湖北省十堰市2019-2020学年中考数学四模试卷含解析

湖北省十堰市2019-2020学年中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，是由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图没变，则拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
2．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在平面直角坐标系中，将点P（4，﹣3）绕原点旋转90°得到P1，则P1的坐标为（）
A．（﹣3，﹣4）或（3，4）B．（﹣4，﹣3）
C．（﹣4，﹣3）或（4，3）D．（﹣3，﹣4）
4．已知反比例函数，下列结论不正确的是（）
A．图象必经过点（﹣1，2）B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内D．若，则
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=10°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个
结论：
①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；
④S△ACD：S△ACB=1：1．
其中正确的有（）
A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④
6．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD=43，连接AC，OD,若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（）
A．23B．4 C．3D．2
7．如右图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（）
A．B．
C．D．
8．已知x=1是方程x2+mx+n=0的一个根，则代数式m2+2mn+n2的值为（）
A．–1 B．2 C．1 D．–2
9．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）
A．B．
C．D．
10．如果数据x1，x2，…，x n的方差是3，则另一组数据2x1，2x2，…，2x n的方差是（）
A．3 B．6 C．12 D．5
11．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为
A．1 B．
2
2
C．2D．31
-
12．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m个小球，其中5 个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为依次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
摸球试验次数100 1000 5000 10000 50000 100000
摸出黑球次数46 487 2506 5008 24996 50007
根据列表，可以估计出m 的值是（）
A．5 B．10 C．15 D．20
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．分解因式：21
a-=________．
14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是_____．
15．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____.
16
2x
-
x的取值范围是_____．
17．如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________米.
18．如图，“人字梯”放在水平的地面上，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60o时，两梯角之间的距离BC的长为3m.周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60o，后又调整α为45o，则梯子顶端离地面的高度AD下降了______m(结果保留根号)．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）在□ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE，求证：AC=DE。

20．（6分）如图，AE∥FD，AE=FD，B、C在直线EF上，且BE=CF，
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）试证明：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形．
21．（6分）在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．求证：△ABP≌△CAQ；请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
22．（8分）如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC、OA、AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O、C、P为顶点的三角形与△AOE相
似，求点P 的坐标；
（3）若将（2）的线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A 、E′B ，求E′A+
1
2
E′B 的最小值．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线2
12
y x bx c =-
++经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．
()1求此抛物线的解析式．
()2求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．
24．（10分）嘉兴市2010～2014年社会消费品零售总额及增速统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求嘉兴市2010～2014年社会消费品零售总额增速．．这组数据的中位数． （2）求嘉兴市近三年(2012～2014年)的社会消费品零售总额．．．．
这组数据的平均数． （3）用适当的方法预测嘉兴市2015年社会消费品零售总额(只要求列出算式，不必计算出结果)．
25．（10分）如图，已知AB 是⊙O 的弦，C 是 »AB 的中点，AB=8，AC= 5，求⊙O 半径的长．
26．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是BC的中点，延长AM到点D，AE＝AD，∠EAD＝90°，CE交AB于点F，CD＝DF．
（1）∠CAD＝______度；
（2）求∠CDF的度数；
（3）用等式表示线段CD和CE之间的数量关系，并证明．
27．（12分）先化简再求值：
21
2
x
x
-
+
÷（
1
2
x+
﹣1），其中x＝
1
3
．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
【分析】
俯视图是从上面看几何体得到的图形，据此进行判断即可．
【详解】
由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图没变，得
拿掉第一排的小正方形，
拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了简单几何体的三视图，解题时注意：俯视图就是从几何体上面看到的图形．2．B
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，
∴△AEG∽△BFE，
∴AE AG BF BE
，
又∵AE=BE，
∴AE2=AG•BF=2，
∴AE=2（舍负），
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，
∴GF的长为3，
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．
3．A
【解析】
【分析】
分顺时针旋转，逆时针旋转两种情形求解即可.
【详解】
解：如图,分两种情形旋转可得P′(3,4),P″(−3,−4)，
故选A.
【点睛】
本题考查坐标与图形变换——旋转，解题的关键是利用空间想象能力.
4．B
【解析】
试题分析：根据反比例函数y=的性质，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大，即可作出判断．
试题解析：A、（-1，2）满足函数的解析式，则图象必经过点（-1，2）；
B、在每个象限内y随x的增大而增大，在自变量取值范围内不成立，则命题错误；
C、命题正确；
D、命题正确．
故选B．
考点：反比例函数的性质
5．D
【解析】
【分析】
①根据作图过程可判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可推知∠CAD＝10°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB是等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用10°角所对的直角边是斜边的一半，三角形的面积计算公式来求两个三角形面积之比.
