2015年上海市青浦区高考数学一模试卷含详解

2015年上海市青浦区高考数学一模试卷
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则
一律得零分.
1．（4分）若复数z=（i为虚数单位），则|z|=．
2．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=42，则a4=．3．（4分）展开式中有理项的个数是．
4．（4分）直线l：xtan+y+1=0的倾斜角α=．
5．（4分）已知函数y=2cosx与y=2sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．
6．（4分）平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为．
7．（4分）函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），如果函数y=f（x）的图象过点（2，﹣2），那么函数y=f﹣1（﹣2x）+1的图象一定过点．
8．（4分）已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f （x）=x2﹣ax+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是．9．（4分）抛物线y2=8x的动弦AB的长为6，则弦AB中点M到y轴的最短距离是．
10．（4分）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有种．
11．（4分）已知，则无穷数列{a n}前n项和的极限为．12．（4分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．13．（4分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任意给定正数M，定义函数
，则称函数f M（x）为f（x）的“孪生函数”，若给定
函数f（x）=2﹣x2，M=1，则f M（2）=．
14．（4分）当x和y取遍所有实数时，f（x，y）=（x+5﹣|cosy|）2+（x﹣|siny|）2≥m恒成立，则m的最大值为．
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，
选对得5分，否则一律得零分.
15．（5分）已知，且，则向量与向量的夹角是（）A．30°B．45°C．90°D．135°
16．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）
A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊊αD．若a∥α，α⊥β，则a⊥β17．（5分）设a，b为负实数，则“a＜b”是a＜b﹣”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
18．（5分）设函数f（x）=n﹣1，x∈[n，n+1），n∈N，函数g（x）=log2x，则方程f（x）=g（x）实数根的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，CC1=4，M 为棱CC1上一点．
（1）若C1M=1，求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值；
（2）若C1M=2，求证BM⊥平面A1B1M．
20．（14分）如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y=Asin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60
米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．
（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？
21．（14分）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左、右顶
点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在“8”字形曲线上求点P，使得
∠F1PF2是直角．
22．（16分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=，数列{b n}是等比数列，且b1=a1，b2=﹣a3，b3=a4，数列{b n}的前n项和为S n，记点Q n（b n，S n），n∈N*．
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）证明：点Q1、Q2、Q3、…、Q n、…在同一直线l上，并求出直线l方程；（3）若A≤S n﹣≤B对n∈N*恒成立，求B﹣A的最小值．
23．（18分）已知函数．
（1）指出的基本性质（结论不要求证明）并作出函数f（x）的图象；
（2）关于x的不等式kf2（x）﹣2kf（x）+6（k﹣7）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．
2015年上海市青浦区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则
一律得零分.
1．（4分）若复数z=（i为虚数单位），则|z|=．
【考点】A8：复数的模．
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵复数z====﹣1+2i．
∴|z|=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则模的计算公式，属于基础题．
2．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=42，则a4=6．
【考点】85：等差数列的前n项和．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】先根据S7=42求得a1+a7的值，进而根据等差中项的性质可求得a4．【解答】解：S7==42，
∴a1+a7=12
∴2a4=a1+a7=12，a4=6
故答案为6．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．属基础题．3．（4分）展开式中有理项的个数是5．
【考点】DA：二项式定理．
【专题】5I：概率与统计．
=，当且仅当0≤r≤9且为偶数时为有理【分析】展开式的通项公式T r
+1
项．
【解答】解：展开式的通项公式T r
=，
+1
当且仅当r=0，2，4，6，8时为有理项．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二项式的通项公式、有理项，属于基础题．
4．（4分）直线l：xtan+y+1=0的倾斜角α=．
【考点】I2：直线的倾斜角．
【专题】5B：直线与圆．
【分析】设直线的倾斜角为θ，易得直线的斜率，由斜率为倾斜角的关系可得tanθ=﹣tan，结合倾斜角的范围，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，有0≤θ＜π，
直线可化为y=﹣tan•x，
由倾斜角与斜率的关系，
可得tanθ=﹣tan，
又有0≤θ＜π，
则θ=，
故答案为：．
【点评】本题考查直线倾斜角的计算，注意倾斜角与斜率的关系即可．
5．（4分）已知函数y=2cosx与y=2sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．
【考点】H2：正弦函数的图象；H7：余弦函数的图象．
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】由题意得2cos=2cos（+φ），可得=2kπ±（+φ），k∈Z，由0≤φ＜π，可解得φ的值．
