2021-2022学年高中人教A版数学选修2-1作业：3.2第1课时 空间向量与平行关系含解析

课时分层作业(十八) 空间向量与平行关系
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．已知直线l 的方向向量是a ＝(3,2,1)，平面α的法向量是u ＝(－1,2，－1)，则l 与α的位置关系是( )
A ．l ⊥α
B ．l ∥α
C ．l 与α相交但不垂直
D ．l ∥α或l ⊂α
D [因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u ，所以l ∥α或l ⊂α．]
2．已知A (0，y,3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2,1,3)与直线AB 的方向向量平行，则y ＋z 等于( )
A ．－3
B ．0
C ．1
D ．3
B [由题意，得AB →
＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝3
2，所以y ＋z ＝0，故选B ．]
3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )
A ．(1，－1,1)
B ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，3，32
C ．⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，－3，32 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，3，－32 B [对于B ，AP →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，4，－12，
则n ·AP →＝(3,1,2)·⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，4，－12＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，3，32在平面α内．]
4．若AB →＝λCD →＋μCE →
，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．在平面内
D ．平行或在平面内
D [∵AB →＝λCD →＋μC
E →，∴AB →，CD →，CE →
共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．]
5．平面α的法向量u ＝(x,1，－2)，平面β的法向量v ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，y ，12，已知α∥β，
则x ＋y ＝( )
A ．15
4
B ．
174
C ．3
D ．52
A [由题意知，∵α∥β，∴u ＝λv ，即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－λ，1＝λy ，
－2＝1
2λ，解得λ＝－4，y ＝－1
4，
x ＝4，∴x ＋y ＝4－14＝15
4．]
二、填空题
6．如图，在正三棱锥S -ABC 中，点O 是△ABC 的外心，点D 是棱BC 的中点，则平面ABC 的一个法向量可以是________，平面SAD 的一个法向量可以是________．
SO →，BC →
[由题意知SO ⊥平面ABC ，BC ⊥平面SAD ．
因此平面ABC 的一个法向量可以是SO →，平面SAD 的一个法向量可以是BC →
．] 7．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________．
16 －32 [由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32．]
8．已知直线l ∥平面ABC ，且l 的一个方向向量为a ＝(2，m,1)，A (0,0,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，则实数m 的值是________．
－3 [∵l ∥平面ABC ，
∴存在实数x ，y ，使a ＝xAB →＋yAC →，AB →＝(1,0，－1)，AC →
＝(0,1，－1)， ∴(2，m,1)＝x (1,0，－1)＋y (0,1，－1) ＝(x ，y ，－x －y )， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
2＝x ，m ＝y ，1＝－x －y ，∴m ＝－3．]
三、解答题
9．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AD 1，BD 和B 1C 的中点，利用向量法证明：
(1)MN ∥平面CC 1D 1D ； (2)平面MNP ∥平面CC 1D 1D ．
[证明] (1)以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→
分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，D (0,0,0)，M (1,0,1)，N (1,1,0)，P (1,2,1)．
由正方体的性质知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA →
＝(2,0,0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量．
由于MN →＝(0,1，－1)，则MN →·DA →＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN →⊥DA →． 又MN ⊄平面CC 1D 1D ，所以MN ∥平面CC 1D 1D ． (2)由于MP →＝(0,2,0)，DC →＝(0,2,0)，所以MP →∥DC →， 即MP ∥DC ．
由于MP ⊄平面CC 1D 1D ，所以MP ∥平面CC 1D 1D ． 又由(1)，知MN ∥平面CC 1D 1D ，MN ∩MP ＝M ，
所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP ∥平面CC 1D 1D ．
10．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证：
(1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F ．
[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，
则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →
＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →
， 即⎩⎨⎧
n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →
＝2y 1＋z 1＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝0，z 1＝－2y 1.
令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0， 所以FC →
1⊥n 1．
又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE ．
(2)C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，
得⎩⎨⎧
n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→
＝2x 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝0，
z 2＝－2y 2.
令z 2＝2，得y 2＝－1， 所以n 2＝(0，－1,2)． 因为n 1＝n 2，
所以平面ADE ∥平面B 1C 1F ．
1．若a ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ，2y －1，－14是平面α的一个法向量，且b ＝(－1,2,1)，c ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3，12，－2与平面α都平行，则向量a 等于( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－27
52，－5326，－14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－9
52，－5326，－14 C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－9
52，－2752，－14
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－9
52，126，－14
D [由题意，知a ·b ＝0，a ·c ＝0，
即⎩⎨
⎧
－x ＋4y －9
4＝0
3x ＋y ＝0
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－952y ＝27
52
，所以a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－9
52，126，－14．]
2．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；
③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1． 四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
C [∵A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →
， D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →， ∴A 1M →∥D 1P →
，从而A 1M ∥D 1P ． 可得①③④正确．
又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．]
3．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平
面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________．
2∶3∶(－4) [因为AB →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，－3，－74，
AC →＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－2，－1，－74，
又因为a ·AB →＝0，a ·AC →
＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
x －3y －7
4z ＝0，－2x －y －7
4z ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝23y ，z ＝－4
3y .
所以x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－43y ＝2∶3∶(－4)．]
4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点，点P 在棱AA 1上，且DP ∥平面B 1AE ，则AP 的长为________．
1
2 [建立以AB ，
AD ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系(图略)，
设|AB |＝a ，点P 坐标为(0,0，b ) 则B 1(a,0,1)，D (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2，1，0
AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2，1，0
DP →
＝(0，－1，b )，∵DP ∥平面B 1AE ， ∴存在实数λ，μ，设DP →＝λAB 1→＋μAE →
， 即(0，－1，b )＝λ(a,0,1)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2，1，0
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
λa ＋μa 2，μ，λ．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λa ＋μ
2a ＝0，
μ＝－1，λ＝b ，
∴b ＝λ＝12，即AP ＝1
2．]
5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点．设Q 是CC 1上的点，则当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设正方体的棱长为2，
则O (1,1,0)，A (2,0,0)，P (0,0,1)，B (2,2,0)，D 1(0,0,2)，
∴OA →＝(1，－1,0)，OP →＝(－1，－1,1)，BD 1→
＝(－2，－2，2)． 设平面P AO 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧
n 1·OA →＝0n 1·
OP →
＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＝0
－x －y ＋z ＝0
令x ＝1，则y ＝1，z ＝2，
∴平面P AO 的一个法向量为n 1＝(1,1,2)．
若平面D 1BQ ∥平面P AO ，则n 1也是平面D 1BQ 的一个法向量．设Q (0,2，c )，则BQ →
＝(－2,0，c )，
∴n 1·BQ →＝0，即－2＋2c ＝0，∴c ＝1，
→＝－2－2＋4＝0．
这时n1·BD1
∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO．。