高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲

§9.9圆锥曲线的综合问题
最新考纲考情考向分析
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系
的思想方法．
2.了解圆锥曲线的简单应用．
3.理解数形结合的思想.
以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置
关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、
对称、存在性问题．题型主要以解答题形式
出现，属于中高档题.
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c ＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；
②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；
③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．
(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2 |x2－x1|＝1＋
1
k2
|y2－y1|.
3．圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程(组)思想：引参—列方程(组)—消参—求值，或围绕函数思想求范围、最值．或根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题．
知识拓展
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l 与抛物线y 2
＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × )
(2)设点P (x 0，y 0)为双曲线y 2a 2－x 2
b 2＝1上的任一点，则|x 0|≥a .( × )
(3)椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1上的点到焦点距离的最大值是a ＋c .( √ )
(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 2
4
＋y 2
＝1只有一条切线．( × )
(6)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y 2
＝2px (p >0)上，且直线AB 过抛物线的焦点，则y 1y 2＝－p 2
.( √ ) 题组二 教材改编
2．[P71例6]过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2
＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
答案 C
解析 过(0,1)与抛物线y 2
＝4x 相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．
3．[P80A 组T8]已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 2
4－y 2
＝1相交于A ，B 两点，则
|AB |的最小值为________． 答案 4
解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 2
4－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2
)，
所以x 1＝4(1＋m 2
)＝21＋m 2
，
x 2＝－21＋m 2，
所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2
≥4， 即当m ＝0时，|AB |有最小值4. 题组三 易错自纠
4．过抛物线y 2
＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A ．有且只有一条 B ．有且只有两条 C ．有且只有三条 D ．有且只有四条
答案 B
解析 设该抛物线的焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p 2＋x B ＋p
2
＝
x A ＋x B ＋1＝3>2p ＝2.
所以符合条件的直线有且只有两条．
5．(2017·江西省南昌市三模)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π
4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为________．
答案
6．已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点
为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±x
解析 抛物线的准线方程为y ＝－p
2，焦点为F ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0，p 2，
∴a 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 22
＝c 2
.①
设抛物线的准线y ＝－p 2交双曲线于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1
，－p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
，－p 2两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－p 2，x 2
a 2
－y 2b 2
＝1，
即x 2
a 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 22
b
2＝1，解得x ＝±a p 2
4b
2＋1， ∴2a
p 2
4b
2＋1＝2c .② 又∵b 2
＝c 2
－a 2
，③
∴由①②③，得c 2
a 2＝2.
∴b 2a 2＝c 2a 2－1＝1，解得b
a
＝1. ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x .
第1课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
典例 (2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |
＝
3e
|FA |
，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；
(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围． 解 (1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e
|FA |，
即1c ＋1a ＝
3c a (a －c )
，可得a 2－c 2＝3c 2
.
又a 2
－c 2
＝b 2
＝3，所以c 2
＝1，因此a 2
＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，
则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．
设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
3
＝1，
y ＝k (x －2)
消去y ，
整理得(4k 2
＋3)x 2
－16k 2
x ＋16k 2
－12＝0. 解得x ＝2或x ＝8k 2
－6
4k 2＋3
.
由题意得x B ＝8k 2
－64k 2＋3，从而y B ＝－12k
4k 2＋3.
由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )， 有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k
2
4k 2＋3，12k 4k 2＋3.
由BF ⊥HF ，得BF →·FH →
＝0，
所以4k 2
－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 2
12k .
因此直线MH 的方程为y ＝－1
k x ＋9－4k 2
12k
.
设M (x M ，y M )，由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k
2
12k ，
消去y ，解得x M ＝20k 2
＋9
12(k 2
＋1)
. 在△MAO 中，由∠MOA ≤∠MAO ，得|MA |≤|MO |， 即(x M －2)2
＋y 2
M ≤x 2
M ＋y 2
M ，
化简，得x M ≥1，即20k 2
＋9
12(k 2
＋1)≥1， 解得k ≤－
64或k ≥64
. 所以直线l 的斜率的取值范围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
64，＋∞.
