103上_数学(一)_第2次月考_北_成功高中.doc

103學年度高一第一學期成功高中第二次月考
_______ 年 ________ 班座號 __________ 姓名 ____________
一、多重選擇題(每題5分，共20分)
說明：第1•題至第4.題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，各題之選項獨立判 定，
所有選項均答對者，得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項或多於2個選 項或所有
選項均未
作答者，該題以零分計算。

1.
丄
=(—3)氏
D 若z=2 + i ，則-的虛部為i
z 5
(E)若 a + bi= 1 +7八則 a= 1 » b=7
)2.設/(X )= (x-1) (/ + 2x-3)，下列哪些不等式與f(x)些0有相同解？ (A)(X —1) (? + 2x-3) (F + 2) SO IB) - -------- W0 v+2 兀—3
(C) (x — I)'? (2 + 2x —3)"垒0 (D) (1-x)2
(x+3) WO
右圖為實係數四次多項式/(%)=血4
的圖
形，請問哪些選項是銷誤的?
(A) /(X )=0有一個虛根 (B) e<0 ac )f (x )<o 的解為一4«
D)/(Q 20的解與(卄4 ) (x —3) N0的解相同
下列敘述哪些錯誤
? (E)
(兀―D (兀2+2.
兀—3) WO )3.
(E)方程式f(x) =7有兩相異實根
)4.設/(兀)=cvc3 + bx2 + cx+d為實係數多項式且aHO，則下列敘述哪些錯誤？
(A)/(兀)=0至少有一實根(B)若f(2 + 3i) =7 — 2八則/(2 — 3,) =7 + 2z
Q若QB為相異的兩實數且在QB之間有/(Q =0的根，則/(&)/(/) <()
恆成立
(D)若a、/3為相異的兩實數且/(a)/(/3)〉0，則在a、於之間不存在/(%) =0 的根
(E)若/(7 + 2F) =0，貝UW (兀)的圖形與兀軸交於一點
X
1兀一力 口rI r / nn \
+ 吩6一0）37 3T '則八 9厂= -------------- 。

9. 已知1-2/為實係數多項式方程式3x 3-7x 2 + ax+£>=0的一根，若此方程式的實根為t ，則序
組（a ，b= ____________ 0
10. 設一放射性元素之半衰期為100年，即經過100年後，此放射性元素的量會變為原來的一半； 貝【」1.5個半衰期，也就是150年之後，此放射性元素的量是原來的 ___ 倍（V2-1.414 ） 11•設a 、B 、丁為三次整係數方程式X 3 — 2X 2—3X + I =0的三個根，則—+ ^- + — =_______ °
a p y
12. ___________________________________ 若f （x ）除以%2—2x4-3的餘式為x —3 »且/（兀）
除以（x+2）2
的餘式為6兀+18，則f （x ） 除以（兀+2）（兀2—2兀+3）的餘式為 ° 丄 戈
2 13. 若a>Q 且亦+a 2 =6，貝【」
14 •設/（兀）為實係數多項式且同時為奇函數，若/（—2） =2014/4-1204，則f （i+2）之值為
繆 設 / (x ) — 12x 5
—4x"+— 2兀~—5x+2
1. 3
試有理化亍
2.
設 a= 7V16，b= -5
(1)丁 ，c= y]42. V32，若 = 2”，則兀的值為 _______
3. 4. 分式不等式
x 2+2%—
3 兀？
+兀設/ (兀)=(-^2—2%—3 ) (2014%35 +12x 28 + 4) +7兀+2，則 / (x)除以兀—3 之餘式為 5. 設a 、/3為二次方程式3X 2 + 9X +1=0之兩根，則（V^ + #）2= _____________ 。

6. 設實係數三次多項式/（兀）之圖形通過點4（一3,0）、B （l ，0）、C （—2,9）、
D （0,5）、
E （、2，a ），貝 l 」a= _____ 。

7. 已知三次多項式/（兀）=2? + 2?-4^-3有一正根兩負根，若最小負根為Q ，則與Q 最接近
的整數為 ______ 。

8.
x (x —2) (x-3j) a-a )o-2)a-3
+ 9x
x (兀―D (尢一3
(2-0) (2-1) (2-5
三、計算: （共10分） 3•方丿
+4x 設/O)
（1）由有理根判別法，列出/ （兀）=0的所有“可能”之有理根有哪些？（2分，全對才給分）⑵試解方程式12.1 —4『+ 7疋—20 —5兀+2 = 0。

