2017版高考数学(文)(全国)一轮复习文档：第二章 函数概念与基本初等函数I 2.5 含答案

1．分数指数幂
(1）规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n＝错误!（a〉0,m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a m n ＝错误!(a〉0，m，n∈N*，且n〉1)；0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义．（2）有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs,(ab）r＝a r b r，其中a>0，b〉0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝a x a>10〈a<1
图象
定义域(1）R
值域(2)(0，＋∞）
性质(3)过定点(0，1）
（4)当x>0时,y>1；当x<0时，0〈y<1(5)当x〉0时，0〈y〈1；当x〈0时，y>1
（6)在（－∞，＋∞)上是增函数
（7)在(－∞，＋∞）上是减函数
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”)
(1)错误!＝(错误!）n＝a。

（×)
（2）分数指数幂a m n可以理解为错误!个a相乘．( ×）
(3）（－1)24＝(－1)12＝－1。

( ×)
(4）函数y＝a－x是R上的增函数．( ×)
(5)函数y＝21＋x a（a>1)的值域是(0，＋∞）．（×)
(6）函数y＝2x－1是指数函数．（×）
1．函数f（x)＝a x－1（a>0，且a≠1)的图象一定过定点（）A．（0，1）B．（1，1）
C．（1，0）D．（0，0）
答案 B
解析 令x －1＝0得x ＝1，此时y ＝a 0＝1，所以点(1,1)与a 无关，所以函数f (x ）＝a x －1(a 〉0,且a ≠1）的图象过定点（1，1)． 2．函数f (x )＝a x －错误!（a >0,a ≠1)的图象可能是（ )
答案 D
解析 函数f (x )的图象恒过(－1，0)点,只有图象D 适合． 3．计算：错误!×错误!×错误!＋lg 错误!－lg 25＝________. 答案 1 解析
错误!
×错误!×错误!＋lg 错误!－lg 25＝312
×13
13
32
×316×213
－lg 4－lg 25
＝3－lg 100＝3－2＝1。

4．若函数y ＝（a 2－1）x 在（－∞，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－错误!，－1）∪(1，错误!)
解析 由y ＝(a 2－1）x 在(－∞,＋∞)上为减函数，得0〈a 2－1〈1，∴1<a 2〈2，即1<a 〈错误!或－错误!<a <－1。

5．函数y ＝8－23－x （x ≥0）的值域是____________． 答案 [0，8）
解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0〈23－x ≤23＝8，∴0≤8－23－x <8， ∴函数y ＝8－23－x 的值域为［0，8）．
题型一 指数幂的运算
例1 化简：(1) 错误! （a >0，b 〉0）； (2）
()21
103
227()0.00252)(23).8
--－－＋－－＋－.
解 （1)原式＝错误!＝a 3111263
+-+b
11
1233
+--＝ab －1。

（2)原式＝1
22
3
271()
18
50052-
-⎛⎫
⎪
⎝⎭
－＋－－ ＝
1
22381()10(52)127500⎛⎫ ⎪⎝⎭
－＋－＋ ＝错误!＋10错误!－10错误!－20＋1＝－错误!.
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算，还应注意:①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时,先确定符号，再把底数化为正数．
(3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
（1)[(0.06415）－2.5]23－错误!－π0＝
__________________________________。

（2)(错误!）12-·错误!＝________。

答案(1）0 （2)错误!
解析（1)原式＝错误!23－错误!13－1＝错误!152
()
⨯-⨯－错误!13－1＝错误!－错误!－1
523
＝0。

(2）原式＝错误!＝错误!.
题型二指数函数的图象及应用
例2 （1)函数f（x)＝a x－b的图象如
图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b〈0
B．a〉1,b〉0
C．0<a〈1，b〉0
D．0〈a<1，b<0
（2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点,则b的取值范围是________．
答案（1）D （2）[－1，1]
解析（1）由f(x)＝a x－b的图象可以观察出,函数f（x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x）＝a x－b的图象是在f（x)＝a x
的基础上向左平移得到的，所以b〈0，故选D。

(2）曲线｜y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示,由图象可知:如果|y｜＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈［－1，1]．
思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除．
(2）对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．（3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．（1）在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝错误!x的图象之间的关系是( ）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称
（2）已知函数f(x）＝｜2x－1｜，a〈b〈c且f（a）>f（c）〉f(b),则下列结论中，一定成立的是（)
A．a〈0，b〈0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a〈2c D．2a＋2c〈2
答案（1）A (2）D
解析(1)∵y＝错误!x＝2－x，
∴它与函数y＝2x的图象关于y轴对称．
（2)作出函数f(x)＝｜2x－1|的图象,如图，
∵a<b〈c，且f（a）〉f(c)〉f(b），结合图象知
0〈f（a）〈1，a〈0，c〉0，
∴0〈2a<1。

