苏州市苏科版八年级数学上 第二次月考测试题(Word版 含答案)

苏州市苏科版八年级数学上 第二次月考测试题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的点是( ) A ．(2,3)-
B ．()4,5-
C ．(1,0)
D ．(8,1)--
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A ．()a x y ax ay -=-
B ．()()3
11x x x x x -=+- C ．()()2
1343x x x x ++=++
D ．()2
2121x x x x ++=++
3．我们定义：如果一个等腰三角形有一条边长是3，那么这个三角形称作帅气等腰三角形.已知ABC ∆中，32AB =，5AC =，7BC =，在ABC ∆所在平面内画一条直线，将
ABC ∆分割成两个三角形，若其中一个三角形是帅气等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条
4．在平面直角坐标系中，点P(－2，2x ＋1)所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知a ＞0，b ＜0，那么点P(a ，b)在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．在平面直角坐标系中，把直线34y x =-+沿x 轴向左平移2个单位长度后，得到的直线函数表达式为（ ） A ．31y x =-+
B ．32y x =-+
C ．31y x =--
D ．32y x =--
7．在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ） A ．(3,4)-
B ．(4,3)-
C ．(4,3)-
D ．()3,4-
8．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点
()1,1，第2次接着运动到点()2,0，第3次接着运动到点()3,2，···，按这样的运动规律，
经过第2020次运动后，动点P 的坐标是（ ）
A ．()2020,1
B ．()2020,0
C ．()2020,2
D ．()2019,0
9．若3n +3n +3n ＝1
9
，则n ＝（ ） A ．﹣3
B ．﹣2
C ．﹣1
D ．0
10．如图，在R △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，E 为AC 上一点，且AE ＝8
5
，AD 平分∠BAC 交BC 于D ．若P 是AD 上的动点，则PC +PE 的最小值等于（ ）
A ．
185
B ．
245
C ．4
D ．
265
二、填空题
11．星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y （千米）与时间t （分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是__千米．
12．如图，已知函数y =x +b 和y =ax +3的图象交点为P ，则不等式x +b ＜ax +3的解集为_____．
13．在ABC ∆中,
13AC BC ==, 10AB =,则ABC ∆面积为_______． 14．若关于x 的方程
233
x m
x +=-的解不小于1,则m 的取值范围是_______． 15．3a 2，则满足条件的奇数a 有_______个．
16．在一次函数(1)5y k x =-+中，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围__________． 17．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，O 是BC 的中点，P 是射线AO 上的一个动点，则当∠BPC=90°时，AP 的长为______.
18．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，且50A ∠=︒，则EBC ∠的度数是__________．
19．如图，矩形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是-1，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则这个点E 表示的实数是_______
20．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，若点P 在边AB 上移动，则CP 的最小值是_____．
三、解答题
21．（1()2
38116-- （2）求()3
121x -+=中x 的值.
22．已知y 是x 的函数，自变量x 的取值范围是x >0，下表是y 与x 的几组对应值. x ··· 1 2 3 5 7 9 ··· y
···
1.98
3.95
2.63
1.58
1.13
0.88
···
小腾根据学习一次函数的经验，利用上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究.
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象;
（2）根据画出的函数图象，写出：
①x=4对应的函数值y约为________；
②该函数的一条性质：__________________．
23．已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以每小时60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示：
(1)乙年的速度为______千米/时，a=_____，b=______.
