2020高考文科数学(人教A版)总复习练习：单元质检卷2 Word版含解析

单元质检卷二 函数
(时间：100分钟 满分：150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分）
1。

（2018河北衡水中学押题一，1）已知集合A={x∈N |—2〈x<4}，B={x |1
2≤2x ≤4}，则A∩B=( ） A.{x ｜—1≤x≤2} B 。

｛—1，0,1,2｝ C 。

｛1,2} D 。

{0，1,2｝
2。

已知函数f （x ）的定义域是(1，2)，则函数f(2x
）的定义域是（ ) A 。

(0，1) B.（2,4） C 。

(12
,1) D.(1,2)
3.(2018河北衡水中学押题一，2）下列函数中，既是偶函数，又在（-∞，0）内单调递增的为( ）
A.y=x 4+2x B 。

y=2|x ｜
C 。

y=2x -2-x
D 。

y=log 12
｜x ｜—1 4.（2018湖北部分重点中学联考,5)下列各组函数中，表示同一函数的是（ )
A.f （x ）=e ln x
,g(x ）=x
B.f （x ）=x 2-4
x+2
,g(x ）=x-2 C 。

f(x ）=sin2x 2cosx ，g(x)=sin x D 。

f(x)=|x ｜,g(x)=√x 2
5.（2018河北衡水八模，4)设a=lo g 12
3，b=(13
)0.2,c=21
3,则( ） A.a 〈b 〈c B 。

c<b<a C 。

c 〈a 〈b D.b 〈a 〈c
6.已知函数f(x)的定义域为R 。

当x<0时，f （x ）=x 3
—1；当-1≤x≤1时，f(-x ）
=-f （x);当x>12时，f (x +12)=f (x -1
2),则f （6）=( ） A.—2 B 。

-1 C.0 D 。

2
7.(2018湖南长郡中学五模，8)y=x+cos x 的大致图象是 ( )
8.若不等式x 2
+ax+1≥0对于一切x∈(0,12
]恒成立，则a 的最小值是( )
A 。

0
B 。

—2
C 。

—5
2
D.-3
9。

已知函数f(x ）=(12)x
-sin x ，则f （x)在［0，2π］上的零点个数为（ ） A 。

1 B 。

2 C.3 D.4
10。

若函数f(x)=｜log a x|—2-x
(a 〉0，a≠1）的两个零点是m ，n,则( ） A 。

mn=1 B 。

mn 〉1 C.mn 〈1 D 。

以上都不对
11.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y 1,y 2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ） A 。

5千米处 B.4千米处 C 。

3千米处 D.2千米处
12。

（2018河北唐山三模，12）设函数f(x ）=e x —2+1e x +(x —1）2
，则使得f （2x ）〉f （x+3）成立的x 的取值范围是 ( ） A.（-∞，-1）∪（3，+∞) B.(-1，3） C.(-∞,-13)∪（3,+∞） D 。

(-13
,3)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）
13。

(2018宁夏银川一中一模,13）若a=log 43,则2a
+2—a
=.
14。

（2018河南南阳一中月考，15)设定义在R 上的函数f(x ）满足f （x+2)·f （x)=7，若f(1)=2，则f （107)= 。

15。

(2018湖南长郡中学一模，14)使关于x 的不等式｜x+1|+k 〈x 有解的实数k 的取值范围是 .
16。

（2018广东广州二测，16)设函数f （x)的定义域为R ，f （-x)=f （x ）,f （x ）
=f(2-x ），当x∈［0，1］时,f （x ）=x 3
,则函数g （x ）=｜cos （πx)|-f(x ）在区
间[-12,3
2
]上的所有零点的和为 。

三、解答题(本大题共5小题,共70分）
17。

(14分）已知函数f （x)的图象与函数h （x)=x+1
x +2的图象关于点A(0，1）对称.
（1)求f （x)的解析式;
（2)若g （x)=f （x)+a
x ，且g （x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围。

18.（14分)已知函数f （x)=m+log a x （a>0,且a≠1)的图象过点(8，2)和（1,—1)。

（1）求函数f(x ）的解析式;
（2）令g （x)=2f （x ）-f(x —1），求g （x)的最小值及取得最小值时x 的值.
19.（14分)国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠:每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元。

（1)写出飞机票的价格关于人数的函数;
（2）每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
20.(14分）已知二次函数y=f(x)在x=t+22处取得最小值—t 2
4(t≠0）,且
f （1)=0.
(1)求y=f （x)的表达式;
(2)若函数y=f （x)在区间[-1,12
]上的最小值为-5，求此时t 的值.
21.(14分)已知函数f （x ）=lg (x +a x
-2)，其中x>0,a 〉0.
(1)求函数f （x)的定义域；
（2)若对任意x∈[2，+∞）恒有f （x)>0,试确定a 的取值范围。

