有关切点弦的问题

结论从圆O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则切点弦AB 被直线OP垂直平分。

此结论可推广到椭圆、双曲线和抛物线。

1. 从不在椭圆对称轴上的任意一点P引椭圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则切点弦AB被直线OP平分，且直线AB和OP的斜
率之积为定值。

2. 从不在双曲线对称轴上，也不在渐近线上的任意一点P引双曲线的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则切点弦AB被直线OP平
分，且直线AB和OP的斜率之积为定值。

3. 从任意一点P（不含焦点的一侧）引抛物线y2＝2px（p＞0）的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则切点弦AB被过点P且平行于抛物线对称轴的直线平分。

对推论1进行证明：
如图1，设P（m，n）（mn≠0），可以证明，切点弦AB所在的直线方程为
图1
代入椭圆方程＝1中，整理得
设A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
），弦AB的中点Q（x
，y
），由韦达定理得
则，
代入直线AB的方程得
因为
所以点Q在直线OP上
故直线OP平分切点弦AB
又因为
所以
推论1得证。

用类似的方法可以证明推论2。

下面证明推论3：
（mn≠0），可以证明，切点弦AB所在的直线方程为，如图2，设P（m，n）
代入抛物线方程中，整理得
图2
设
弦AB的中点Q（x
0，y
）
由韦达定理得，
则，
代入直线AB的方程得
所以点Q在直线y＝n上。

推论3得证。

该方程，如果两圆相交应该为公共弦方程，希望高手们能给出证明。

如果两圆相离，那该方程是什么？在那？
提问者：召唤之夜月- 试用期一级
最佳答案
这个一次方程表示的是一条直线，这条直线是两圆的根轴。

解释根轴这个概念，我们需要引入一个名词，圆的幂。

我们知道圆幂定理，就是过一个点任意引圆的割线，这个点到割线两端点的有向距离之积是一个定植，我们把这个定值就交做圆的幂。

圆周上的点的幂都等于0，圆外的点的幂大于0，圆内点的幂小于0
根轴就是到两圆幂相等的点的集合。

它是一条垂直于两圆连心线的直线，且它过两圆所有共切线的中点。

特殊的，当两圆相交时，那么根轴就是两圆公共弦所在的直线，当两圆相切时，根轴就是两圆过切点的共切线。

当两圆相离或内含时，根轴是一条与两圆都不相交的直线。

所以：
当两圆相交时候，你就可以认为这个直线的方程表示的是两圆的公共弦所在的直线。

当两圆相切（包括内切和外切）时，这个直线方程表示的就是过两圆切点的共切线。

当两圆相离时，这个直线方程表示的是过四条共切线中点的直线。

当两圆内含时，这个直线方程表示的直线有这样的性质：这条直线上的点向两圆引切线，切线长相同。

它们本质上都是圆的根轴。

切点弦方程
问题1：过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点分别是、，求直线的方程（直线称作切点弦）．
解：如图所示，设切点的坐标为，切点的坐标为．
因为圆的方程是
①
所以过圆上一点所作的切线的方程为
②
由于在直线上，所以
③
同理，根据点M在切线BM上，得
④
③④表明，点和点都在下面的直线上
⑤
因为过两点只有一条直线，所以⑤就是直线的方程．
即点的切点弦方程为：．
问题1解法的基本思想是设而不求．设了点和点的坐标，但是不求出这些坐标，只是借用它们的形式，把最终的问题解决．
从问题1中，我们不仅学习了切点弦方程，还学习了设而不求的解题思想．下面看一个与之相关的问题．
问题2：设是圆内的一点，但不是圆心．过点任意作两条不通过圆心的弦和，分别过点、作圆的切线相交于点，过点、作圆的切线相交于点．求直线的方程．
解：如图，设点的坐标为，点的坐标为．
因为圆的方程是
①
、是过圆外一点所作圆的切线，、是切点，所以切点弦的方程为
②
同理切点弦的方程为
③
因为在直线上，所以
④
同理在直线上，所以
⑤
④⑤表明点，点和点都在下面的直线上
⑥
因为过两点只有一条直线，所以⑥就是直线的方程．
不难看出，上述两个问题的紧密联系，同样是用设而不求的思想方法，问题2还运用了问题１的结论，更为有趣的是二者其实还是一个问题的两个方面，具体如下：
一般地，已知圆和平面内的任意点，只要不是圆心（0，0），总
可以作出对应的直线．这样得到的直线叫做点关于圆的极线（当
在圆外时，也叫切点弦），点叫作直线的极点．
问题1 是点在圆外时的情况，问题2是点在圆内时的情况，并且同时也给出了作相应极线的几何作图方法．当然，点在圆上时，它的极线就是过点的圆的切线．三种情
况的极线方程都是，这种高度的统一性真是妙不可言．其实极点、极线的概念就是切点、切线概念的推广，它们还有很多重要的性质，高等几何里有详细研究．。