【解答】解：由题意得2cos=2sin（2×+φ）=2sin（++φ）=2cos（+φ），∴=2kπ±（+φ），k∈Z，
∵0≤φ＜π，
∴可解得φ=，
故答案为：．
【点评】本题主要考察了三角函数的图象与性质，诱导公式的应用，属于基本知识的考查．
6．（4分）平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为．
【考点】LR：球内接多面体．
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】先求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．
【解答】解：∵截面圆的面积为π，
∴截面圆的半径是1，
∵球O半径为2，
∴球心到截面的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查球的体积，点到平面的距离，是基础题．
7．（4分）函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），如果函数y=f（x）的图象过点（2，﹣2），那么函数y=f﹣1（﹣2x）+1的图象一定过点（1，3）．
【考点】4R：反函数．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】利用函数与其反函数之间关于直线y=x对称的关系即可求出
【解答】解：∵函数y=f（x）的图象过点（2，﹣2），
∴函数y=f（x）的反函数过（﹣2，2），即2=f﹣1（﹣2），∴g（1）=f﹣1（﹣2）+1=3，∴函数y=f﹣1（﹣2x）+1过点（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】本题考查了反函数，考查了互为反函数的两函数图象间的关系，是基础题．
8．（4分）已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f （x）=x2﹣ax+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是（2，+∞）．
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由f（﹣x）=f（x），可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当x ≥0时函数f（x）有2个零点，即可得到结论．
【解答】解：∵f（﹣x）=f（x），
∴函数f（x）是偶函数，
∵f（0）=1＞0，
根据偶函数的对称轴可得当x≥0时函数f（x）有2个零点，
即，∴，
解得a＞2，
即实数a的取值范围（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）
【点评】本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．
9．（4分）抛物线y2=8x的动弦AB的长为6，则弦AB中点M到y轴的最短距离是．
【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据当|AB|≤2p时，AB平行于y轴时，AB 的中点到y轴的距离取得最小值．
【解答】解：当|AB|≤2p时，AB平行于y轴，AB的中点到y轴的距离取得最小值，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
AB平行于y轴，|y1|=|y2|=3，且有：
y12=8x1，y22=8x2，
所求的距离为
S====
故答案为．
【点评】本题主要考查了抛物线的应用．灵活利用了抛物线的定义．
10．（4分）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有180种．
【考点】D3：计数原理的应用．
【专题】5O：排列组合．
【分析】根据分步计数原理，先选2门确定为甲乙相同的2门，再从剩下的4门中任选2门分配给甲乙即可．
【解答】解：先出6门中选2门，再从剩下的4门再选2门分给甲乙，故甲乙所选的课程中恰有2门相同，故有C62×A42=180种情况，
故答案为：180．
【点评】本题考查分步计数原理，关键是如何分步，属于基础题
11．（4分）已知，则无穷数列{a n}前n项和的极限为．【考点】8J：数列的极限．
【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】n求出a1；a2；a3，a4，a5，…，可得n为偶数时，a n=0；n为奇数时的
a n．可得其极限．
【解答】解：n=1时，a1=0，n=2时，a2=；n=3时，a3=0，n=4时，a4=；
n=5时，a5=0，…，
可得n为奇数时，a n=0；n为偶数时，．
利用无穷等比数列数列前n项和的极限为：（q为等比数列{a n}的公比，0＜|q|＜1，或q=﹣1）．
∴无穷数列{}前n项和的极限===．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的周期性、无穷等比数列的}前n项和的极限，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
12．（4分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．【考点】7F：基本不等式及其应用．
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】变形利用基本不等式即可得出．
【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，
∴（0＜x＜2）．
∴x+y=x+==（x+1）+﹣3﹣3=﹣3，
当且仅当x=时取等号．
∴x+y的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
13．（4分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任意给定正数M，定义函数
，则称函数f M（x）为f（x）的“孪生函数”，若给定
函数f（x）=2﹣x2，M=1，则f M（2）=﹣2．
【考点】3T：函数的值．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由已知得f（2）=2﹣4=﹣2，从而得到M=1时，f M（2）=f（2）=﹣2．【解答】解：∵函数，f（x）=2﹣x2，
∴f（2）=2﹣4=﹣2，M=1时，f M（2）=f（2）=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意“孪生函数”的性质的合理运用．
14．（4分）当x和y取遍所有实数时，f（x，y）=（x+5﹣|cosy|）2+（x﹣|siny|）2≥m恒成立，则m的最大值为8．
【考点】3R：函数恒成立问题．
【专题】5B：直线与圆．
【分析】根据点的几何意义可知，转化为即直线y=x﹣5上的点与第一象限圆x2+y2=1且x，y≥0之间的最小值，问题得以解决
【解答】解：f（x，y）=（x+5﹣|cosy|）2+（x﹣|siny|）2，
所表达的就是点（x+5，x）到点（|cosy|，|siny|）的距离的平方
而（x+5，x）是直线y=x﹣5上的点
根据参数方程，令a=x+5，b=x，消去x，得到b=a﹣5
同样地，令|cosy|=a，|siny|=b
消去y，有a2+b2=1 且a，b＞0，
即点（|cosy|，|siny|）是第一象限圆a2+b2=1上的点，
分别再令a=x，b=y，
即直线y=x﹣5与第一象限圆x2+y2=1且x，y≥0之间的最小值，
根据圆上点（1，0）到直线的距离公式，得到d==2，
∴m≤8．
故m的最大值为8，
故答案为：8
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，两点之间的距离公式，属于中档题二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，
选对得5分，否则一律得零分.