【详解】
①根据作图过程可知AD是∠BAC的角平分线，①正确；②如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝10°，∴∠CAB＝60°，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2＝∠CAB＝10°，∴∠1＝90°－∠2＝60°，即
∠ADC＝60°，②正确；③∵∠1＝∠B＝10°，∴AD＝BD，∴点D在AB的中垂线上，③正确；④如图，∵在直角△ACD中，∠2＝10°，∴CD＝AD，∴BC＝CD＋BD＝AD＋AD＝AD，S△DAC＝AC∙CD＝
AC∙AD.∴S△ABC＝AC∙BC＝AC∙AD＝AC∙AD，∴S△DAC：S△ABC＝AC∙AD：AC∙AD＝1:1，④正确.故选D.
【点睛】
本题主要考查尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的外角以及等腰三角形的性质，熟练掌握有关知识点是解答的关键.
6．D
【解析】
【分析】
连接CO，由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB，则∠A与∠COB互余，由圆周角定理知∠A=30°，∠COE=60°，则∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x，再求出BE即可. 【详解】
连接CO，∵AB平分CD，
∴∠COB=∠DOB，AB⊥CD，CE=DE=23
∵∠A与∠DOB互余，
∴∠A+∠COB=90°，
又∠COB=2∠A，
∴∠A=30°，∠COE=60°，
∴∠OCE=30°，
设OE=x,则CO=2x,
∴CO2=OE2+CE2
即(2x)2=x2+(23)2
解得x=2，
∴BO=CO=4，
∴BE=CO-OE=2.
故选D.
【点睛】
此题主要考查圆内的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.
7．B
【解析】
【分析】
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有从正面看到的棱都应表现在主视图中.
【详解】
解：从正面看该几何体，有3列正方形，分别有：2个，2个，2个，如图.
故选B．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看到的视图，属于基础题型.
8．C
【解析】
【分析】
把x=1代入x2+mx+n=0，可得m+n=-1，然后根据完全平方公式把m2+2mn+n2变形后代入计算即可. 【详解】
把x=1代入x2+mx+n=0，
代入1+m+n=0，
∴m+n=-1，
∴m2+2mn+n2=(m+n)2=1.
故选C.
【点睛】
本题考查了方程的根和整体代入法求代数式的值，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的根. 9．D
【解析】
【分析】
根据数轴三要素：原点、正方向、单位长度进行判断.
【详解】
A选项图中无原点，故错误；
B选项图中单位长度不统一，故错误；
C选项图中无正方向，故错误；
D选项图形包含数轴三要素，故正确；
故选D.
【点睛】
本题考查数轴的画法，熟记数轴三要素是解题的关键.
10．C
【分析】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ，再根据方差公式进行计算：()()()()222221231n S x x x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-++-⎣
⎦L 即可得到答案． 【详解】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，
则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ，
根据方差公式：()()()()222221231n S x a x a x a x a n ⎡⎤=
-+-+-++-⎣⎦L =3， 则()()()()22222123122222222n S x a x a x a x a n L ⎡⎤=
-+-+-++-⎣⎦ =()()()()222212314444n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣
⎦L =4×()()()()22221231n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣
⎦L =4×3
=12，
故选C ．
【点睛】本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．
11．C
【解析】
作点A 关于MN 的对称点A′,连接A′B ，交MN 于点P ，则PA+PB 最小，
连接OA′,AA′.
∵点A 与A′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′，
∵点B 是弧AN ∧的中点，
∴∠BON=30 °，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=1，
∴2
∴2
故选：C.
【解析】
【分析】
由概率公式可知摸出黑球的概率为，分析表格数据可知的值总是在0.5左右，据此可求解m值.
【详解】
解：分析表格数据可知的值总是在0.5左右，则由题意可得，解得m=10,
故选择B.
【点睛】
本题考查了概率公式的应用.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．(a+1)(a-1)
【解析】
【分析】
根据平方差公式分解即可.
【详解】
21
a-=(a+1)(a-1).
故答案为：(a+1)(a-1).
【点睛】
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
5
14．
【解析】
【详解】
如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，
则AC=4，OC=2，
在Rt△ACO中，AO=2222
4225
AC OC
+=+=，
∴sin∠OAB=
5
25
OC
OA
==．
故答案为5
．
15．2π3
【解析】
根据弧长公式可得：602
180
π
⨯⨯
=
2
3
π，
故答案为2
3π.