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
跟踪训练 (2018·开封质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23
－y 2
＝1的离心率互为
倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围． 解 (1)∵双曲线的离心率为23
3
， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝
32
. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1， ∴椭圆方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，
M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2
4
＋y 2
＝1，
消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2
－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2
－1)
1＋4k 2，
于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2
x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
.
又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，
故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2
＝k 2
， 则－8k 2m 2
1＋4k
2＋m 2＝0.
由m ≠0得k 2
＝14，解得k ＝±12.
又由Δ＝64k 2m 2
－16(1＋4k 2
)(m 2
－1) ＝16(4k 2
－m 2
＋1)>0，得0<m 2
<2，
显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，
与已知矛盾)．
设原点O 到直线的距离为d ， 则S △OMN ＝1
2
|MN |d
＝12·1＋k 2
·|x 1－x 2|·|m |1＋k 2
＝12|m |(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2 ＝－(m 2
－1)2
＋1.
故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1)．
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
典例 过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( )
A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 C
解析 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |
＝
21－cos θ×21＋cos θ＝4
sin 2
θ
≥4. 命题点2 数形结合利用几何性质求最值
典例 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2
－y 2
＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________． 答案
22
解析 双曲线x 2
－y 2
＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝
|1－0|
12＋(－1)2
＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤
22，故c 的最大值为2
2
. 命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值
典例 (2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22
，
焦距为2.
(1)求椭圆E 的方程； (2)如图，动直线l ：y ＝k 1x －3
2
交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为k 2，且k 1k 2＝
2
4
.M 是线段OC 延长线上一点，且|MC |∶|AB |＝2∶3，⊙M 的半径为|MC |，
OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T .求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l
的斜率．
解 (1)由题意知e ＝c a ＝2
2
，2c ＝2，所以c ＝1， 所以a ＝2，b ＝1，
所以椭圆E 的方程为x 2
2＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
2＋y 2＝1，
y ＝k 1
x －3
2
，
得(4k 2
1＋2)x 2
－43k 1x －1＝0. 由题意知Δ＞0，
且x 1＋x 2＝23k 12k 21＋1，x 1x 2＝－1
2(2k 2
1＋1)
， 所以|AB |＝1＋k 21
|x 1－x 2|＝ 2 1＋k 2
1 1＋8k 2
1
1＋2k 2
1
. 由题意可知，圆M 的半径r 为 r ＝23|AB |＝223·1＋k 2
1 1＋8k 2
12k 2
1＋1， 由题设知k 1k 2＝
24，所以k 2＝2
4k 1
， 因此直线OC 的方程为y ＝2
4k 1
x .
联立方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
2＋y 2＝1，
y ＝24k 1
x ，
得x 2
＝8k 2
11＋4k 21，y 2
＝11＋4k 21，
因此|OC |＝x 2
＋y 2
＝
1＋8k 2
1
1＋4k 21
. 由题意可知，sin ∠SOT 2＝r r ＋|OC |＝1
1＋
|OC |
r
.
而
|OC |
r ＝1＋8k 2
1
1＋4k 2
1
223·1＋k 21 1＋8k 21
1＋2k 21
＝324·1＋2k 2
11＋4k 21 1＋k 2
1
， 令t ＝1＋2k 2
1，则t ＞1，1t
∈(0,1)，
因此|OC |r ＝32·t 2t 2
＋t －1＝32·12＋1t －1t
2
＝32
·1
－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋94
≥1，
当且仅当1t ＝12，即t ＝2时等号成立，此时k 1＝±2
2，
所以sin ∠SOT 2≤12，因此∠SOT 2≤π
6，
所以∠SOT 的最大值为π
3
.
综上所述，∠SOT 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为k 1＝±2
2.
思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
跟踪训练 (2018·邢台模拟)已知椭圆x 2
2＋y 2
＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对
称．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为
y ＝－1
m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
2＋y 2
＝1，y ＝－1
m x ＋b ，
消去y ，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2
－
1＝
0.