15．（5分）已知，且，则向量与向量的夹角是（）A．30°B．45°C．90°D．135°
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
【分析】欲求向量与向量的夹角，根据题目所给条件有：
以及求出所求角的余弦值，再根据余弦值即可求出向量之间的夹角．
【解答】解：，
所以1﹣1××cos＜＞=0，
解得cos＜＞=，即＜＞=45°，
故选：B．
【点评】本题考查数量积表示两个向量的夹角和数量积的相关运算．
16．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）
A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊊αD．若a∥α，α⊥β，则a⊥β
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由直线与平面平行的判定定理得b∥α，故A正确；
若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；若a⊥β，α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质得a∥α或a⊊α，故C正确；
若a∥α，α⊥β，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．
17．（5分）设a，b为负实数，则“a＜b”是a＜b﹣”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；71：不等关系与不等式．
【专题】11：计算题．
【分析】根据所给的两个数字是正实数，写出两个数字的倒数之间的关系，在倒数两边同时乘以符号，把两个不等式相加得到结论，可以证明反之也成立．【解答】解：∵a，b为正实数，
a＜b
∴
∴
∴
反之亦成立
∴前者是后者的充要条件，
故选：C．
【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是需要用不等式的基本性质写出由一个推出另一个的方法，要严格按照不等式基本性质来写．
18．（5分）设函数f（x）=n﹣1，x∈[n，n+1），n∈N，函数g（x）=log2x，则方程f（x）=g（x）实数根的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】此题考查的是根的存在性与根的个数判断问题．在解答的过程当中可以通过画图观察解决，也可以通过对自然数n逐一取值进行验证获得解答．【解答】解：根据题意，详细画出f（x）和g（x）在同一坐标系中函数图象，
①当n=0时，f（x）=﹣1，x∈[0，1），则log2x=﹣1⇒x=∈[0，1）
②当n=1时，f（x）=0，x∈[1，2），则log2x=0⇒x=1∈[1，2）
③当n=2时，f（x）=1，x∈[2，3），则log2x=1⇒x=2∈[2，3）
④当n=3时，f（x）=2，x∈[3，4），则log2x=2⇒x=4∉[3，4）
⑤当n=4时，f（x）=3，x∈[4，5），则log2x=3⇒x=8∉[4，5）
由此下区x的解成指数增长，而区间成正比增长，故以后没有根了，
即有3个根．
故选：C．
【点评】此题考查的是根的存在性与根的个数判断问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，CC1=4，M 为棱CC1上一点．
（1）若C1M=1，求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值；
（2）若C1M=2，求证BM⊥平面A1B1M．
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LW：直线与平面垂直．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）由C1D1∥B1A1，得∠B1A1M是异面直线A1M和C1D1所成角，由此能示出异面直线A1M和C1D1所成角的正切值．
（2）C1M=2时，由勾股定理得B1M⊥BM，A1M⊥BM，由此能证明BM⊥平面A1B1M．【解答】（1）解：∵C1D1∥B1A1，
∴∠B1A1M是异面直线A1M和C1D1所成角，
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，
∴A1B1⊥B1M，
∵AB=2，BC=2，CC1=4，M为棱CC1上一点，C1M=1，
∴B1M===，
∴tan∠B1A1M==，
∴异面直线A1M和C1D1所成角的正切值为．
（2）证明：C1M=2时，B1M=BM==2，
∴=，∴B1M⊥BM．
∵=4+4+4=12，
，
∴=，
∴A1M⊥BM，
又A1M∩B1M=M，∴BM⊥平面A1B1M．
【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查直线与平面的证明，解
题时要注意空间思维能力的培养．
20．（14分）如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y=Asin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．
（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？
【考点】HO：三角函数模型的应用．
【专题】11：计算题；12：应用题；57：三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由题意，A=50，b=60，T=3；从而可得y=50sin（t+φ）+60；再代入初相即可；
（2）在第一个3分钟内求即可，令50sin（t﹣）+60＞85解得．
【解答】解：（1）由题意，
A=50，b=60，T=3；
故ω=，
故y=50sin（t+φ）+60；
则由50sinφ+60=10及φ∈[﹣π，π]得，
φ=﹣；
故y50sin（t﹣）+60；
（2）在第一个3分钟内求即可，
令50sin（t﹣）+60＞85；
则sin（t﹣）＞；
故＜t﹣＜，
解得，1＜t＜2；
故在摩天轮转动的一圈内，有1分钟时间点P距离地面超过85米．
【点评】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，属于基础题．
21．（14分）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左、右顶