∴f(a）＝｜2a－1｜＝1－2a〈1，
∴f（c)〈1，∴0〈c<1.
∴1〈2c<2,∴f（c)＝|2c－1|＝2c－1,
又∵f(a）>f（c)，∴1－2a〉2c－1,
∴2a＋2c〈2，故选D。

题型三指数函数的图象和性质
命题点1 比较指数式的大小
例3 （1）下列各式比较大小正确的是（)
A．1.72.5〉1。

73B．0.6－1>0。

62
C．0.8－0.1〉1。

250.2D．1.70.3〈0。

93。

1
(2)设a＝错误!25，b＝错误!35，c＝错误!25，则a，b，c的大小关系是________．
答案(1）B （2)a〉c>b
解析(1）A中, ∵函数y＝1。

7x在R上是增函数,
2．5〈3，∴1。

72。

5〈1。

73，错误；
B中，∵y＝0。

6x在R上是减函数，－1〈2，
∴0.6－1〉0.62,正确;
C中，∵(0。

8）－1＝1。

25，
∴问题转化为比较1。

250。

1与1。

250.2的大小．
∵y＝1。

25x在R上是增函数，0.1<0。

2，
∴1。

250。

1<1.250.2，即0。

8－0.1〈1.250。

2，错误；
D中，∵1.70.3>1,0<0.93。

1<1,
∴1.70.3〉0.93。

1,错误．故选B.
(2)∵y＝错误!x为减函数,
∴错误!35〈错误!25即b<c，
又错误!＝错误!＝错误!25>错误!0＝1，
∴a>c，故a〉c>b。

命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4 设函数f(x）＝错误!若f（a）<1，则实数a的取值范围是（）A．(－∞,－3) B．(1，＋∞）
C．(－3,1) D．（－∞,－3)∪（1，＋∞)
答案C
解析当a<0时,不等式f（a）〈1可化为错误!a－7<1，即错误!a〈8,即错误! a<错误!－3，因为0<错误!<1,所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)〈1可化为错误!<1,所以0≤a<1.故a的取值范围是(－3，1)，故选C.
命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质
例5 设函数f（x）＝ka x－a－x（a〉0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1)若f(1)>0，试求不等式f（x2＋2x)＋f(x－4)〉0的解集；
（2)若f（1)＝3
2
，且g（x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g（x)在［1，＋∞)
上的最小值．
解因为f(x）是定义域为R的奇函数，
所以f（0)＝0，所以k－1＝0，即k＝1,f(x)＝a x－a－x。

（1)因为f（1)〉0,所以a－错误!〉0，
又a〉0且a≠1,所以a>1.
因为f′（x)＝a x ln a＋a－x ln a＝(a x＋a－x)ln a>0,
所以f（x）在R上为增函数，原不等式可化为f（x2＋2x)〉f（4－x），所以x2＋2x〉4－x,即x2＋3x－4>0，
所以x〉1或x〈－4.
所以不等式的解集为｛x|x〉1或x〈－4}．
（2)因为f(1）＝错误!,所以a－错误!＝错误!，
即2a2－3a－2＝0，所以a＝2或a＝－错误!（舍去）．
所以g(x)＝22x＋2－2x－4（2x－2－x）
＝（2x－2－x）2－4(2x－2－x）＋2。

令t（x）＝2x－2－x(x≥1）,则t(x）在（1，＋∞)为增函数(由(1)可知），
即t(x)≥t(1）＝3 2，
所以原函数为ω（t）＝t2－4t＋2＝（t－2)2－2,
所以当t＝2时，ω(t)min＝－2，此时x＝log2（1＋2)．
即g（x）在x＝log2(1＋错误!)时取得最小值－2.
思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略
(1）比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值（0或1）法．(2）简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3）解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质（如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不
确定时，对底数的分类讨论．
(1)已知函数f（x）＝2｜2x－m｜(m为常数)，若f（x)在区间[2,＋∞)上是增函数,则m的取值范围是________．
(2）若函数f(x）＝错误!，其定义域为(－∞，1］，则a的取值范围是（)
A．a＝－错误!B．a≥－错误!
C．a≤－错误!D．－错误!≤a〈0
答案（1)（－∞，4］（2)A
解析(1）令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m｜在区间[错误!，＋∞）上单调递增，在区间(－∞，错误!]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，
所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞）上单调递增，则有m
2
≤2，即
m≤4，所以m的取值范围是（－∞，4］．
（2）由题意得1＋3x＋a·9x≥0的解集为(－∞，1］，即错误!2＋错误!x ＋a≥0的解集为（－∞，1]．令t＝错误!x，则t≥错误!，即方程t2＋t＋a≥0的解集为错误!,所以错误!2＋错误!＋a＝0,a＝－错误!。