单元质检卷二 函数
1.D 因为A=｛x∈N |—2<x 〈4},
所以A=｛0，1,2,3}。

∵12
≤2x
≤4，∴—1≤x≤2,则A∩B=｛0，1，2}. 2。

A ∵f （x)的定义域是（1,2）,∴1<2x 〈2，即20<2x 〈21
，∴0<x 〈1,故选A 。

3.D 由函数的奇偶性可知，y=x 4+2x 是非奇非偶函数，y=2x —2—x
是奇函数,故排除A 、C;
在(—∞,0)内,y=2|x|
是减函数，故排除B,因此答案为D 。

4.D A,B ，C 的解析式相同，但定义域不同.D 中因g(x ）=√x 2=｜x|,所以解析式相同,定义域也相同,故选D.
5.A ∵2
13
〉1〉(13)0.2
>0〉log 12
3，
∴a 〈b<c,故选A 。

6.D 由题意可知，当—1≤x≤1时,f(x)为奇函数；
当x 〉12时,由f (x +12)=f (x -1
2
)可得f （x+1）=f （x). 所以f(6)=f （5×1+1)=f(1)。

而f(1）=-f （-1)=-[（-1）3
-1]=2. 所以f(6）=2.故选D 。

7.B 当x=0时,y=1，选项A 错误;当x=π时,y=π—1<π，选项D 错误;
f （—x ）=-x+cos x≠f（x)，函数不是偶函数，选项C 错误；故选B. 8.C x 2+ax+1≥0(0<x ≤12)⇔ax≥—(x 2+1)⇔a≥-(x +1
x
)， ∵函数f(x ）=x+1x 在（0,1)上是减函数，∴当x∈(0,12]时,f （x ）≥f (12)=12+2=5
2
， ∴[-(x +1x )]max
=—5
2
, 即
a≥—52
,a 的最小值是-52。

9。

B 函数f （x)=(12)x
—sin x
在[0,2π]上的零点个数为函数
y=(12)x
的图象与函数
y=sin x 的图象在[0,2π]上的交点个数.在同一坐标系内画出两个函数的部分图象如图所示，由图象可知,两个函数的图象在区间［0，2π]上有两个不同的交点，故选B.
10.C 由f （x ）=0,得｜log a x|=2—x
,函数y=｜log a x ｜，y=2-x
=(12
)x
的图象如图所示.
由图象可知，n 〉1，0<m<1。

不妨设a 〉1,则有-log a m=(12)m ,log a n=(1
2
)n
，两式两边分别相减得log a (mn ）=(12)n −(12)m
〈0， ∴0〈mn<1,故选C 。

11.A 设仓库到车站的距离为x km,由题意，得y 1=k 1x ，y 2=k 2x,其中x 〉0.当x=10
时，两项费用y 1,y 2分别是2万元和8万元,可得k 1=20,k 2=45，故y 1+y 2=20
x
+45x≥2√20x ·45x =8，当且仅当20x =4
5
x ，即x=5时取等号，故选A. 12。

C
由f'(x)=e x-2
—1e x +2（x —1),显然f’（x ）递增，且f'（1)=0，
∴f(x ）在(-∞，1）单调递减,在(1，+∞）单调递增.
∵将f(x ）的图象向左平移一个单位，对应函数为y=e x-1+1
e x+1+x 2，
此函数为偶函数，图象关于y 轴对称,自变量离y 轴距离大对应的函数值大， ∴f(x)的图象关于直线x=1对称，自变量离直线x=1距离大对应的函数值大, ∴f(2x ）>f(x+3）等价于|2x-1|>｜x+3-1|,
不等式两边平方,得3x 2—8x —3〉0，解得x 〉3或x 〈-1
3， ∴使得f （2x)>f(x+3）成立的x 的取值范围是(-∞,-13
)∪(3,+∞). 13.4√33 原式=2log 43+2-log 43=√3+1√3
=4√3
3.
14.7
2 ∵f(x+2）·f（x ）=7，
∴f(x ）=7f (x+2)，f （x+2）=7
f (x+4)
, ∴f （x)=f （x+4）,∴函数周期为4。

∴f(107）=f(26×4+3)=f（3）=7f (1)=72
. 15.(-∞,—1) 原不等式转化为k<x —|x+1｜成立，因为y=x —｜
x+1|={-1,x ≥-1,
2x +1,x <-1,对应图象如图,
由图得其最大值为—1.故只需k 〈-1，即答案为(—∞,-1）.
16.3 ∵f(—x ）=f(x ），f(x)=f （2—x ）,∴f(—x ）=f(2—x)，∴f （x ）的周期为2。