(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式，并写出相应的自变量x的取值范围. 24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，AB=25，点D为斜边AB上动点．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求CD的长度；
（2）如图2，当AD=AC时，过点D作DE⊥AB交BC于点E，求CE的长度；
（3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，当△ACD为等腰三角形时，直接写出AD的长度．
25．在每个小正方形的边长为1的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系．
A B C，使它与△ABC关于y轴对称；
（1）在网格中画出△111
（2）点A的对称点1A的坐标为；
A B C的面积．
（3）求△111
四、压轴题
26．在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中A(0，a)、B(b，0)满足：--++-=．
222110
a b a b
（1）直接写出A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB平移到CD，点A的对应点为C(-3，m)，如图(1)所示．若SΔABC=16，求点D 的坐标；
（3）平移线段AB到CD，若点C、D也在坐标轴上，如图(2)所示，P为线段AB上一动点(不与A、B重合)，连接OP，PE平分∠OPB，交x轴于点M，且满足∠BCE=2∠ECD．
求证：∠BCD=3(∠CEP-∠OPE)．
AB=，27．如图，已知四边形ABCO是矩形，点A，C分别在y轴，x轴上，4
BC=．
3
（1）求直线AC 的解析式；
（2）作直线AC 关于x 轴的对称直线，交y 轴于点D ，求直线CD 的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；
（3）若点P 是直线CD 上的一个动点，试探究点P 在运动过程中，||PA PB -是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出||PA PB -的最大值及此时点P 的坐标．
28．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补． （1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH ⊥EG ，求证：PF ∥GH ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，求∠HPQ 的度数．
29．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝
3+a c ，y ＝3
+b d
，那么称点T 是点A 和B 的融合点．例如：M （﹣1，8），N （4，﹣2），则点T （1，2）是点M 和N 的融合点．如图，已知点D （3，0），点E 是直线y ＝x +2上任意一点，点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点．
（1）若点E 的纵坐标是6，则点T 的坐标为 ；
（2）求点T （x ，y ）的纵坐标y 与横坐标x 的函数关系式：
（3）若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．
30．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =． （1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠； （2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作
//EF AC ，求证：BE AD =；
（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解. 【详解】
解：A.(2,-3)在第四象限，故本选项正确； B.(-4,5)在第二象限，故本选项错误； C.(1,0)在x 轴正半轴上，故本选项错误； D.(-8,-1)在第三象限，故本选项错误. 故选A. 【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，解决本题的关键是熟练掌握每个象限的坐标特征.
2．B
解析：B 【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据各边的长度画出三角形ABC，作AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，BD，结合图形可分析出结果.
【详解】
已知如图，所做三角形是钝角三角形，作AD⊥BC，
根据勾股定理可得：AC2-CD2=AB2-BD2
所以设CD=x,则BD=7-x
所以52-x2=（2-（7-x）2
解得x=4
所以CD=4,BD=3,
所以，在直角三角形ADC中
3
==
所以AD=BD=3
所以三角形ABD是帅气等腰三角形
假如从点C或B作直线，不能作出含有边长为3的等腰三角形
故符合条件的直线只有直线AD
故选：B
【点睛】
本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键;并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
∵－20，2x＋10，
∴点P (－2，2x＋1)在第二象限，
故选B．
5．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据a＞0，b＜0和第四象限内的坐标符号特点可确定p在第四象限．
∵a＞0，b＜0，
∴点P（a，b）在第四象限，
故选D.
考点：本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点
点评：解答本题的关键是掌握好四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．上下平移时只需让b的值加减即可．
【详解】
y=-3x+4的k=-3，b=4，沿x 轴向左平移2个单位后，新直线解析式为：y=-3（x+2）+4=-3x-2． 故选：D. 【点睛】
本题考查了一次函数的平移变换，属于基础题，关键掌握将直线上下平移时k 的值不变，只有b 发生变化．
7．C
解析：C 【解析】
分析：根据第二象限内点的坐标特征，可得答案． 详解：由题意，得 x=-4，y=3，
即M 点的坐标是（-4，3）， 故选C ．
点睛：本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．横坐标的绝对值就是到y 轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x 轴的距离．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
观察可得点P 的变化规律，
“()()()()44 1 4243 4, 041, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然
数)”，由此即可得出结论. 【详解】
观察， ()()()()()()0123450,01,12,0,3,2,4,0,5,1....P P P P P P ，，，
， 发现规律:()()()()44 1 4243 4, 041
, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数) .
∵20204505=⨯
∴2020P 点的坐标为()2020,0. 故选: B. 【点睛】
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出规律
“()()()()44 1 4243 4, 041
, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数)”，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点P 的变化罗列出部分点的坐标，再根据坐标的变化找出规律是关键.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用负整数指数幂的性质结合同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
【详解】
解：13339
n n n ++=， 1233n +-∴=，
则12n +=-，
解得：3n =-．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】 如图，作点E 关于AD 的对称点E ′，连接CE ′交AD 于P ′，连接EP ′，此时EP ′+CP ′的值最小，作CH ⊥AB 于H ．求出CE ′即可．
【详解】
如图，作点E 关于AD 的对称点E ′，连接CE ′交AD 于P ′，连接EP ′，此时EP ′+CP ′的值最小，作CH ⊥AB 于H ．
∵∠ACB =90°，AC =6，BC =8，
∴AB 22AC BC +2268+， ∴CH =AC BC AB ⋅=245
， ∴AH 22AC CH -=222465⎛⎫- ⎪⎝⎭
185， ∴AE =AE ′=85
，
∴E ′H =AH -AE ′=2，
∴P′C+P′E=CP′+P′E′=CE
=
26
5
，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查利用对称性以及勾股定理的运用，解题关键是做好辅助线，转换等量关系.