4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用
典例（1）函数y＝错误!x－错误!x＋1在区间[－3，2]上的值域是
________．
(2）函数f （x ）＝22112－＋＋x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调减区间为_______________．
思维点拨 （1）求函数值域，可利用换元法,设t ＝错误!x ,将原函数的值域转化为关于t 的二次函数的值域．
（2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求．
解析 (1)因为x ∈[－3，2］，
所以若令t ＝错误!x ,则t ∈错误!，
故y ＝t 2－t ＋1＝错误!2＋错误!。

当t ＝错误!时，y min ＝错误!；当t ＝8时，y max ＝57.
故所求函数值域为错误!。

(2）设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝错误!u 在R 上为减函数，
∴函数f （x ）＝22112－＋＋x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．
又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，
∴f (x )的减区间为(－∞，1]．
答案 (1）错误! (2)（－∞,1］
温馨提醒 （1）解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要
注意“元”的取值范围的变化．
[方法与技巧]
1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．
2．指数函数y＝a x（a>0,a≠1)的性质和a的取值有关,一定要分清a〉1与0〈a〈1.
3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．
［失误与防范]
1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．
3．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0（≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决,但应注意换元后“新元"的范围．
A组专项基础训练
(时间：30分钟）
1．函数f(x）＝2|x－1|的图象是（）
答案B
解析∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除C、D。

又x＝1时，｜f（x)|min＝1，排除A。

故选项B正确．
2．已知函数f(x)＝错误!则f（log27)的值为( ）
A.错误!B。

错误! C.错误! D.错误!
答案B
解析由于log24〈log27〈log28，即2〈log27〈3，log27－2＝log2错误!<1，因此f(log27)＝f(log27－2)＝f错误!＝227log4＝错误!.
3．已知a＝22。

5,b＝2。

50，c＝(错误!)2。

5，则a，b，c的大小关系是（) A．a>c〉b B．c〉a>b
C．b>a>c D．a>b>c
答案D
解析a〉20＝1，b＝1，c〈（错误!）0＝1,∴a〉b〉c.
4．若函数f（x）＝a｜2x－4｜(a〉0，a≠1），满足f（1)＝错误!,则f(x)的
单调递减区间是( ）
A．(－∞，2］B．[2，＋∞)
C．［－2,＋∞) D．(－∞，－2］
答案B
解析由f（1）＝错误!得a2＝错误!，
所以a＝错误!或a＝－错误!（舍去），即f（x)＝(错误!）|2x－4｜.
由于y＝｜2x－4｜在（－∞，2］上递减，在［2,＋∞）上递增，所以f（x)在（－∞，2]上递增,在［2,＋∞）上递减．故选B. 5．若关于x的方程|a x－1|＝2a（a〉0且a≠1)有两个不等实根,则a 的取值范围是（）
A．(0，1）∪(1,＋∞）B．（0，1)
C．（1，＋∞) D.错误!
答案D
解析方程|a x－1｜＝2a(a>0且a≠1）有两个实数根转化为函数y ＝｜a x－1|与y＝2a有两个交点．
①当0<a〈1时，如图（1)，∴0〈2a<1，即0〈a<错误!.
②当a>1时，如图(2），而y＝2a〉1不符合要求．
综上，0<a <错误!.
6．计算：错误!1
3-×错误!0＋81
4
×错误!－ 错误!＝________。

答案 2
解析 原式＝错误!13×1＋234×214－错误!13＝2.
7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0,函数f (x ）＝a x ，若实数m 、n 满足f （m ）>f （n ），则m 、n 的大小关系为________．
答案 m >n
解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1（舍）．
函数f （x )＝3x 在R 上递增，由f （m )>f (n )，得m >n .
8．已知函数f (x )＝2x －错误!，函数g (x )＝错误! 则函数g (x ）的最小值是________．
答案 0
解析 当x ≥0时,g （x ）＝f （x ）＝2x －错误!为单调增函数，所以g （x ）≥g (0)＝0;当x <0时,g (x )＝f (－x )＝2－x －错误!为单调减函数，所以g （x ）>g (0)＝0,所以函数g （x ）的最小值是0.
9．已知函数f (x )＝24313－＋ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
(1)若a ＝－1，求f （x ）的单调区间；
(2）若f （x ）有最大值3，求a 的值．
解 （1）当a ＝－1时，f （x )＝24313－－＋x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
令g （x )＝－x 2－4x ＋3，
由于g (x ）在（－∞，－2）上单调递增,在（－2，＋∞）上单调递减， 而y ＝错误!t 在R 上单调递减,
所以f （x ）在（－∞，－2）上单调递减，在(－2，＋∞）上单调递增，
即函数f (x ）的单调递增区间是(－2，＋∞），
单调递减区间是（－∞，－2）．
（2)令g （x )＝ax 2－4x ＋3，f （x ）＝错误!g (x )，
由于f （x ）有最大值3,所以g (x )应有最小值－1,
因此必有错误!解得a ＝1，
即当f (x ）有最大值3时,a 的值为1。