画出y=f(x ）和y=｜cos （πx)|的大致图象,
由图可知,g （x)共有5个零点，其中x 1+x 2=0,x 4=1，x 3+x 5=2. ∴所有零点的和为3.
17.解 （1）设f （x ）图象上任一点P(x ，y)，则点P 关于（0,1)点的对称点P’（-x,2—y ）在h(x)的图象上，
即2-y=-x-1
x +2,
∴y=f （x)=x+1x
(x≠0）。

(2）g （x ）=f （x)+a
x =x+a+1x ,g'(x ）=1—a+1
x 2. ∵g （x ）在（0，2]上为减函数, ∴1-a+1x 2
≤0在(0,2]上恒成立，
即a+1≥x 2
在(0,2］上恒成立, ∴a+1≥4，即a≥3，
故a 的取值范围是［3,+∞)。

18。

解 (1)由{f (8)=2,f (1)=-1,得{m +log a 8=2,m +log a
1=-1,解得{m =-1,
a =2,
故函数f （x ）的解析式为f(x ）=—1+log 2x 。

(2)g(x ）=2f(x)-f （x-1）
=2(—1+log 2x ）-[-1+log 2(x-1)]
=log 2x 2
x -1-1（x>1）.
因为x 2
x -1
=
(x -1)
2
+2(x -1)+1
x -1
=（x-1）+1x -1+2≥2√(x -1)·1
x -1
+2=4, 当且仅当x —1=1x -1
，即x=2时，等号成立,而函数y=log 2x 在(0，+∞）内单调递增,所以log 2x
2
x -1
—1≥log 24-1=1，故当x=2时,函数g(x)取得最小值1. 19.解 (1）设每团人数为x,由题意得0<x≤75（x∈N *
），飞机票价格为y 元，
则y={900,0<x ≤30,
900-10(x -30),30<x ≤75, 即y={900,0<x ≤30,
1 200-10x ,30<x ≤75. (2）设旅行社获利S 元,
则S={
900x -15 000,0<x ≤30,
1 200x -10x 2-15 000,30<x ≤75,
即S={900x -15 000,0<x ≤30,
-10(x -60)2+21 000,30<x ≤75.
因为S=900x-15 000在区间(0,30]上为增函数，故当x=30时,S 取最大值12 000.
又S=-10（x-60）2
+21 000，x∈（30，75]，所以当x=60时,S 取得最大值21 000.
故当x=60时，旅行社可获得最大利润。

20.解 （1)设f （x)=a (x -t+22)2
−t
2
4
（a 〉0). 因为
f(1）=0，所以t 2
4（a-1）=0。

又因为t≠0，所以a=1,
所以f(x)=(x -t+22)2−t 2
4（t≠0）。

(2)因为f(x)=(x -t+22)2−t 2
4(t≠0)， 所以当t+22
<-1,即t 〈—4时，
f(x)在[-1,12]上的最小值f(x ）min =f(-1)=(-1-t+22)2−t 24=—5，所以t=-9
2；
当-1≤t+22≤12，即—4≤t≤-1时，f(x ）在[-1,12]上的最小值f （x ）min =f (t+2
2
)=-t 2
4
=—5，
所以t=±2√5(舍去)；
当t+22>12，即t 〉-1时，f(x ）在[-1,12]上的最小值f （x)min =f (12)=(12-t+2
2
)2
−
t 2
4
=—5， 所以t=—212
(舍去）. 综上所述,t=—92
.
21.解 (1）由
x+a x -2>0，得x 2-2x+a
x 〉0。

因为x>0,所以x 2
-2x+a 〉0。

当a>1时,x 2
-2x+a>0恒成立,函数f （x)的定义域为（0,+∞)； 当a=1时,函数f （x ）的定义域为{x|x>0，且x≠1｝;
当0〈a<1时,函数f （x)的定义域为{x|0<x<1—√1-a 或x 〉1+√1-a }。

（2）对任意x∈[2,+∞）恒有f(x)>0，
即x+a
x —2〉1对x∈[2，+∞）恒成立,
故a>3x-x 2
对x∈［2，+∞）恒成立.
令h(x ）=3x —x 2
,
h(x ）=3x-x 2
=-(x -32)
2
+9
4在[2,+∞）内是减函数,于是h(x ）max =h(2）=2。

故a>2,即a 的取值范围是{a ｜a 〉2｝。