16．x＜1
【解析】
【分析】
要使代数式
2x
-
有意义时，必有1﹣x＞2，可解得x的范围．
【详解】
根据题意得：1﹣x＞2，
解得：x＜1．
故答案为x＜1．
【点睛】
考查了分式和二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，分式有意义，分母不为2．17．1
【解析】
【分析】
根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得ED DC
DC FD
=；即DC2=ED?FD，代入数据
可得答案．
【详解】
根据题意，作△EFC，
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=3，FD=12，
易得：Rt△EDC∽Rt△DCF，
有ED DC DC FD
=
，即DC2=ED×FD，
代入数据可得DC2=31，
DC=1，
故答案为1．
18．
()
332
2
-
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】
解：如图1所示：
过点A作AD BC
⊥于点D，
由题意可得：B C60
∠∠
==o，
则ABC
V是等边三角形，
故BC AB AC3m
===，
则
33
AD3sin60m
2
o
==，
如图2所示：
过点A作AE BC
⊥于点E，
由题意可得：B C60
∠∠
==o，
则ABC
V是等腰直角三角形，BC AB3m
==，
则
32
AE3sin45
==
o，
故梯子顶端离地面的高度AD下降了
332
m.
2
故答案为：
332
2
．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确画出图形利用锐角三角三角函数关系分析是解题关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．见解析
【解析】
【分析】
在∆ABC 和∆EAD 中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B ＝∠DAE 证得∆ABC ≌∆EAD ，继而证得AC ＝DE.
【详解】
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，
∴∠DAE ＝∠AEB.
∵AB ＝AE ，
∴∠AEB ＝∠B.
∴∠B ＝∠DAE.
∵在△ABC 和△AED 中，
AB AE B DAE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EAD(SAS)，
∴AC=DE.
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据平行线性质求出∠B=∠C ，等量相减求出BE=CF ，根据SAS 推出两三角形全等即可； （2）借助（1）中结论△ABE ≌△DCF ，可证出AE 平行且等于DF ，即可证出结论.
证明：（1）如图，∵AB ∥CD ，
∴∠B=∠C ．
∵BF=CE
∴BE=CF
∵在△ABE 与△DCF 中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
（2）如图，连接AF、DE．
由（1）知，△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，
∴∠AEF=∠DFE，
∴AE∥DF，
∴以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
21．(1)证明见解析；(2) △APQ是等边三角形．
【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形的性质可得AB＝AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ;
(2)根据全等三角形的性质得到AP＝AQ ，再证∠PAQ ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形. 【详解】
证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP和△ACQ中，
AB AC
ABP ACQ
BP CQ
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
（2）∵△ABP≌△ACQ，∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
∵∠BAP+∠CAP=60°，∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，
∴△APQ是等边三角形.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证，△ABP≌△ACQ是解题的关键.
22．3
2﹣
23
3
x；（2）点P坐标为（0
3
0，
3
3
）；（3）
21
2
.
【解析】
【分析】
（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）∠EOC=30°，由OA=2OE，
OC=23
3
，推出当OP=
1
2
OC或OP′=2OC时，△POC与
△AOE相似；（3）如图，取Q（
1
2
，0）．连接AQ，QE′．由△OE′Q∽△OBE′，推出
1
2
E Q OE
BE OB
''
==
'
，推出E′Q=
1
2
BE′，推出AE′+
1
2
BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+
1
2
E′B的最小值就是线段AQ的长.
