连结AE，BF，交于点O，连结OM，
∵ABEF是正方形，∴O是AE中点，
∵M是DE中点，∴OM AC，
∵ABCD是直角梯形，AB=BC=AD=1，
∴BC AC，∴BC OM，
∴四边形BCMO是平行四边形，
∴BO∥CM，
∵BO?平面ABEF，CM?平面ABEF，
∴CM∥平面ABEF．
（1）向量法：∵四边形ABEF于ABCD分别为正方形和直角梯形，
平面ABEF⊥平面ABCD，AB=BC=AD=1，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱ED的中点．
∴以A为原点，AF为x轴，AC为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，
D（0，2，0），E（1，0，1），M（），C（0，1，1），
=（），
平面ABEF的法向量=（0，1，0），
∵=0，CM?平面ABEF，∴CM∥平面ABEF．
解：（2）∵点F到平面ACD的距离AF=1，
S△ACD=S梯形ABCD﹣S△ABC==1，
∴三棱锥D﹣ACF的体积：
V D﹣ACF=V F﹣ACD===．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．。