【全程复习方略】高考数学 10.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理课时提升作业 理 北师大版
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【全程复习方略】2014版高考数学 10.1分类加法计数原理和分步乘法计数原
理课时提升作业理北师大版
一、选择题
1.将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同的分法种数有( )
(A)2 160 (B)720 (C)240 (D)120
2.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )
(A)33 (B)34 (C)35 (D)36
3.a,b,c,d,e共5个人,从中选1名组长1名副组长,但a不能当副组长,不同的选法总数是( )
(A)20 (B)16 (C)10 (D)6
4.如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边
的三角形的个数为( )
(A)8 (B)32
(C)40 (D)48
5.(2013·安庆模拟)有四位老师在同一年级的4个班级中,各教一个班的数学,
在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法总数是( )
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
6.三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6,若将三张卡片并列,可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为( )
(A)8 (B)6 (C)14 (D)48
7.(2013·铜陵模拟)计划在四个体育馆举办排球、篮球、足球三个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆进行比赛的项目不超过两项的安排方案共有( )
(A)24种(B)36种(C)42种(D)60种
8.新学期开始,学校接受6名师大学生到校实习,学校要把他们分配到三个年级,每个年级2人,其中甲必须在高一年级,乙和丙均不能在高三年级,则不同的安排种数为( )
(A)18 (B)15 (C)12 (D)9
9.(2013·长安模拟)在如图所示的2×2方格中的每一个方格中填入一个数字,数字可以
是1,2,3,4中的任何一个,允许重复.若填入方格A的数字大于方格B的数字,则不同的
填法共有( )
(A)192种(B)128种(C)96种(D)12种
10.(2012·南昌模拟)若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“良数”.例如,32是“良数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是“良数”,因为23+24+25产生进位现象.那么小于1000的“良数”的个数为( )
(A)27 (B)36 (C)39 (D)48
二、填空题
11.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:
(1)P可表示平面上个不同的点?
(2)P可表示平面上个第二象限的点?
(3)P可表示个不在直线y=x上的点?
12.在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5.则这样的点P的个数为.
13.(2013·九江模拟)从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中选出五个数组成子集,使得这五个数中的任何两个数的和都不为11,这样的子集共有个.
14.(能力挑战题)若m,n∈,其中a i(i=0,1,2)∈,并且m+n=606,则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为.
三、解答题
15.(能力挑战题)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).
现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的
花,不同的栽种方法有多少种(用数字作答).
答案解析
1.【解析】选B.本题是将3张门票分给3人,是一个分步计数问题,第一张门票,应从10名同学中选择1人
得到,共有10种分法;第二张门票,应从剩下的9名同学中选择1人得到,共有9种分法;第三张门票,应从剩下的8名同学中选择1人得到,共有8种分法,根据分步乘法计数原理知,共有10×9×8=720(种)分法.
2.【解析】选A.从集合A,B,C中各取一个数有1×2×3=6种取法.其中1,1,5三数可确定空间不同点的个数为3个,另5种每种可确定空间不同点的个数都是6.所以可确定空间不同点的个数为3+5×6=3
3.
3.【解析】选B.分步完成此事:第一步选副组长有4种选法;第二步选组长有4种选法,由分步乘法计数原理知共有4×4=16(种)不同的选法.
4.【解析】选C.把与正八边形有公共边的三角形分为两类:
第一类:有一条公共边的三角形共有8×4=32(个);
第二类:有两条公共边的三角形共有8个.
由分类加法计数原理知,共有32+8=40(个).
5.【思路点拨】利用树状图或利用分步乘法计数原理计算.
【解析】选B.设4个班级分别为一班、二班、三班、四班,对应的任课老师分别为甲、乙、丙、丁.
方法一:树状图法
监考安排如图:
乙,丁,丙
故共有9种安排方法.
方法二:利用计数原理
以甲为例来研究监考安排,甲有三个班可供选择.若甲在二班监考,则乙有三个班可供选择.甲在除一班之外的哪个班监考,相应老师均有三个班可供选择,而剩余两位老师的监考位置是确定的.由分步乘法计数原理,得监考安排的方法共有3×3×1×1=9(种).
6.【解析】选D.方法一:第一步,选数字.每张卡片有两个数字供选择,故选出3个数字,共有23=8(种)选法.第二步,排数字.要排好一个三位数,又要分三步,首先排百位,有3种选择,由于排出的三位数各位上的数字不可能相同,因而排十位时有2种选择,排个位只有一种选择.故能排出3×2×1=6(个)不同的三位数.由分步乘法计数原理知共可得到8×6=48(个)不同的三位数.
方法二:第一步,排百位有6种选择,
第二步,排十位有4种选择,
第三步,排个位有2种选择.
根据分步乘法计数原理,共可得到6×4×2=48(个)不同的三位数.
7.【思路点拨】将问题转化为求其对立事件的安排方案,用间接法求解.
【解析】选D.每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行,共有43=64种安排方案;三个项目的比赛都安排在同一个体育馆进行,共有4种安排方案;所以在同一个体育馆进行比赛的项目不超过两项的安排方案共有64-4=60(种),故选D.
