备战2013高考数学第一轮复习配套课时作业 选考4-1.2 直线与圆的位置关系、圆锥曲线性质的探讨 新人教B版

第2讲 直线与圆的位置关系、圆锥曲线性质的探讨
随堂演练巩固
1.如图所示,过O 外一点P 作一条直线与O 交于A,B 两点,已知PA=2,过点P 的O 的切线长
PT=4,则弦AB 的长为 .
【答案】 6
【解析】 由切割线定理知
2PT PA PB =⋅,
∴2
482
PB ==.
∴弦AB 的长为PB-PA=8-2=6.
2.如图所示,已知PC 、DA 为O 的切线,C 、A 分别为切点,AB 为O 的直径,若122
CD DA DP =,=,
则AB= .
【答案】 43【解析】 由12CD CD DA ==,=,∴DP=4.
在Rt △ADP 中224223AP ,=-=由切割线定理得2PC PA PB =⋅,
∴2623(23)AB =.
∴43AB =3.如图所示,已知AB 为O 的直径,AC 为弦,OD ∥BC,交AC 于D,BC=
(1)判断OD 与AC 的关系,并求OD 的长; (2)若2sinA-1=0,求O 的直径.
【解】 (1)∵AB 为O 的直径,∴90ACB ∠=. ∵OD ∥BC, ∴90ADO ACB ∠=∠=.∴OD AC ⊥.
∵△AOD ∽△ABC,∴12
OD AO BC AB ==.
∴12
OD BC ==
(2)∵2sinA-1=0,∴sin 12A =.∴sin 12
BC A AB ==.
∴AB=2BC=8 cm.∴O 的直径为8 cm.
4.如图所示,已知AB 是O 的直径,且AB=10 cm,BC=8 cm,CD 平分ACB ∠.
(1)求AC 和DB 的长;
(2)求四边形ACBD 的面积.
【解】 (1)∵AB 为O 的直径, ∴90ACB ∠=90ADB ,∠=. 在Rt △ABC 中,AB=10,BC=8,
∴6(AC =
=cm).
又∵CD 平分ACB ∠,
∴ACD BCD ∠=∠.
∴AD=BD.∴BD =
=cm). 11
(2)6822
ABC ABD ACBD S S S =+=⨯⨯+⨯四边形49(=cm 2).
5.如图,在矩形ABCD 中,过A 、B 两点的O 切CD 于点E,交BC 于点F AH BE ,⊥于H,连接EF.
(1)求证:12∠=∠;
(2)若BC=6,CE=3,求EF 的长.
【解】 (1)证明:∵CD 是O 的切线, ∴1EBF ∠=∠.
又∵90EBF ABE ∠+∠=290ABE ,∠+∠=, ∴2EBF ∠=∠. ∴12∠=∠.
(2)∵1EBF C C ∠=∠,∠=∠, ∴△CEF ∽△CBE.
∴2
CE CF CB =⋅,即9=6CF.
∴32
CF =.
∴22
939542
EF CE CF =+=+=.
课后作业夯基
1.如图,已知Rt △ABC 的两条直角边AC,BC 的长分别为3 cm,4 cm,以AC 为直径的圆与AB 交于点D,
则BD DA
=
.
【答案】 169
【解析】 ∵90C ∠=,AC 为圆O 的直径, ∴BC 为圆O 的切线,AB 为圆O 的割线.
∴2BC BD BA =⋅,即165BD =⋅,解得16BD =.
∴DA 169555
BA BD =-=-=.
∴169
BD DA =.
2.如图,已知PA 、PB 是圆O 的切线,A 、B 分别为切点,C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点,若
120ACB ∠=
,则APB ∠=
.
【答案】 60
【解析】 连接OA 、OB,则90PAO PBO ∠=∠=, ∵120ACB ∠=,∴120AOB ∠=.
又P 、A 、O 、B 四点共圆,故60APB ∠=.
3.如图,点P 在圆O 直径AB 的延长线上,且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点CD AB ,⊥于D 点,则CD=
.
【答案】3
【解析】 由切割线定理知2PC PA PB ,=⋅, 解得23PC =.
又OC PC ⊥,故2323PC OC CD PO
⨯⋅==
=.
4.如图,AB 为O 的直径,AC 切O 于点A,且22AC = cm,过C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D,CM=MN=ND,则AD 的长等于 cm.
【答案】 27【解析】 由切割线定理知2
CA =CM ⋅22CN CM =,因为22CA =,
所以CM=2,CD=6,
所以2227AD CD CA =-=5.如图,AB,CD 是半径为a 的圆O 的两条弦,它们相交于AB 的中点2303
a P PD OAP ,=,∠=,则
CP= .
【答案】 98
a
【解析】 ∵AP=PB,∴OP AB ⊥.
又∵30OAP ∠=,∴3AP =
. 由相交弦定理得2
CP PD AP ⋅=,
∴22339428
AP CP a a PD a ==⨯=. 6.如图O ,的弦ED,CB 的延长线交于点A,若4BD AE AB BC ⊥,=,=2,AD=3,则DE=
,CE= .
【答案】 5 【解析】 由圆的割线定理知:
AB AC AD AE ⋅=⋅,即4(4+2)=3AE, ∴AE=8,∴DE=5,连接EB,∵90EDB ∠=, ∴EB 为直径, ∴90ECB ∠=. 由勾股定理,得
22222216925EB DB ED AB AD ED =+=-+=-+=32. 在Rt △ECB 中22224EB BC CE CE ,=+=+,
∴2
28CE =.