二、填空题
11．5．
【解析】
【分析】
首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k、b的方程组，解出k、b的值，进而可得函数解
解析：5．
【解析】
【分析】
首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k、b的方程组，解出k、b的值，进而可得函数解析式，再把t=45代入即可．
【详解】
设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b．
∵图象经过（40，2）（60，0），
∴
240
060
k b
k b
=+
⎧
⎨
=+
⎩
，解得：
1
10
6
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴y与t的函数关系式为y=﹣
1
6 10
t+，
当t=45时，y=﹣
1
10
×45+6=1.5．
故答案为1.5．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式．
12．x＜1
【解析】
【分析】
当直线y=x+b的图象在直线y=ax+3的上方时，不等式x+b＞ax+3成立；
【详解】
由于两直线的交点横坐标为：x=1，
观察图象可知，当x<1时，x+b<ax+3；
解析：x＜1
【解析】
【分析】
当直线y=x+b的图象在直线y=ax+3的上方时，不等式x+b＞ax+3成立；
【详解】
由于两直线的交点横坐标为：x=1，
观察图象可知，当x<1时，x+b<ax+3；
故答案为x<1．
考点：一次函数与一元一次不等式．
13．60
【解析】
【分析】
根据题意可以判断为等腰三角形，利用勾股定理求出AB边的高，即可得到答案. 【详解】
如图作出AB边上的高CD
∵AC=BC=13， AB=10，
∴△ABC是等腰三角形，
解析：60
【解析】
【分析】
为等腰三角形，利用勾股定理求出AB边的高，即可得到答案.
根据题意可以判断ABC
【详解】
如图作出AB边上的高CD
∵AC=BC=13， AB=10，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD=BD=5，
根据勾股定理 CD2=AC2-AD2，
，
12ABC S
CD AB =⋅=112102
⨯⨯=60， 故答案为：60.
【点睛】 此题主要考查了等腰三角形的判定及勾股定理，关键是判断三角形的形状，利用勾股定理求出三角形的高.
14．m≥-8 且m≠-6
【解析】
【分析】
首先求出关于x 的方程的解，然后根据解不小于1列出不等式，即可求出.
【详解】
解：解关于x 的方程
得x=m+9
因为的方程的解不小于，且x≠3
所以m+
解析：m ≥-8 且m≠-6
【解析】
【分析】
首先求出关于x 的方程
233x m x +=-的解，然后根据解不小于1列出不等式，即可求出. 【详解】
解：解关于x 的方程
233
x m x +=- 得x=m+9 因为x 的方程
233
x m x +=-的解不小于1，且x ≠3 所以m+9≥1 且m+9≠3
解得m ≥-8 且m≠-6 .
故答案为：m ≥-8 且m≠-6
【点睛】 此题主要考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，重点注意分式方程存在的意义分母不为零.
15．9
【解析】
【分析】
的整数部分为，则可求出a 的取值范围，即可得到答案.
【详解】
解：的整数部分为，则a 的取值范围 8＜a ＜27
所以得到奇数有：9、11、13、15、17、19、21、23、2
解析：9
【解析】
【分析】
的整数部分为2，则可求出a 的取值范围，即可得到答案.
【详解】
2，则a 的取值范围 8＜a ＜27
所以得到奇数a 有：9、11、13、15、17、19、21、23、25 共9个
故答案为：9
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，估算是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法.
16．【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，即可求出k 的取值范围.
【详解】
解：∵一次函数中，随的增大而增大，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次
解析：1k >
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，即可求出k 的取值范围.
【详解】
解：∵一次函数(1)5y k x =-+中，y 随x 的增大而增大，
∴10k ->，
∴1k >；
故答案为：1k >.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质进行解题.
