强化班讲义

强化班讲义（概率统计）
第一讲随机事件与概率
内容提要
（1）事件间的关系与运算（四种关系，三种运算）
（2）概率及其简单性质（古典概型，几何概型，求逆公式，加法公式，减法公式）
（3）条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes公式）
（4）事件独立性与Bernoulli概型（独立性的实质及应用，Bernoulli概型的三个模型）
典型问题分析
问题1: 事件的表示与运算
例1.1从一批产品中，每次取出一个（取后不放回），抽取三次，用
表示“第i次取到的是正品”，下列结论中不正确的是：
A.表示“至少抽到2个正品”
B. 表示“至少有1个是次品”
C.表示“至少有1个不是正品”
D.表示“至少有1个是正品”【B】
【解】、和分别表示为至少抽到2个正品，它们的并的运算也应该是至少抽到2个正品，其余选项都正确。

【寓意】本题实质是考查用事件的运算符号来描述一用普通语言表达的随机事件，以便今后运用公式计算概率.
问题2: 概率（包括条件概率）的基本公式及应用
技巧：利用概率、条件概率的性质、事件间的关系和运算进行求解。

Venn图的直观。

例1.2某城市居民中订阅A报的有45%，同时订阅A报及B报的有10%，同时订阅A报及C报的有8%，同时订阅A，B，C报的有3%，则“只订阅A报”的事件发生的概率为
A．0.655 B．0.30 C．0.24 D．0.73 【B】
【解】由题
用表示订阅A报
表示既订阅A报又订阅B
表示既订阅A报又订阅C
表示既订阅A、B、C三种报
则只“只订阅A报”即事件
由题意知
又因为都是真包含在事件中
故选B。

例1.3已知,且,则等
于
(A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.3 (D) 0.4 【A】
【解】
所以
例1.4 设事件A,B,C满足,, 则A,B,C 中不多于一个发生的概率为多大? 【】
【解】“不多于一个发生”等价于事件“A,B,C中有一个发生或者一个都不发生”注：遇到“至少”、“至多”的问题时，利用求逆公式。

例1.5 设事件A, B同时发生时, 事件C一定发生, 则
（A）（B）
（C）（D）【B】
【解析】
例1.6 设随机变量X,Y均服从正态分布, 若概率，则
【】
【解】因为X,Y均服从正态分布，所以二维连续形随机变量有相同的分
布律（X,Y）与（Y,X），又连续性随机变量在一点的概率为零，所以
的值为。

问题3: 古典概型与几何概型的直接计算
正确判断试验为古典概型或几何概型；
恰当选取样本空间。

例1.7从5双不同的鞋子中任取4只, 求此4只鞋子至少有两只鞋子配成一双的概率.
【】【解】该提为古典概型问题。

从5双不同的鞋子中任取4只的取法一共有，
4只鞋子没有一双能配对的取法共有，
用事件A表示“从5双不同的鞋子中任取4只”，则
“4只鞋子至少有两只鞋子配成一双”是“从5双不同的鞋子中任取4只”的逆事件，故“4只鞋子至少有两只鞋子配成一双”发生的概率为
例1.8掷n颗骰子, 求出现最大的点数为5的概率.
【】
【解】掷n颗骰子,1，2，3，4，5，6这6个数所有可能出现的次数为
例1.9 随机地向球体内投点, 设点落在球体内任何区域的概
率与该区域的体积成正比, 试求所投的点的坐标满足的概
率.
【】
例1.10 设随机变量X和Y相互独立，均服从[0,2]上的均匀分布，
则= . 【】【解】设随机变量X和Y的概率密度函数分别为，由随机变量X和Y 均服从[0,2]上的均匀分布
知，又随机变量X和Y相互独立所以，随机变量X和Y的联合分布的
概率密度函数
由上图可知
问题4: 事件的独立性及其实质
等价判断条件
独立性的实质（随机变量独立性的实质）
例1.11设事件A,B,C满足, 则有
（A）
（B）
（C）
（D）【B】【解】因为，可知事件A,B相互独立，故
其余选项由题设均推不出。