因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 2
2＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2
＋2＋4m
2＞0，①
将AB 的中点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2mb
m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2
＋22m 2，②
由①②得m ＜－
63或m ＞6
3
. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝
⎛⎭⎪⎫0，62，则t 2
∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.
则|AB |＝t 2
＋1·
－2t 4＋2t 2
＋
32t 2
＋
12
，
且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋
1
2
t 2＋1
.
设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝
1
2
－2⎝
⎛⎭⎪⎫t 2－122
＋2≤22，
当且仅当t 2＝12时，等号成立，此时满足t 2
∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.
故△AOB 面积的最大值为2
2
.
1．(2017·河北武邑中学模拟)已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 2
4＋y 2
＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两
个焦点，若PF 1→·PF 2→
<0，则x 0的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－263
，263
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－233
，233
C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－
33，33 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
63，63 答案 A
解析 由题意可知：F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 则PF 1→·PF 2→＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 20＝x 20＋y 2
0－3<0， 点P 在椭圆上，则y 20
＝1－x 20
4
，
故x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
04－3<0，解得－263<x 0<263， 即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
－263
，263.
2．斜率为1的直线l 与椭圆x 2
4＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.810
5
答案 C
解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋4y 2
＝4，
y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2
－1)＝0，
则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2
－1)5.
∴|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝1＋k 2
·(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2 ＝2·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－85t 2－4×4(t 2
－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝410
5
.
3．过抛物线y 2
＝x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且直线l 的倾斜角θ≥π4
，点
A 在x 轴上方，则|FA |的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤14，1 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，＋∞
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞
D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1
4
，1＋22
答案 D
解析 记点A 的横坐标是x 1，则有|AF |＝x 1＋1
4
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋|AF |cos θ＋14＝1
2
＋|AF |cos θ， |AF |(1－cos θ)＝12，|AF |＝12(1－cos θ)
.
由π4≤θ<π得－1<cos θ≤22，2－2≤2(1－cos θ)<4，14<12(1－cos θ)≤12－2＝1＋2
2， 即|AF |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1
4
，1＋22.
4．(2018·长春质检)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，对于左支
上任意一点P 都有|PF 2|2
＝8a |PF 1|(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(2,3] C ．(1,3] D ．(1,2]
答案 C
解析 由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义， 得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，
所以|PF 2|2
|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ＝8a ，
所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ， 在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|， 即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝c a
≤3. 又e >1，所以1<e ≤3.故选C.
5．(2018届云南昆明一中摸底)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2
＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.22 B.23 C.33
D ．1
答案 A
解析 由题意可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
02p ，y 0(y 0>0)， 则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →
)
＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y 2
06p ＋p 3，y 03， 可得k ＝
y 0
3
y 2
6p ＋p 3＝
1
y 02p ＋
p y 0≤
1
2y 02p ·p y 0
＝
22
. 当且仅当y 0
2p ＝p
y 0
时取得等号，故选A.
6．(2017·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2
＝4y ，点P 是C 的准线l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则△AOB 面积的最小值为( )
A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 B
解析 设P (x 0，－1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 又A ，B 在抛物线上，所以y 1＝x 214，y 2＝x 22
4
.
因为y ′＝x 2，则过点A ，B 的切线分别为y －x 21
4＝x 12
(x －x 1)，
y －x 22
4
＝x 22
(x －x 2)均过点P (x 0，－1)，
则－1－x 214＝x 12(x 0－x 1)，－1－x 224＝x 22(x 0－x 2)，即x 1，x 2是方程－1－x 24＝x
2
(x 0－x )的两根，则x 1＋x 2＝2x 0，x 1x 2＝－4，设直线AB
的方程为y ＝kx ＋b ，联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＝4y ，
y ＝kx ＋b ，得x 2
－4kx －4b
＝0，则x 1x 2＝－4b ＝－4， 即b ＝1，|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝1＋k 2
·(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2 ＝1＋k 2
·4x 2
0＋16，
O 到直线AB 的距离d ＝
b
k 2＋1
， 则S △AOB ＝12|AB |d ＝x 2
0＋4≥2，
即△AOB 的面积的最小值为2，故选B.