（6分）
⑶試解不等式12.F —4< + 7»—2卩—5x+2S0 °（2分）
解：
一、 多重選擇題
1. (B)(C)(D)(E)
2. (A)(0)(E) 3・(A)(C)Q) 4. (C)(D)
二、 填充題
10.0.3535 11.3 12. x 2-^
13. 198 14. -1204 + 2014/
三、計算題
笏(1)設有理根為兀=—'“HO ，p ，q 互質=＞〃 \ \2 q \ 2=＞“= 1，2，3，4，6，12，q = ±l ，±2 P
=> 12x‘ — 4p + 7» — 2%2 — 5兀+2= ( 2x —1)( 3兀+2 ) ( —x 2 + 2%— 1 )
=(2JC —1)*(3x+2) (H+1)
=0
(3)承(2)，即(2x-1尸(3 兀+2)(/+l)S0,又 2+1〉0, (2兀-l)2N0i+2S0 或 T
《試題解析》
一、多重選擇題
1.2 + 4z
2.2
3.X —2
4.23 _9_2 語
3
6. £
7.—2 8.10000 9. 17--5
=＞可能為_±1，±2吗
3
3 4 6 12
12 -4 +7 -2 -5 +2 + 6 +1 +4 +1 -2 2)12 +2 +8 +2 -4 +0 6 +1 +4 +1 -2 —
3
-4 +2 -4 +2 3)6 -3 +6 -3 +0
6 +1 十 4 +1 —2
2 -1 +2 -1
二＞兀乞一 2■或兀
3 ® x: 0°無意義
OX：指數中，底數需大於0
1 1 1 2- i 2~i
D)x：
-= ------------ = ---------- X --------- =-----------
z 2+i 2+i 2~i 5
(E)X ：反例：a=\+3i，b=-\ 故選(B)(C)(D)(E)
2. f (x) = (x —l) (X 2 + 2X —3 ) SO
n (x — 1 )2 (x+3) S0nx+3S0 或x=lnxS —3 或x=l
(A)O ：异+ 2 恆為正n (兀一1) (F + 2JV —3) 或x= l
(B) X : 日
Qn _______ — x 2+2x —3
(无—D (x+3) 二>x+3WO ，x 丰—3，x 工 1 =>x< —3 (C)X ： (x-1)12
(X 2
+ 2X -3)45
^0=> (F + 2工一3) so 或兀=1
=> (兀一 1 )(兀+3) WO 或兀=1 =>—3GW1 (D) O : (1 —-v)2
(x+3 )垒0=>兀+3垒0 或x= 1 =>兀垒一3 或兀=1 (E) O ：.“+x+1 恆為正=> (,r — 1) (,r + 2x —3 ) 50=>xS —3 或 x=l 3. 故選(A)(0)(E) (A) X ：由題圖知，/(只)=0的根為x ®O ：由題圖知，/(()) <0=>^<0 C )X ：/(K ) <0 解為
—4<x<3，但无工—2
ip) X ：/(兀)NO 解為xN3或兀垒一4或兀= -2， (x+4) (%—3) NO 解為或xS —4 4. (E)O ：由題圖知〉=/◎)與y=7有兩相異交點，即為有兩相異實根 故選(A)(C)(D)
(A)O ： •••/(X )=0為三次實係數方程式，且虛根必成對存在
.・.至少有一實根 ® o V ( 2-3z) =f ( 2+3z ) = f (2+3Z) =7—2i=7十2i
OX ：若/(A \) =0在a ，0之間有偶數個實根，則/ (a) •/(/§) >0 D)X ：可能有2，4，6，……偶數個實根
(E)O ：若 /(7+2Z) =0,則 /(7-2z) =0=>/(兀)=0 有兩虛根一實根
=>y=f (x )與x 軸恰交於一點
故選C )(D)
二、填充題
1.亠—丄=亠占-丄x4
—2汁1 2z-l -2/+1 2z+l 2z-l -2/-1
3+6( -7-14/ 5 5-
= 2 + 4/
2. a= VV16 = v2^ =
5
2
4 \_
2 (2亍戸=2了
5
(2-2)飞=25
<4
7
丄
(2〉
nx=2
b=
7
=2«
=>x+2垒0 » 但兀Hl ，x¥= —2 =>x< —2
4. f(x) = (x+1 ) (x-3) (2014X 35+12A -28 + 4) +7X +2 =>/(3) =0 + 7x3 + 2 = 23 a + 0= — 3 5・由根與係數關係得］ 1 » a <0 » /3 <0
l ap=i
=^> ( Va + 丽尸=a + /? —2-Ja^
_9_2 巧
3
6. y=f(x)過4 (一3，0) M (1，0) =>/(—3) =/(l ) =0 =>設/'(兀
)=(兀 + 3)(兀一1) (nvc+n)
過 C ( —2，9) => (—2 + 3) (-2-1) ( —2加+〃)=9 過 D (0，5) => (0 + 3) (0-1) (0 + n) =5
— x~ — (3 3
=丄(兀+3 )(兀一1 ) (2x —5 )
可⑵冷.5」（T ） 一 | 5
na =——
3
7. /(0) =—3<0，/(—1) =l 〉0，/(—2) =-3<0
由勘根定理得一2<a<-l
=> a 最接近整數為—2
8. 由拉格朗日插值法得 /(0) =1，/(1) =4，
/(2) =9，/(3) =16 > deg/(x) S3 令g (牙)=f(x)-(兀x 2+x —2 x 2+x —2 W
O
x~\ Cr-1) (x+2)
SO
2m — z?=3 =>i 5 n=—— 3
=> 2 m =
— 3
5
n=—— 3
=->0=>-2<^<--
4 2
+1严，degg (x) S3
ng (0) =g (1) =g (2) =g (3) =0 =>g(X)=o=>y (x) = (x+1)2 .J (99) = (99+ 1)2=1000()
9. 由虛根成對定理得1 + 2/亦為方程式的根 =>x= l±2inx — 1 =±2in (x- I )2= -4=>X 2-2A + 5 = 0 即 J C — 2x + 5 為 3x^—7/-\~cix-\~b 之因式 長除法 3x —l
X 2 —2x^-5) 3x ； - 7疋 + a J H- ~b
30 — 6屮+ 15 x
-x 2 + (°一 15)x4- b
—疋+ 2x~ 5
(Q — 17)x+ (b + 5)。