问题5: 乘法公式与交事件的计算
条件概率—时间上一定有“先后”关系或逻辑上有“主从”关系；
交事件的概率—同时发生。

条件概率两种求法：样本空间缩减法、公式法；
交事件的概率求法：直接法、乘法公式
例1.12在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机也没被击落，则再进攻乙机，此时击落乙机的概率是0.4，求这几个回合中：
（1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率. 【0.24；0.42 4】
例1.13袋中有黑,白球各一个, 每次从袋中任取一球, 取出的球不放回, 但再放进一只白球, 求第n次取到的为白球的概率. 【】问题6: 全概率公式与Bayes公式
问题判断：若随机试验可以分两阶段（或层次）进行，且第一阶段的各试验结果具体发生了哪一个未知，要求第二阶段的结果发生的概率，肯定用全概率公式；
若随机试验可以分两阶段（或层次）进行，且第一阶段的各试验结果具体发生了哪一个未知，但第二阶段的某一个结果是已知的，要求此结果是第一阶段某一个结果所引起的概率，则肯定用Bayes公式。

关键：完备事件组的选取
例1.14一道考题同时列出m个答案，要求学生把其中的一个正确答案选择出来，某考生可能知道哪个是正确答案，也可能乱猜一个，假设他知道正确答案的概率为p，而乱猜的概率为，设他乱猜答案猜对的概率为，如果已知他答对了，问他确实知道哪个是正确答案的概率是多少。

【】【解】用A表示“他知道正确答案”
用B表示“他答对”
则“他乱猜答案猜对”就是
则事件“他确实知道哪个是正确答案”就是
例1.15有枪8支，其中的5支经过试射校正，3支未经试射校正，校正过的枪，击中靶的概率为0.8，未经校正的枪，击中靶的概率为0.3，今任取一支枪射击，
结果击中靶，问此枪为校正过的概率是多少？【】例1.16甲乙两人轮流射击, 先击中目标者为胜, 设甲乙击中目标的概率分别为, 甲先射, 求甲乙分别为胜者的概率.
【】
例1.17设甲有赌本元, 其对手乙有赌本元．每赌一次甲以概率
赢一元, 而以概率输一元．假定不欠不借，赌博一直到甲乙中有一人输光才结束．因此，两个人中的赢者最终有总赌资元. 求甲输光的概率．
【当且(即)时，甲输光的概率为；
当，甲输光的概率为】
例1.18r个人相互传球，从甲开始，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余个人中的任意一个，求第n次传球时仍由甲传出的概率（发球那一次算作
第0次）？【】问题7: Bernoulli试验序列的相关结论
n重Bernoulli试验；两点分布、二项分布、几何分布、负二项分布的背景
例1.19 已知100件产品中有10件正品，每次使用正品时肯定不会发生故障，而在每次使用非正品时，均有0.1的可能性发生故障，现从这100件产品中随机抽取一件，若使用了n次均未发生故障，问n为多大时，才能有70%的把握认为所取得的产品为正品。

【29】
典型例题和练习
例1.20 选择题：
（1）已知且，则下列选项成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知以及，则等于
（A）（B）（C）（D）
（3）设A , B是两个随机事件，且，则一定有
（A）（B）
（C）（C）
（4）一个班级中有8个男生和7个女生，今要选出3名学生参加比赛，则选出的学生中，男生数多于女生数的概率为
(A) (B) (C) (D)
（5）在某一问卷调查中, 有50%的被访者会立刻答完并上交问卷表, 在没有
立刻上交问卷表的被访者中,有40%的人会在调查人员的电话提醒下送回问卷表.如果只有4个人参加这样的问卷调查, 问至少有3个人没有任何回音的概率为
(A) (B)
(C) (D)
例1.21填空题：
（1）已知，则= .
（2）已知，则的最大可能值为 . （3）设两两独立的三事件A，B，C满足条件：,
且已知, 则= . （4）两个相互独立的事件A、B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P (A) = .
（5）袋中有50个乒乓球, 其中20个黄球, 30个白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回, 问第二人取得黄球的概率是_________.
例1.22一袋中装有N－1只黑球和一只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第k次摸球时摸到黑球地概率是多少。

例1.23在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机也没被击落，则再进攻乙机，此时击落乙机的概率是0.4，求这几个回合中：
（1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率.
例1.24 有枪8支，其中的5支经过试射校正，3支未经试射校正，校正过的枪，击中靶的概率为0.8，未经校正的枪，击中靶的概率为0.3，今任取一支枪射击，结果击中靶，问此枪为校正过的概率是多少？
例1.25 从集中任意相继不放回地取出两个数，求
例1.26甲、乙、丙三人在一次射击中击中靶子的概率分别为，他们
同时各打一发，结果有2弹击中靶子，求丙脱靶的概率？
例1.27 甲、乙两选手进行比赛，假定每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，问采用3局2胜制还是5局3胜制，对甲有利？
参考答案
1.20 （1）B；（2）C；（3）C；（4）A；（5）A
1.21 （1）；（2）0.4；（3）；（4）；（5）
1.22 ，1.23 （1）0.24；（2）0.424.
1.24 ，1.25 ，1.26 ，1.27 5局3胜制对甲更有利。