∴CE =7.如图,PC 切O 于点C,割线PAB 经过圆心O,弦CD AB ⊥于点E,已知O 的半径为3,PA=2,则
PC= ,OE= .
【答案】 4 95
【解析】 因为PB=PA+AB=8,
所以在O 中,由切割线定理得:
22816PC PA PB =⋅=⨯=,故PC=4; 连接OC,则OC CP ⊥,
在Rt △OCP 中,由射影定理得:2
PC PE PO =⋅,
则2165
PC PE PO ==,故95OE PO PE =-=.
8.如图,AB 是O 的直径,弦BD 、CA 的延长线相交于点E,EF 垂直BA 的延长线于点F.
求证:DEA DFA ∠=∠.
【证明】 连接AD,因为AB 为圆O 的直径,所以90ADB ∠=.
又90EF AB EFA ⊥,∠=,所以A 、D 、E 、F 四点共圆,所以DEA DFA ∠=∠.
9.如图,AB 是圆O 的直径,D 为圆O 上一点,过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C.若DA=DC,求证:AB=2BC.
【证明】 连接OD 、BD.因为AB 是圆O 的直径,
所以90ADB ∠=,AB=2OB.
因为DC 是圆O 的切线,所以90CDO ∠=. 又因为DA=DC,所以A C ∠=∠, 于是△ADB ≌△CDO,从而AB=CO, 即2OB=OB+BC,得OB=BC.故AB=2BC.
10.如图,已知四边形ABCD 内接于O EF ,∥CD,FG 切O 于点G. 求证:EF=FG.
【证明】 因为FG 切O 于点G,
所以2
FG FB FA =⋅. 又因为EF ∥CD,
所以BEF ECD ∠=∠.
又A 、B 、C 、D 四点共圆,所以ECD EAF ∠=∠.
所以BEF EAF ∠=∠.
又EFA BFE ∠=∠,所以△EFA ∽△BFE.
所以EF FB AF EF
=,即2
EF FB AF =⋅.
所以22FG EF =,即EF=FG.
11.如图,△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明:△ABE ∽△ADC;
(2)若△ABC 的面积1S AD AE =⋅,求BAC ∠的大小.
【证明】 (1)由已知条件,可得BAE CAD ∠=∠. 因为AEB ∠与ACB ∠是同弧上的圆周角, 所以AEB ACD ∠=∠.故△ABE ∽△ADC. (2)因为△ABE ∽△ADC,所以AB AD AE AC
=,
即AB AC AD AE ⋅=⋅.
又1S AB AC =⋅sin BAC ∠,且1S AD AE =⋅,
故AB AC ⋅sin BAC AD AE ∠=⋅.
则sin 1BAC ∠=,又BAC ∠为三角形内角, 所以90BAC ∠=.
12.(2011江苏高考,21A)如图,圆1O 与圆2O 内切于点A,其半径分别为1r 与2(r 1r >2)r .圆1O 的弦AB 交圆
2O 于点1(C O 不在AB 上
求证:AB ∶AC 为定值.
【证明】 连接1AO ,并延长分别交两圆于点E 和点D.连接BD,CE.因为圆1O 与圆2O 内切于点A,
所以点2O 在AD 上.故AD,AE 分别为圆1O ,圆2O 的直径. 从而2
ABD ACE π∠=∠=.
所以BD ∥CE,于是1122
22r r
AB AD AC AE r r ===.
所以AB ∶AC 为定值.
13.(2011课标全国,文22)如图,D,E 分别为△ABC 的边AB,AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合.已知AE 的长为m,AC 的长为n,AD,AB 的长是关于x 的方程2
14x x -+mn=0的两个根
.
(1)证明:C,B,D,E 四点共圆;
(2)若90A ∠=,且m=4,n=6,求C,B,D,E 所在圆的半径
【解】 (1)证明:连接
DE,
根据题意,在△ADE 和△ACB 中AD AB mn AE AC ,⋅==⋅, 即AD AE AC AB
=.
又DAE CAB ∠=∠,从而△ADE ∽△ACB. 因此ADE ACB ∠=∠.
所以C,B,D,E 四点共圆.
(2)m=4,n=6时,方程2
140x x mn -+=的两根为12212x x =,=.
故AD=2,AB=12.
取CE 的中点G,DB 的中点F,分别过G,F 作AC,AB 的垂线,两垂线相交于H 点,连接DH.因为C,B,D,E 四点共圆,所以C,B,D,E 四点所在圆的圆心为H,半径为DH. 由于90A ∠=, 故GH ∥AB,HF ∥AC.
从而HF 15(122)52
AG DF ==,=-=.
故C,B,D,E
四点所在圆的半径为 拓展探究
14.(2011辽宁高考,文22)如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点,且EC=ED.
(1)证明:CD ∥AB;
(2)延长CD 到F,延长DC 到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆. 【证明】 (1)因为EC=ED, 所以EDC ECD ∠=∠.
因为A,B,C,D 四点在同一圆上,所以EDC EBA ∠=∠. 故ECD EBA ∠=∠. 所以CD ∥AB.
(2)由(1)知,AE=BE.
因为EF=EG,故EFD EGC ∠=∠,从而FED GEC ∠=∠. 连接AF,,则△EFA ≌△EGB, 故FAE GBE ∠=∠.
又CD ∥AB EDC ECD ,∠=∠, 所以FAB GBA ∠=∠.
所以180AFG GBA ∠+∠=circ . 故A,B,G,F 四点共圆.。