17．22
【解析】
【分析】
在Rt△AOC中利用勾股定理即可求出AO的长度，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求出OP的长度，由线段间的关系即可得出AP的长度．
【详解】
解：依照题意画
解析：25±2
【解析】
【分析】
在Rt△AOC中利用勾股定理即可求出AO的长度，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求出OP的长度，由线段间的关系即可得出AP的长度．
【详解】
解：依照题意画出图形，如图所示．
∵∠ACB=90°，AC=BC=4，O是BC的中点，
∴CO=BO=1
2
BC=2，AO=22
AC CO
+=25，
∵∠BPC=90°，O是BC的中点，
∴OP=1
2
BC=2，
∴AP=AO-OP=25-2，或AP=AO+OP=25+2.
故答案为：25±2.
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出OP的长度是解题的关键．
18．15°
【解析】
【分析】
根据等边对等角和三角形的内角和定理，即可求出∠ABC，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角即可求出∠EBA，从而求出的度数．
【详解】
解：∵，
∴∠ABC=∠ACB=（
解析：15°
【解析】
【分析】
根据等边对等角和三角形的内角和定理，即可求出∠ABC ，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角即可求出∠EBA ，从而求出EBC ∠的度数．
【详解】
解：∵AB AC =，50A ∠=︒
∴∠ABC=∠ACB=
12
（180°－∠A ）=65° ∵ED 垂直平分线段AB
∴EA=EB ∴∠EBA=∠A=50°
∴EBC ∠=∠ABC －∠EBA=15°
故答案为：15°．
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角、垂直平分线的性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
19．—1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC 的长，进而得到AE 的长，再根据A 点表示-1，可得E 点表示的数．
【详解】∵AD 长为2，AB 长为1，
∴AC=，
∵A 点表示-1，
∴E 点表示的数为：
1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC 的长，进而得到AE 的长，再根据A 点表示-1，可得E 点表示的数．
【详解】∵AD 长为2，AB 长为1，
∴=
∵A 点表示-1，
∴E ，
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形
中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
20．8
【解析】
【分析】
作BC边上的高AF，利用等腰三角形的三线合一的性质求BF＝3，利用勾股定理求得AF的长，利用面积相等即可求得AB边上的高CP的长．
【详解】
解：如图，作AF⊥BC于点F，作
解析：8
【解析】
【分析】
作BC边上的高AF，利用等腰三角形的三线合一的性质求BF＝3，利用勾股定理求得AF的长，利用面积相等即可求得AB边上的高CP的长．
【详解】
解：如图，作AF⊥BC于点F，作CP⊥AB于点P，
根据题意得此时CP的值最小；
解：作BC边上的高AF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BF＝CF＝3，
∴由勾股定理得：AF＝4，
∴S△ABC＝1
2
AB•PC＝
1
2
BC•AF＝
1
2
×5CP＝
1
2
×6×4
得：CP＝4.8
故答案为4.8．
【点睛】
此题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知勾股定理及三角形的面积公式的运用.
三、解答题
21．（1）-5；（2）x=0
【解析】
【分析】
（1）先化简立方根，乘方，二次根式，然后进行有理数的加减运算；（2）利用立方根的概念解方程.
【详解】
解：（1）原式214=-+-
5=-.
（2）()3
112x -=- ()
311x -=- 11x -=-
0x = 【点睛】
本题考查立方根及算术平方根的求法，掌握概念正确计算是本题的解题关键.
22．（1）作图见解析；（2）①2（2.1到1.8之间都正确）；②该函数有最大值（其他正确性质都可以）．
【解析】
试题分析：（1）描点即可作出函数的图象；
（2）①观察图象可得出结论；
②观察图象可得出结论．
试题解析：
（1）如下图：
（2）①2（2.1到1.8之间都正确）
②该函数有最大值（其他正确性质都可以）．
考点：函数图象，开放式数学问题．
23．(1)75；3.6；4.5；(2) 当2 3.6x <≤时，135270y x =-；当3.6 4.5x <≤时，60y x =.
【解析】
【分析】
（1）根据图像可知两车2小时候相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度，然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a 、b 的值；
（2）根据图像可知相遇后图像分为两段，将相遇后点的坐标和分段处以及到达B 地后的坐标分别表示出来，然后运用待定系数法解决即可；
【详解】
解：(1)乙车的速度为：（270-60×2）÷2=75（千米/时）；
a=270÷75=3.6，b=270÷60=4.5
故答案为：75；3.6；4.5；
(2)60×3.6=216（千米），如图，可得(2,0)
M，(3.6,216)
N，(4.5,270)
Q.