第二讲随机变量及其概率分布
内容提要
（1）随机变量及其分布函数（分布函数的性质）
（2）离散型随机变量的分布律
（3）连续型随机变量的密度函数及概率计算
（4）重要分布的定义及背景（二项分布，超几何分布，几何分布，负二项分布，Poisson分布，均匀分布，指数分布，Gamma分布，正态分布）
（5）随机变量函数的分布（离散场合，连续场合）
典型问题分析
问题1: 分布律、分布函数以及概率密度的基本问题
例2.1下列函数中，可以做随机变量的分布函数的是
(A) (B)
(C) (D) 【C】
例2.2 设函数，则
（A）是随机变量的分布函数
（B）不是随机变量的分布函数
（C）是离散型随机变量的分布函数
（D）是连续型随机变量的分布函数【A】
例2.3已知随机变量X的分布列为：，则常数C
等于
（A）（B）（C）（D）【B】
例2.4设随机变量X的概率密度函数为
试求：（1）常数C；（2）在对X进行的5次独立观察中，X的取值都小于1的概率。

【；】例2.5设是任意两个连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为
，分布函数分别为，则
（A）必为某一随机变量的概率密度；
（B）必为某一随机变量的概率密度；
（C）必为某一随机变量的分布函数；
（D）必为某一随机变量的分布函数. 【A】注：
1. 均为分布函数，则仍
为分布函数；也为分布函数.
2. 均为密度函数，则仍为密度函数；但不一定为密度函数.
问题2: 分布列、密度函数以及分布函数之间的关系
离散型：（图形）
已知；
已知
连续型：（几何意义）
已知；已知
例2.6连续型随机变量X的分布函数为：
，
试求：（1）常数A、B；（2）；（3）随机变量X的概率密度.
【（1）；（2）；（3）】
例2.7 设随机变量X具有对称的密度函数，即，证明对任意的，有
（1）
（2）
(3)
问题3: 已知实际背景, 求随机变量的分布律与分布函数(或密度函数)
例2.8一袋中装有4个球，球上分别记有号码1,2,3,4。

从中任意取2个球，以X记取出的球中小的号码。

求X的分布列与分布函数.
例2.9 使用了t小时的计算机，在以后小时内损坏的概率等于，其中为不依赖于t的常数，假设在不相重叠的时间内，计算机损坏与否相互独立，求计算机在T小时内损坏的概率. 【】
例2.10 过平面上一点任作一直线L与x轴的夹角为，设服从区间
上的均匀分布，求
（1）此直线在x轴上的截距Z的概率密度；
（2）截距Z在1到2之间的概率.
【（1）；（2）】
问题4: 已知事件发生的概率, 求事件或分布中的未知参数
方法：将事件发生的概率用和式（离散型）或积分（连续型）表示出来，找出与未知参数的关系。

例2.11设随机变量X的概率密度函数为;若k 使得
，则k 的取值范围是 . 【[1,3]】
例2.12 设离散型随机变量X的概率分布为，而且X取奇数值的概率为，试求常数a, p的值. 【】问题5: 利用常见分布求相关事件的概率
方法：注意分布的背景、性质等
例2.13设X服从二项分布，且已知，
，则＝ . 【】例2.14若随机变量服从正态分布，且二次方程
无实根的概率是，则 . 【4】
例2.15设随机变量t服从数学期望为的指数分布，求方程有实根的概率. 【】
例2.16设随机变量X,Y相互独立均服从正态分布, 若概率
,则
(A) (B)
(C) (D) 【A】例2.17 设随机变量X的概率密度为
试求：（1）的概率密度；（2）
【（1）;（2）.】
例2.18 设X为随机变量, 若矩阵的特征根全为实数的概率为0.5, 则
(A)X服从区间[0,2]上的均匀分布 (B) X服从二项分布B(2, 0.5)
(C) X服从参数为1的指数分布 (D) X服从标准正态分布【A】
问题6：常见分布的一些特殊性质的应用
几何分布和指数分布的无记忆性、独立和可加性等等
例2.19 证明：指数分布的失效率函数为常数。