7．(2017·泉州质检)椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为3
2
，F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1
的直线l 与C 交于A ，B 两点，则|AF 2|＋|BF 2|的最大值等于________． 答案 7
解析 因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2
－1a ＝3
2，解得a ＝2，由椭圆定义得|AF 2|＋|BF 2|
＋|AB |＝4a ＝8，
即|AF 2|＋|BF 2|＝8－|AB |，
而由焦点弦性质，知当AB ⊥x 轴时，|AB |取最小值2×b 2
a
＝1，因此|AF 2|＋|BF 2|的最大值等
于8－1＝7.
8．(2018届贵州黔东南州联考)定长为4的线段MN 的两端点在抛物线y 2
＝x 上移动，设点P 为线段MN 的中点，则点P 到y 轴距离的最小值为________．
答案 74
解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，抛物线y 2
＝x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，0，抛物线的准线为x ＝－14，
所求的距离d ＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪x 1＋x 22＝
x 1＋14
＋x 2＋
1
42
－14＝|MF |＋|NF |2－14，所以|MF |＋|NF |2－14≥|MN |2－14
＝7
4
(两边之和大于第三边且M ，N ，F 三点共线时取等号)． 9．(2017·泉州模拟)椭圆x 24＋y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条
直线l 交椭圆于P ，Q 两点，则△F 1PQ 的内切圆面积的最大值是________． 答案
9π16
解析 令直线l ：x ＝my ＋1，与椭圆方程联立消去x ，得(3m 2
＋4)y 2
＋6my －9＝0，可设P (x 1，
y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－
6m 3m 2
＋4，y 1y 2＝－9
3m 2＋4
. 可知1F PQ S V ＝1
2|F 1F 2||y 1－y 2|
＝(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2＝12
m 2＋1(3m 2＋4)
2， 又m 2＋1(3m 2＋4)
2＝1
9(m 2
＋1)＋
1
m 2
＋1
＋6≤116
， 故1F PQ S V ≤3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长
l ＝4a ＝8，则内切圆半径r ＝
128
F PQ
S V ≤34，其面积最大值为9π16
. 10．(2018·日照模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 2
8＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的
任意一点，则OP →·FP →
的最小值为__________． 答案 6
解析 点P 为椭圆x 29＋y 2
8＝1上的任意一点，
设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)， 由题意得左焦点F (－1,0)， ∴OP →＝(x ，y )，FP →
＝(x ＋1，y )，
∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2
＋x ＋72－8x 2
9
＝19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234
. ∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，
∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤225
4， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤254， ∴6≤19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋23
4≤12，
即6≤OP →·FP →
≤12.故最小值为6. 11．已知椭圆C ：x 2
＋2y 2
＝4. (1)求椭圆C 的离心率；
(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．
解 (1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
2＝1，
所以a 2
＝4，b 2
＝2，从而c 2
＝a 2
－b 2
＝2， 因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝
22
. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →
＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0
x 0
.
又x 2
0＋2y 2
0＝4，
所以|AB |2
＝(x 0－t )2
＋(y 0－2)2
＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 2
0＋4y 2
0x 20＋4
＝x 2
＋4－x 2
02＋2(4－x 2
0)
x 20
＋4
＝x 20
2＋8x 20
＋4(0<x 2
0≤4)． 因为x 20
2＋8x 20
≥4(0<x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2
≥8.
故线段AB 长度的最小值为2 2.
12．(2018·商丘模拟)如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为
F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2
b
2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2
＝
3
2
，且|F 2F 4|＝3－1.
(1)求C 1，C 2的方程；
(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为弦AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．
解 (1)因为e 1e 2＝32，所以 a 2
－b 2
a ·a 2
＋b 2
a ＝32，即a 4－
b 4＝34
a 4，因此a 2＝2
b 2
，从而
F 2(b,0)，F 4(3b,0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.