【详解】
（1）过点A作AH⊥x轴于点H，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOH=60°，
∴OH=1，AH=3，
∴A点坐标为：（-1，3），B点坐标为：（2，0），
将两点代入y=ax2+bx得：
3
420
a b
a b
⎧-
⎪
⎨
+
⎪⎩
＝
＝
，
解得：
3
23
3
a
b
⎧
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
＝
＝
，
∴抛物线的表达式为：y=
3
x2-
23
x；
（2）如图，
∵C（1，-3），
∴tan∠EOC=
3 EC
OE
=，
∴∠EOC=30°，
∴∠POC=90°+30°=120°，∵∠AOE=120°，
∴∠AOE=∠POC=120°，
∵OA=2OE，OC=23
3
，
∴当OP=1
2
OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似，
∴OP=
3
3
，OP′=
43
3
，
∴点P坐标为（0，3
）或（0，
43
3
）．
（3）如图，取Q（1
2
，0）．连接AQ，QE′．
∵
1
2 OE OQ OB OE
'
==
'
，∠QOE′=∠BOE′，∴△OE′Q∽△OBE′，
∴
1
2
E Q OE
BE OB
''
==
'
，
∴E′Q=1
2 BE′，
∴AE′+1
2
BE′=AE′+QE′，
∵AE′+E′Q≥AQ，
∴E′A+1
2
E′B的最小值就是线段AQ22
321
()(3)
2
+=．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的
关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构造相似三角形解决最短问题，属于中考压轴题． 23．()1 21242
y x x =-
++；()212． 【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质可求得B 、C 的坐标，代入抛物线解析式可求得b 、c 的值，则可求得抛物线的解析式；
（2）把抛物线解析式化为顶点式可求得D 点坐标，再由S 四边形ABDC =S △ABC +S △BCD 可求得四边形ABDC 的面积．
【详解】 ()1由已知得：()0,4C ，()4,4B ，
把B 与C 坐标代入212
y x bx c =-++得： 4124b c c +=⎧⎨=⎩
， 解得：2b =，4c =， 则解析式为21242
y x x =-++； ()2∵221124(2)622
y x x x =-++=--+， ∴抛物线顶点坐标为()2,6， 则114442841222
ABC BCD ABDC S S S =+=
⨯⨯+⨯⨯=+=V V 四边形． 【点睛】
二次函数的综合应用．解题的关键是：在（1）中确定出B 、C 的坐标是解题的关键，在（2）中把四边形转化成两个三角形．
24．（115）这组数据的中位数为15.116%；（116）这组数据的平均数是115 11609.116亿元；（15）116016
年社会消费品零售总额为115 15167×
(115＋15.116%)亿元． 【解析】
试题分析：（115）根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案； （116）根据平均数的定义，求解即可；
（15）根据增长率的中位数，可得116016年的销售额．
试题解析：解：（115）数据从小到大排列115．16%，116．5%，15．116%，16．115%，5．7%， 则嘉兴市1160115～116015年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数是15．116%；
（116）嘉兴市近三年（1160116～116015年）的社会消费品零售总额这组数据的平均数是：
（6．16+7．6+515．7+9．9+1150．0）÷5=11575．116（亿元）；
（15）从增速中位数分析，嘉兴市116016年社会消费品零售总额为1150×（115+15．116%）=16158．116716（亿元）．
考点：115．折线统计图；116．条形统计图；15．算术平均数；16．中位数．．
25．5
【解析】
试题分析：连接OC交AB于D，连接OA，由垂径定理得OD垂直平分AB，设⊙O的半径为r，
在△ACD中，利用勾股定理求得CD=2，在△OAD中，由OA2=OD2+AD2，代入相关数量求解即可得. 试题解析：连接OC交AB于D，连接OA，
由垂径定理得OD垂直平分AB，
设⊙O的半径为r，
在△ACD中，CD2+AD2=AC2，CD=2，
在△OAD中，OA2=OD2+AD2，r2=（r-2）2+16，
解得r=5，
∴☉O的半径为5.
26．（1）45;（2）90°;（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一可得结论；
（2）连接DB，先证明△BAD≌△CAD，得BD＝CD＝DF，则∠DBA＝∠DFB＝∠DCA，根据四边形内角和与平角的定义可得∠BAC+∠CDF＝180°，所以∠CDF＝90°；
（3）证明△EAF≌△DAF，得DF＝EF，由②可知，2
可得结论．
CF CD
【详解】
（1）解：∵AB＝AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝45°，
故答案为：45
（2）解：如图，连接DB．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，M是BC的中点，
∴∠BAD ＝∠CAD ＝45°．
∴△BAD ≌△CAD ．
∴∠DBA ＝∠DCA ，BD ＝CD ．
∵CD ＝DF ，
∴BD ＝DF ．
∴∠DBA ＝∠DFB ＝∠DCA ．
∵∠DFB ＋∠DFA ＝180°，
∴∠DCA ＋∠DFA ＝180°．
∴∠BAC ＋∠CDF ＝180°．
∴∠CDF ＝90°．
（3）()21CE CD =+． 证明：∵∠EAD ＝90°，
∴∠EAF ＝∠DAF ＝45°．
∵AD ＝AE ，
∴△EAF ≌△DAF ．
∴DF ＝EF ．
由②可知，2CF CD =．
∴()
21CE EF CF DF CF CD CF CD =+=+=+=+．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键在于掌握判定定理及性质.
27．23
【解析】
分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
详解：原式=111222
x x x x x +---÷++（）（） =112•21x x x x x （）（）（）+-++-+ =1x --（）
=1x - 当13x =时，原式=113-=23
． 点睛：本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．。