点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在“8”字形曲线上求点P，使得
∠F1PF2是直角．
【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．
【专题】11：计算题；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求出半圆的圆心和半径，求得圆与x轴的交点，即有a=2，令y=2，解得交点，代入双曲线方程，解得b，进而得到双曲线的方程；
（2）求出焦点坐标，∠F1PF2是直角，则设P（x，y），则有x2+y2=8，联立两半圆的方程及双曲线方程，解得交点，注意检验，即可得到所求的P的坐标．【解答】解：（1）上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，则圆心为（0，2），半径为2．
则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2．
双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即
a=2，
由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得，x=．即有交点为（，2）．
设双曲线的方程为=1（a＞0，b＞0），
则=1，且a=2，解得，b=2．
则双曲线的方程为=1；
（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），
若∠F1PF2是直角，则设P（x，y），则有x2+y2=8，
由解得，x2=6，y2=2．
由解得，y=±1，不满足题意，舍去．
故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为（），（﹣），
（﹣，﹣），（，﹣）．
【点评】本题考查双曲线的方程的求法，考查圆与圆、双曲线的位置关系，考查运算能力，属于基础题．
22．（16分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=，数列{b n}是等比数列，且b1=a1，b2=﹣a3，b3=a4，数列{b n}的前n项和为S n，记点Q n（b n，S n），n∈N*．
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）证明：点Q1、Q2、Q3、…、Q n、…在同一直线l上，并求出直线l方程；（3）若A≤S n﹣≤B对n∈N*恒成立，求B﹣A的最小值．
【考点】87：等比数列的性质；8K：数列与不等式的综合．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由题意可
得，解方程组可得；
（2）由题意可得x=b n=﹣3×，y=S n=1﹣（﹣）n，；消去（﹣）n可得；（3）令t=S n﹣，由单调性可得t min=﹣，t max=，由题意可得[﹣，]⊆[A，B]，易得B﹣A的最小值为．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，
则由题意可得，解得或，
∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，∴q=﹣，
∴数列{b n}的通项公式b n=﹣3×；
（2）∵Q n（b n，S n），∴x=b n=﹣3×，
y=S n==1﹣（﹣）n，；
∴消去（﹣）n可得y=x+1，
∴点Q1、Q2、Q3、…、Q n、…在同一直线l：y=x+1上；
（3）由（2）可知S n=1﹣（﹣）n，令t=S n﹣，
∵S n＞0，∴t随着S n的增大而增大，
当n为奇数时，S n=1+（）n在奇数集上单调递减，S n∈（1，]，t∈（0，]，当n为偶数时，S n=1﹣（）n在偶数集上单调递增，S n∈[，1），t∈[，0），∴t min=﹣，t max=，∵A≤S n﹣≤B对n∈N*恒成立，
∴[﹣，]⊆[A，B]，∴B﹣A的最小值为﹣（﹣）=．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的综合应用，涉及恒成立和函数的单调性及分类讨论的思想，属中档题．
23．（18分）已知函数．
（1）指出的基本性质（结论不要求证明）并作出函数f（x）的图象；
（2）关于x的不等式kf2（x）﹣2kf（x）+6（k﹣7）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换；57：函数与方程的综合运用；7E：其他不等式的解法．
【专题】11：计算题；31：数形结合；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）求出函数的定义域和奇偶性、单调性及值域，并画出图象；
（2）运用参数分离，求得右边的最大值即可；
（3）由函数的值域，去掉绝对值，再令t=f（x），根据图象确定两根的情况，一个为2，另一个介于0和2之间，再由韦达定理，即可得到n的范围．
【解答】解：（1）显然f（x）定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，
当x＜﹣1时，f（x）=﹣，递增，
当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣2x，递减，
当0＜x≤1时，f（x）=2x，递增，当x＞1时，f（x）=，递减．
f（x）的值域为（0，2]．
f（x）的图象如图所示：
（2）关于x的不等式kf2（x）﹣2kf（x）+6（k﹣7）＞0恒成立，
即为k[f2（x）﹣2f（x）+6]＞42，即k＞恒成立，
则当f（x）=1时，（f（x）﹣1）2+5取得最小值5，
即有k＞；
（3）由于f（x）＞0，则关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0等价于
f2（x）+mf（x）+n=0，
由于关于x的方程f2（x）+mf（x）+n=0有6个不同解，
则令f（x）=t，
则关于t的方程t2+mt+n=0必有两解，
由图象可得，t1=2，0＜t2＜2，
则t1+t2=﹣m，t1t2=n，
即有﹣4＜m＜﹣2，0＜n＜4．
则有n的取值范围为（0，4）．
【点评】本题考查绝对值函数的图象和性质，考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．。