10．已知函数f (x ）＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数）．
（1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；
（2）是否存在实数t ,使不等式f （x －t )＋f （x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．
解 (1)∵f (x ）＝e x －错误!x ，
∴f ′（x ）＝e x ＋错误!x ，
∴f ′(x )〉0对任意x ∈R 都成立,
∴f (x ）在R 上是增函数．
∴f (x )的定义域为R ，且f （－x ）＝e －x －e x ＝－f （x )，
∴f (x )是奇函数．
（2）存在．由(1）知f (x )在R 上是增函数和奇函数，
则f (x －t ）＋f (x 2－t 2）≥0对一切x ∈R 都成立，
⇔f （x 2－t 2)≥f (t －x ）对一切x ∈R 都成立，
⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立,
⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝错误!2－错误!对一切x ∈R 都成立,
⇔t 2＋t ≤（x 2＋x )min ＝－错误!⇔t 2＋t ＋错误!＝错误!2≤0，
又错误!2≥0，∴错误!2＝0,∴t ＝－错误!.
∴存在t ＝－12
,使不等式f (x －t ）＋f （x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． B 组 专项能力提升
（时间:20分钟)
11．函数f (x )＝a ｜x ＋1|（a >0，a ≠1）的值域为［1，＋∞），则f (－4）与f (1)的关系是( )
A．f（－4）>f（1）B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4）<f(1）D．不能确定
答案A
解析由题意知a〉1，∴f（－4）＝a3，f（1)＝a2，由单调性知a3〉a2，∴f(－4)>f(1）．
12．已知函数f（x）＝x－4＋错误!,x∈(0，4),当x＝a时，f(x)取得最小值b，则在直角坐标系中函数g(x)＝错误!|x＋b｜的图象为( ）
答案B
解析f(x）＝x－4＋错误!＝x＋1＋错误!－5≥2错误!－5＝1，取等号时x ＋1＝错误!，此时x＝2.所以a＝2,b＝1，则g(x)＝错误!|x＋1|.g(x)的图象可以看作是y＝错误!|x|的图象向左平移一个单位得到的，选项B符合要求．
13．关于x的方程错误!x＝错误!有负数根，则实数a的取值范围为__________．
答案错误!
解析由题意，得x<0，所以0〈错误!x〈1,
从而0〈2＋3a 5－a
〈1，解得－错误!<a 〈错误!。

14．当x ∈（－∞，－1］时，不等式(m 2－m ）·4x －2x 〈0恒成立，则实数m 的取值范围是________．
答案 （－1，2)
解析 原不等式变形为m 2－m <错误!x ，
因为函数y ＝错误!x 在（－∞，－1]上是减函数，
所以⎝ ⎛）12x ≥错误!－1＝2,
当x ∈（－∞，－1］时，m 2－m 〈错误!x 恒成立等价于m 2－m 〈2，解得－1<m 〈2.
15．已知定义在实数集R 上的奇函数f (x ）有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时,f (x ）＝错误!.
（1）求函数f (x ）在（－1,1）上的解析式；
(2)判断f (x ）在（0，1）上的单调性；
(3)当λ取何值时，方程f （x )＝λ在(－1,1）上有实数解？
解 (1)∵f (x ）是x ∈R 上的奇函数,∴f （0）＝0.
设x ∈(－1,0），则－x ∈（0,1)，
f （－x )＝错误!＝错误!＝－f (x )，
学必求其心得，业必贵于专精
∴f （x )＝－错误!，
∴f （x ）＝错误!
(2）设0〈x 1<x 2<1，
f (x 1)－f （x 2）＝
()()()()121221122222224141x x x x x x x x ++-+-++ ()()
()()12121222124141x x x x x x +-+-=++
∵0〈x 1<x 2<1,∴21x <22x ，212＋x x >20＝1,
∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在（0,1）上为减函数．
（3）∵f (x ）在（0，1）上为减函数，
∴错误!<f （x )<错误!，即f （x ）∈错误!.
同理，f （x ）在(－1，0）上时,f （x ）∈错误!.
又f （0)＝0，当λ∈错误!∪错误!,
或λ＝0时，方程f （x )＝λ在x ∈（－1，1)上有实数解.。