故C 1，C 2的方程分别为x 2
2＋y 2
＝1，x 2
2－y 2
＝1. (2)因为AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)， 故可设直线AB 的方程为x ＝my －1.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my －1，x 2
2
＋y 2
＝1，得(m 2＋2)y 2
－2my －1＝0.
易知此方程的判别式大于0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1，y 2是上述方程的两个实根， 所以y 1＋y 2＝
2m m 2
＋2，y 1y 2＝－1
m 2＋2
. 因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4
m 2＋2
， 于是AB 的中点为M ⎝
⎛⎭
⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2， 故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m
2x ，
即mx ＋2y ＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－m 2x ，x 2
2－y 2＝1，
得(2－m 2)x 2
＝4，
所以2－m 2
>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 2
2－m 2，
从而|PQ |＝2x 2
＋y 2
＝2
m 2＋4
2－m
2. 设点A 到直线PQ 的距离为d ， 则点B 到直线PQ 的距离也为d ，
所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|
m 2＋4.
因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧， 所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0， 于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2| ＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|， 从而2d ＝(m 2
＋2)|y 1－y 2|
m 2＋4.
又因为|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2 ＝22·1＋m 2
m 2＋2，
所以2d ＝22·1＋m
2
m 2
＋4
. 故四边形APBQ 的面积S ＝1
2|PQ |·2d
＝
22·1＋m
2
2－m
2
＝22·
－1＋3
2－m
2.
而0<2－m 2
≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.
13．(2018·郑州模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y 2
＝x 的一
个交点的横坐标为x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，
62 B ．(2，＋∞) C ．(1，2) D.⎝
⎛⎭
⎪⎫
62，＋∞ 答案 C
解析 不妨联立y ＝b a x 与y 2＝x ，消去y 得b 2a 2x 2＝x ，由x 0>1，知b 2a 2<1，即c 2－a 2a
2<1，故e 2
<2，
又e >1，所以1<e <2，故选C.
14．(2017·资阳模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作互相垂直的弦AC ，BD ，则点A ，B ，C ，D 所构成四边形的面积的最小值为( )
A ．16
B ．32
C ．48
D ．64
答案 B
解析 由抛物线的几何性质可知：
|AC |＝2p sin
2θ，|BD |＝2p sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2， ∴S ＝12|AC |×|BD |＝8p 2sin 22θ≥8p 2＝32， 据此可得，点A ，B ，C ，D 所构成四边形的面积的最小值为32.
15．(2018·石家庄模拟)已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC ＝θ，若Γ的离心率为2，则( )
A ．θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．θ＝π2 C ．θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，π D ．θ＝3π4 答案 B 解析 ∵e ＝c
a ＝2，∴c ＝2a ，∴
b 2＝
c 2－a 2＝a 2，
∴双曲线方程可变形为x 2－y 2＝a 2.设B (x 0，y 0)，由对称性可知C (－x 0，y 0)，∵点B (x 0，y 0)在双曲线上，
∴x 20－y 20＝a 2.∵A (a,0)，∴AB →＝(x 0－a ，y 0)，AC →＝(－x 0－a ，y 0)，∴AB →·AC →＝(x 0－a )·(－
x 0－a )＋y 20＝a 2－x 20＋y 20＝0，∴AB →⊥AC →，即θ＝π
2
.故选B. 16．(2017·郑州质检)已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2
n
＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，1 解析 ∵椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2
n
＝1， ∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 2
1＝m ＋2＋n ，
e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋n
m ＋2.
∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1，
∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 2
2＝m －n ，
∴由条件知m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1， ∴e 21＝1－1
m ＋2.
由m >0得m ＋2>2，1m ＋2<12，－1
m ＋2>－12，
∴1－1
m ＋2>12，即e 21>12，而0<e 1<1， ∴2
2<e 1<1.。