问题6: 求随机变量函数的分布
离散型：直接法（列表）；
连续型（或其他）：分布函数法
例2.20 设随机变量X的概率密度为,
求（1）的分布函数；
（2）证明对任意的实数，均有
.
例2.21 设随机变量X的概率密度函数为
F(x)是X的分布函数，求随机变量Y = F (X)的分布函数. 【同U（0，1）】
例2.22 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布,平均无故障工作的时间(EX)为5小时, 设备定时开机, 出现故障时自动关机, 而无故障的情况下工作2小时便关机, (1)试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数
，(2) 求的分布函数，并判断Z是否为连续型随机变量.
【，】
典型例题和练习
例2.22 选择题：
（1）设函数，则
（A）是随机变量的分布函数
（B）不是随机变量的分布函数
（C）是离散型随机变量的分布函数
（D）是连续型随机变量的分布函数
（2）已知随机变量X的分布列为：，则常数C等于（A）（B）（C）（D）
（3）设随机变量X服从参数为的泊松分布, 设，则等于
（A） 0.8 （B） 2 （C） 4 （D） 0.25
（4）已知，则等于 .
（A）（B）
（C）（D）
（5）设随机变量X的任一线性函数Y= aX+b, a 0. 则下面命题不成立的是
(A) 如果X是连续型随机变量, 则Y也是连续型随机变量;
(B) 如果X是泊松分布, 则Y也是泊松分布;
(C) 如果X是均匀分布, 则Y也是均匀分布;
(D) 如果X是正态分布, 则Y也是正态分布。

例2.23 填空题：
(1) 设X服从二项分布，且已知，
，则＝ .
(2) 若随机变量服从正态分布，且二次方程无实根的概率是，则 .
(3) 已知离散型随机变量X的可能取值为，相应的概率依次为，
，，，求= .
(4) 设随机变量X的概率密度函数为，用Y表示对
X的3次独立重复观察中事件出现的次数，则= . (5) 已知随机变量X服从正态分布N（2，4），则的概率密度＝ . 例2.24设随机变量X的可能取值为，且，令
试求二次方程无实根的概率.
例2.25连续型随机变量X的分布函数为：，，
试求：（1）常数A、B；（2）；（3）随机变量X的概率密度. 例2.26 设随机变量X的概率密度函数为
试求：（1）常数C；（2）在对X进行的5次独立观察中，X的取值都小于1的概率；（3）求。

例2.27 过平面上一点任作一直线L与x轴的夹角为，设服从区间
上的均匀分布，求
（1）此直线在x轴上的截距Z的概率密度；
（2）截距Z在1到2之间的概率.
例2.28 设为i.i.d. ~ 0-1分布（即贝努利分布），参数为p. 试对固定正整数k n，求（1）；（2）；
（3）P( min{n: .
例2.29 设X为只取正整数值的随机变量，则下列命题等价：
（1）X服从几何分布。

（2）。

（3）。

参考答案：
2.22（1）A；（2）B；（3）C；（4）C；（5）B
2.23（1）；（2）4；（3）；（4）；（5）
2.24
2.25（1）；（2）；（3）
2.26（1）；（2）；（3）
2.27（1）；（2）
2.28（1）；（2）；（3）
第三讲多维随机变量及其概率分布
内容提要
（1）联合分布函数与边缘分布函数（关系与性质）
（2）二维离散型随机变量（联合分布律及性质，边缘分布，条件分布，独立性判断）
（3）二维连续型随机变量（联合密度函数及性质，概率计算，边缘密度，条件
分布及密度，独立性判断）
（4）独立随机变量及相关性质（独立性判断，相关计算）
（5）随机变量函数的分布（离散场合，连续场合，和、商、积与极值的分布）
（6）常见的两个二维分布（二维均匀，二维正态以及它们的相关性质）
典型问题分析
问题1: 二维随机变量及其分布的基本概念与性质
判断一个二元函数是否为联合分布函数、联合密度；
求分布函数、密度函数及分布律中的未知参数；
计算相关事件的概率：
例3.1设，试判定能否作为二维随机变量的分布函数。

