专题2.15 第二章 直线和圆的方程2024-2025学年高二数学(2019选择性必修第一册)

第二章直线和圆的方程（思维导图+知识清单）
【人教A版（2019）】
2.1 直线的倾斜角与斜率
【知识点1 直线的倾斜角与斜率】
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．
②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围)
k ＝0
k >0
不存在
k <0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1
x 2－x 1.
【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【知识点2 两条直线平行的判定】
1．两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系
l 1∥l 2⇔k 1＝k 2
l 1∥l 2⇔两直线的斜率都不存在
图示
【知识点3 两条直线垂直的判定】1．两条直线垂直的判定
图示
对应
关系
l1⊥l2(两直线的斜率都存
在)⇔k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率为
0⇔l1⊥l2
【注】判断两条直线是否垂直时：
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式
【知识点1 直线的点斜式、斜截式方程】
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x=x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
【知识点2 直线的两点式、截距式方程】
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点()，则方程叫作直线l的两点式
方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当(或
③当时，直线方程为().
2．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
【知识点3 直线的一般式方程】
1．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x它表示斜率为，在y轴上的截距为
线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
2．辨析直线方程的五种形式
方程形式直线方程局限性选择条件
点斜式不能表示与x轴垂
直的直线
①已知斜率；①已知
一点
斜截式y=kx+b 不能表示与x轴垂
直的直线
①已知在y轴上的截
距；①已知斜率
两点式不能表示与x轴、
y轴垂直的直线
①已知两个定点；①已
知两个截距
截距式不能表示与x轴垂
直、与y轴垂直、
过原点的直线
①已知两个截距；①已
知直线与两条坐标轴
围成的三角形的面积
一般式
Ax+By+C=0
(A,B不全为0)
表示所有的直线
求直线方程的最后结
果均可以化为一般式
方程
【知识点4 方向向量与直线的参数方程】
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即)=t(m,n)，所以①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
2.3 直线的方程（二）
【知识点1 求直线方程的一般方法】
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
【知识点2 两条直线的位置关系】
1．两条直线的位置关系
斜截式一般式
方程l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2
相交k1≠k2
（当时，记为）垂直k1·k2=-1
（当时，记为）平行k1=k2且b1≠b2
或
（当时，记为）
重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)
（当时，记为）
2
平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.
3．垂直的直线的设法
垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
【知识点3 直线方程的实际应用】
1．直线方程的实际应用
利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.
2.4 直线的交点坐标与距离公式
【知识点1 两条直线的交点坐标】
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线直线.
方程组的解
一组无数组无解
直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个
直线l1和l2的位置关系相交重合平行
【知识点2 距离公式】
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线d.
4．中点坐标公式
公式：
设平面上两点，线段的中点为，则.
2.5 点、线间的对称关系
【知识点1 点关于点的对称】
1．点关于点的对称
【知识点2 直线关于点的对称】
1．直线关于点的对称
【知识点3 点关于直线的对称】
1．两点关于某直线对称
(4)几种特殊位置的对称：
点对称轴对称点坐标
P(a,b)
x轴(a,-b)
y轴(-a,b)
y=x(b,a)
y=-x(-b,-a) x=m(m≠0)(2m-a,b) y=n(n≠0)(a,2n-b)
【知识点4 直线关于直线的对称】
2.6 圆的方程
【知识点1 圆的方程】
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程(r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1).
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
方程，求待定系数D，E，F.
【知识点2 二元二次方程与圆的方程】
1．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是.
【知识点3 点与圆的位置关系】
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为A的一般方程为
.平面内一点.
判断方法
位置关系
几何法代数法(标准方程) 代数法(一般方程)
点在圆上|MA|=r(x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内|MA|<r(x0-a)2 +(y0-b) 2<r2
点在圆外|MA|>r(x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
【知识点4 轨迹方程】
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.
2.求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
(2)列出关于x,y的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答.
【知识点5 与圆有关的对称问题】
1．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
2.7 直线与圆的位置关系
【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
位置相交相切相离
交点个
两个一个零个
数
图形
d与r的
关系
d<r d=r d>r
方程组解的情
况有两组不
同的解
仅有一组解无解
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.
①几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.
【知识点2 圆的切线及切线方程】
1．自一点引圆的切线的条数：
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
2．求过圆上的一点的圆的切线方程：
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆上一点P.
②经过圆上一点P的切线方程为
③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为
.
【知识点3 圆的弦长】
1．圆的弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得的关系式，通常把或叫作弦长公式.
【知识点4 与圆有关的最值问题的解题策略】
1．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离；
②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
【知识点5 直线与圆的方程的应用】
1．直线与圆的方程的应用
(1)解决实际问题的步骤：
①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据；
②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程；
③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解；
④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释.
(2)建系原则
建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：
①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴.
②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.
2.8 圆与圆的位置关系
【知识点1 圆与圆的位置关系及判定】
1．圆与圆的位置关系及判断方法
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.
(2)圆与圆的位置关系的判定方法
①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：
与d，则
d=
位置关系
关系式图示
公切线条数
外离d>r1+r2 四条外切d=r1+r2三条相交|r1-r2|<d<r1+r两条
2
内切d=|r1-r2|
一条
内含0≤d<|r1-r2| 无
②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.
【知识点2 两圆的公切线】
1．两圆的公切线
(1)两圆公切线的定义
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.
(2)两圆的公切线位置的5种情况
①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
③相交时，有2条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。

(3)求两圆公切线方程的方法
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，
设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.
【知识点3 两圆的公共弦】
1．两圆的公共弦问题
(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
设圆:，①
圆:，②
①-②，得，③
若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足，所以
.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.
(2)求两圆公共弦长的方法
①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长.
【知识点4 圆系方程及其应用】
1．圆系方程及其应用技巧
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种：
(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是
(2)同心的圆系方程是
(3)过同一定点(a,b)的圆系方程是.
(4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是
.
(5)过两圆::的交点的圆系方程是
().(其中不含有:
,注意检验是否满足题意,以防漏解).
①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程.
②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程.。