8.【解析】选D.按乙、丙所在年级分类.乙和丙有一人分配到高一年级,另一人分配到高二年级时有
种安排法;乙和丙两人都分配到高二年级时有种安排法,综上,共有+=9(种)安排法.
9.【解析】选C.可分三步:第一步,填方格A,B的数字,由于填入方格A中的数字大于方格B中的数字的填法有6种(若方格A填2,则方格B只能填1,若方格A填3,则方格B只能填1或2,若方格A填4,则方格B 只能填1或2或3);第二步,填方格C的数字,有4种不同的填法;第三步,填方格D的数字,有4种不同的填法.由分步乘法计数原理,得不同的填法共有6×4×4=96(种).
【变式备选】如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现在要求在
其余四个区域中涂色,现有四种颜色可供选择.要求每一个区域只涂一
种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为( )
(A)64 (B)72 (C)84 (D)96
【解析】选C.将四种颜色编号为①②③④,A有4种涂法,设涂①,B有3
种涂法,设涂②,下面分3类:
若C涂①,则D可涂②③④,共3种方法;
若C涂③,则D可涂②④,共2种方法;
若C涂④,则D可涂②③,共2种方法;
于是,不同的涂法为4×3×(3+2+2)=84(种).
【方法技巧】应用两个计数原理的解题方法
(1)首先弄清是分类还是分步,要根据元素的不同性质进行“分类”,根据事情发生的过程“分步”.
(2)两种计数方法都必须弄清楚分类或分步的标准是什么,标准不同,往往求解方法也不同.
(3)在分类中,“类”与“类”之间是确定的,并列的,不能有交叉;在分步中,“步”与“步”之间是相依的,连续的.
10.【解析】选 D.完成此事,一类是一位数,“良数”有0,1,2,共3个数字;一类是两位数,“良数”有10,11,12,20,21,22,30,31,32,共9个数字;一类是三位数,“良数”有100,101,102,110,111,112,120,121,122,130,131,132,200,201,
202,210,211,212,220,221,222,230,231,232,300, 301,302,310,311,312,320,321,322,330,331,332,共36个数字.由分类加法计数原理可知,小于1000的“良数”共有3+9+36=48(个).
11.【解析】(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:
第一步确定a的值,共有6种确定方法;
第二步确定b的值,也有6种确定方法.
根据分步乘法计数原理,得到平面上的点的个数是6×6=36.
(2)确定第二象限的点,可分两步完成:
第一步确定a,由于a<0,所以有3种确定方法;
第二步确定b,由于b>0,所以有2种确定方法.
由分步乘法计数原理,得到第二象限点的个数是3×2=6.
(3)点P(a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素,共有6种取法,即在直线y=x上的点有6个.
由(1)得不在直线y=x上的点共有36-6=30(个).
答案:(1)36 (2)6 (3)30
【变式备选】某体育彩票规定:从01到36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想先选定吉利号18,然后从01至17中选3个连续的号,从19至29中选2个连续的号,从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下,至少要花多少元钱?
【解析】先分三步选号,再计算总钱数.
按号段选号,分成三步.
第一步从01至17中选3个连续号,有15种选法;
第二步从19至29中选2个连续号,有10种选法;
第三步从30至36中选1个号,有7种选法.
由分步乘法计数原理可知,满足要求的号共有
15×10×7=1050(注),
故至少要花1050×2=2100(元).
12.【解析】按点P的坐标a将其分为6类:
(1)若a=1,则b=5或6,有2个点;
(2)若a=2,则b=5或6,有2个点;
(3)若a=3,则b=5或6或4,有3个点;
(4)若a=4,则b=3或5或6,有3个点;
(5)若a=5,则b=1,2,3,4,6,有5个点;
(6)若a=6,则b=1,2,3,4,5,有5个点;
∴共有2+2+3+3+5+5=20(个)点.
答案:20
13.【解析】和为11的数共有5组:1与10,2与9,3与8,4与7,5与6,子集中的元素不能取自同一组的两个数,即这5个数只能从这5组中每组取1个,共有25=32(个).
答案:32
14.【解析】∵m+n=606,∴其个位数字为6,∴a0可有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),
(3,3)共5种组成方法;十位数字为0,可有(4,6),(6,4),(5,5)共有3种组成方法;百位数字为6,可知十位进上来1,余下5,可有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),共4种组成方法;由分步乘法计数原理,实数对(m,n)的个数为5×3×4=60.
答案:60
15.【解析】方法一:从题意来看,6部分种4种颜色的花,又从图形看,知必有2组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求解.
(1)2与5同色,则3,6也同色或4,6也同色,所以共有N1=4×3×2×2×1=48(种);
(2)3与5同色,则2,4或4,6同色,所以共有N2=4×3×2×2×1=48(种);
(3)2与4且3与6同色,所以共有N3=4×3×2×1=24(种).
所以,共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120(种).
方法二:记颜色为A,B,C,D四色,先安排1,2,3有4×3×2种不同的栽法,不妨设1,2,3已分别栽种A,B,C,则4,5,6栽种方法共5种,由以下树状图清晰可见.
根据分步乘法计数原理,不同的栽种方法有N=4×3×2×5=120(种).。