【不能】
例3.2设二维随机变量（X,Y）的分布函数为
试求系数A、B及C及概率，并问X与Y是否相互独立，为什么？
【；；X与Y相互独立】
例3.3 设的联合密度为
试求：（1）常数C; （2）；（3）. 【4；0，1/2】
问题2: 给定实际背景, 求二维随机变量的分布律与分布函数(或密度函数)
主要针对离散型：确定两个分量的所有可能取值，利用各种技巧（特别是乘法公式）计算求各个值的相应概率。

例3.4 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现的次数与反面出现的次数之差的绝对值。

试求X与Y的联合分布律以及X与Y的相关系数，并问X与Y是否独立？
例3.5 某箱装有100件产品, 其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现在随机抽取一件，令
= , i =1, 2, 3.
(1) 求和的联合分布; (2) 求和的相关系数.
例3.6 一射手对同一目标进行射击，每次击中目标的概率为，射击进行到第二次击中目标为止，设X表示第一次击中目标时所进行的射击次数，
Y 表示第二次击中目标时所需要的射击次数，试求的联合分布律以及两
个条件分布律。

【；
；
】
问题3: 利用已知分布，求相关事件的概率 例3.7 设随机变量
均服从如下分布：
且满足
，则
= . 【0】
例3.8 设X ,Y 相互独立，下表为（X , Y ）的分布律及边缘分布律的部分数值，又知
，试将其余值填入表中：
例3.9 设X 和Y 均服从正态分布，且，则
. 【
】
问题4: 计算由给定的事件或随机变量定义的新的二维随机变量的分布及概率 将新的二维随机变量联合分布律中的事件等价地代换为已知的事件或已知的随机变量的取值，并利用已知的结果求解。

例3.10设事件A,B 满足，令
，
试求的联合分布律，并问X和Y是否独立？
例3.11设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布, 随机变量
,
试求：(1) X和Y的联合概率分布;(2) X+Y的概率分布.
（1）
Y
X
（2）
问题5: 由已知分布、独立性等计算相关事件的概率
技巧：搞清事件与随机变量间的关系，进行概率的计算
例3.12设均为密度函数为的独立随机变量，求
（1）；
（2）求的数学期望与方差。

【】
问题6: 计算二维随机变量的函数的分布与概率计算
离散型：直接法
连续型：分布函数法（关键积分区域的确定）
注意利用独立分布的可加性。

例3.13 设X，Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则
的分布函数＝ . 【】例3.14 随机变量独立同分布, 且分布密度为
,
设, 求【】问题7: 随机变量独立性的相关问题
例3.15 设随机变量X与Y相互独立，均服从标准正态分布，试求
【】
例3.16 设随机变量X与Y的联合密度函数为
证明：X与Y不独立，但独立。

例3.17 设随机变量X与Y相互独立，X的密度函数为，Y的分布律为
，试求的密度函数.
【】
例3.18 设X与Y的联合概率密度函数为
，（）
（1）证明随机变量Y具有如下性质：对任意的，有
（2）求X的数学期望。

【】问题8: 二元正态分布的相关问题
例3.19设,证明
典型例题与练习
例3.20 选择题：
(1) 设是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为，分布函数分别为，则
（A）必为某一随机变量的概率密度；
（B）必为某一随机变量的概率密度；
（C）必为某一随机变量的概率分布函数；
（D）必为某一随机变量的概率分布函数.
(2) 设随机变量X与Y相互独立且同分布：，则下列各式中成立的是
（A）（B）
（C）（D）
(3) 设随机变量X与Y相互独立且同分布，记，则随机变量U与V
（A）独立（B）不独立（C）相关系数不为0（D）相关系数为0
(4) 设随机变量X与Y相互独立，且，，则
（A）（B）
（C）（D）
(5) 设随机变量X, Y相互独立，且X～，Y～，则
下列式子中正确的是
（A）（B）
（C）（D）
例3.21 填空题：
(1) 设随机变量X与Y相互独立，，且，则
= .
(2) 设平面区域D由曲线y=1/x及直线所围成，二维随机变量
在区域D上服从均匀分布，则关于X的边缘概率密度在x=2处的值为。