一17=0 [a = 17 => => 5
仏+5二0 [b= -5
又 3J ?_7«?+1 7X -5= (?-2X +5) (3X -1) =0=>解為x=l±2i > -
3 .\a=17 ‘ b=
—5 ‘ t=—
3
(
i 、
故序組(a > /? > /) = 17 » —5 » - ■ : J a + 0 + 汗 2
II. 由根與係數關係得90 + 0 Y + Y a= - 3
apY= 一 1 _ 1 , 1 , 1 aP + p x + Y a a
=> —十一十一= -------------- =3 a B T apx
12. / (x)除以0+2)2的餘式為6兀+]8
=>令/(x) = (x + 2)2q }(X )+6x+18,則/(一2) =6 =>設/'(兀)=(兀+ 2)(X 2 —2-v+3)①(兀)+。

(疋一2无+3) +x —3 *// ( —2) =6=>i7xl 1
150 3 E)F 沪存孚詈曲5 io.設r 年後‘放射性元素的量為原來的 厂1)而
J ；
n 當f=150時
—5 = 6 \a— 1
=>所求的餘式為(."一2v+3) +x—3=x1—x
1 1 1 1 1 1
I3.a + a~[= (a2)2+ (a 2 )2= (a2+a2)2-2 - a2• a 2 =36 — 2 = 34
3 _3 \_ _\_ \_ _\_
=>6/2 +(厂3 =(亦)3+ (厂①)3=(亦 +(厂3 ) =6x (34-1) =198 14.依題意/ O)滿足/ ( z ) = / (z)且/ ( -x) =-f (x) =>/(/ + 2) =/(— (T-2)) =—/(T—2)
=*(戸)=-f G-2)
=-2014/+1204 = - 1204十2014/。