(3) 设二维随机变量的概率密度为，
则= .
(4) 设是i.i.d.的, 且, 其中0 < p <1, 0 < q <1, r ≥ 0, p + q + r = 1. 则试求下列函数的分布: = .
(5) 设X，Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则
的分布函数＝ .
例3.22假设随机变量服从参数为的指数分布, 随机变量
求 (1) X1，X2的联合概率分布. (2) U＝-的分布. (3) X1，X2的相关系数.
例3.23设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一随机变量Y在中等可能地取整数值，求条件分布率.
例3.24设某班车起点站上客人数X服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：
（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；
（2）二维随机变量（X,Y）的概率分布.
例3.25设随机变量相互独立，均服从区间[0，1]上的均匀分布，求
.
例3.26设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
试求：的概率密度.
例3.27 已知二维随机变量（X,Y）的概率密度为
问在什么条件下，X与Y相互独立。

例3.28雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点在屏幕上服从均匀分布，求
（1）X与Y相互独立吗？为什么？（2）
（3）（4）
参考答案：
3.20 （1）D；（2）A；（3）D；（4）B；（5）B
3.21 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）
3.22 (1)
(2) ； (3) .
3.23
3.24 （1）；
（2）
3.25
3.26
3.27 在条件下， X与Y相互独立
3.28 （1）不独立；（2）；（3）；
（4）
第四讲随机变量的数字特征
内容提要
（1）随机变量的数学期望（直接计算，随机变量函数的期望，期望的性质）
方差（直接计算，性质）
（2）协方差、协方差矩阵与相关系数（计算，性质）
（3）矩和混合矩
（4）常见分布的期望与方差
典型问题分析
问题1: 由给定背景或分布, 求相关随机变量的数学期望与方差
对分布律或分布密度已知的情形，直接按定义计算；
对分布律或分布密度未知的情形，先求出其分布律或分布密度，再按定义计算；
利用期望、方差的性质以及常见分布进行计算；
随机变量的分解法进行计算
例4.1现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机无放回地抽取3张，则此人得奖的金额的数学期望为多少. 【7.8】
解：假设X表示随机地物放回地抽取3张，抽得奖券金额X的分布律为
故选C.
例4.2某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备. 假设各产品是否为次品是相互独立的，以X表示一天中调整设备的次数，试求E（X）和D（X）.
【E X=1.0556；D X=0.7770】解：解法一用表示10件中次品的个数，则
而表示一天中调整设备的次数，，
所以
解法二设为发现次品数
则
例4.3有3只球, 4只盒子, 盒子的编号为1,2,3,4. 将球逐个独立地, 随机地放入4只盒子中去, 以X表示其中至少有一只球的最小号码(例如X=3表示第1号,第2号盒子是空的,第3号盒子至少有一个球), 试求E（X）和D（X）.
【】
解：
，
例4.4p（0<p<1），各产品合格与否相互独立，当出现不合格产品时即停机检修。

设开机后第一次停机时已产生了的产品个数为X，求X 的数学期望E（X）和方差D（X）。

【】
解：第一次停机时已产生的产品个数为X={1,2,3,4,5,6,……}
由题意可知
故X的期望
故X的方差（需积分两次再微分两次）
例4.5 某射手每次射击的命中率为, 他有6发子弹, 准备对一目标进行射击, 一旦打中或子弹打完, 他就立即转移, 求他在转移前平均射击的
次数. 【】
解：设在转移前他射击的次数为X，则X可能的取值为1，2，3，4，5，6，此题实际就是求的X期望，
X123456
P p pq
设，而
所以有
所以
从而，得
例4.6 设随机变量X的概率密度函数为
试求【】解：
而与题设不符，故
问题2: 求随机变量函数的数学期望与方差
一般直接计算，也可利用期望、方差的性质等进行计算。

例4.7设随机变量X的分布律为，试求
的数学期望与方差. 【】
解：
例4.8设随机变量X，Y相互独立，且X服从[0,2]上的均匀分布，，
. 【】解： X服从[0,2]上的均匀分布，
所以X的分布函数为
Y的分布函数为
X，Y相互独立，所以他们的的联合分布函数
问题3: 协方差、相关系数、协方差矩阵的计算以及独立性相关性的讨论
实际上是随机变量函数的计算问题，若题设中已知分布一般就直接计算，否则利用性质来计算
例4.9 设随机变量X的分布列为
若随机变量，
（1）试求，并问Y与Z是否相关；
（2）求二维随机变量（Y, Z）的联合分布列；
（3）试问Y与Z是否独立？为什么？
【解】(1)
所以二者不相关；
（2）随机变量X的分布列为
所以Z的分布律为
Y的分布律为
可得联合分布律为。