设当2 3.6
x
<≤时的解析式为
11
y k x b
=+，
11
11
20
3.6216
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得1
1
135
270
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
∴当2 3.6
x
<≤时，135270
y x
=-，
设当3.6 4.5
x
<≤时的解析式为
22
y k x b
=+，则
22
22
3.6216
4.5270
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得2
2
60
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
当3.6 4.5
x
<≤时，60
y x
=.
【点睛】
本题考查了分段函数实际问题，解决本题的关键是能够读懂函数图像，从函数图像中找到相关的量，能够熟练运用待定系数法求函数解析式.
24．（1）12
CD=；（2）
15
2
CE=；（3）当△ACD为等腰三角形时，AD的长度为：15或18或
25
2
.
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理求出BC的长度，再由面积法求出CD的长度即可；
（2）连接AE，可证明△ACE≌△ADE，得到CE=DE，设CE=DE=x，则BE=20x
-，由
BD=10，则利用勾股定理，求出x ，即可得到CE 的长度；
（3）当△ACD 为等腰三角形时，可分为三种情况进行分析：①AD=AC ；②AC=CD ；③AD=CD ；对三种情况进行计算，即可得到AD 的长度.
【详解】
解：（1）如图，
在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=15，AB=25，
∴BC=2222251520AB AC -=-=，
∴1122
ABC S AB CD BC AC ∆=
•=•， ∴1125201522
CD ⨯•=⨯⨯， 解得：12CD =；
（2）如图，连接AE ，
∵DE ⊥AB ，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt △ADE 和Rt △ACE 中，
AD AC AE AE
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △ACE ，
∴DE=CE ；
设DE=CE=x ，则BE=20x -，又BD=251510-=，
在Rt △BDE 中，由勾股定理，得
22210(20)x x +=-，
解得：152x =
， ∴152
CE =；
（3）在Rt △ABC 中，有AB=25，AC=15，BC=20，点C 到AB 的距离为12； 当△ACD 为等腰三角形时，可分为三种情况：
①当AD=AC 时，AD=15；
②当AC=CD 时，如图，作CE ⊥AB 于点E ，则2AD AE =，
∵CE=12，由勾股定理，得
2215129AE =-=，
∴218AD AE ==；
③当AD=CD 时，如图，
在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，
当点D 是AB 中点时，有AD=BD=CD ，
∴112525222
AD AB ==⨯=； 综合上述，当△ACD 为等腰三角形时，AD 的长度为：15或18或
252. 【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学性质进行求解，注意等腰三角形时要进行分类讨论.
25．（1）见解析；（2）（-3，5）；（3）7．
【解析】
【分析】
（1）分别作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）根据所作图形可得A 1点的坐标；
（3）根据割补法求解可得△111A B C 的面积等于矩形的面积减去三个三角形的面积．
【详解】
解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；
（2）由图知A 1的坐标为（-3，5）；
故答案是：（-3，5）；
（3）△111A B C 的面积为4×4-
12×2×3-12×1×4-12
×2×4=7． 【点睛】
此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 四、压轴题
26．（1）A （0，3），B （4，0）；（2）D （1，－
265）；（3）见解析 【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质求解；
（2）如图1中，设直线CD 交y 轴于E ．首先求出点E 的坐标，再求出直线CD 的解析式以及点C 坐标，利用平移的性质得到点D 坐标；
（3）如图2中，延长AB 交CE 的延长线于M ．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质求证；
【详解】
（1）∵222110a b a b --+-=， ∴222110a b a b --=+-=，
∴2202110a b a b --=⎧⎨
+-=⎩ ， ∴34
a b =⎧⎨=⎩， ∴A （0，3），B （4，0）；
（2）如图1中，设直线CD 交y 轴于E ．
∵CD//AB ，
∴S △ACB =S △ABE ，
∴
12AE×BO=16， ∴12
×AE×4=16， ∴AE=8，
∴E （0，-5），
设直线AB 的解析式为y=kx+b ，将点A （0，3），（4，0）代入解析式中得：
343
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ， ∴直线AB 的解析式为y=334
x -
+， ∵AB//CD ， ∴直线CD 的解析式为y=34
x c -
+， 又∵点E （0，－5）在直线CD 上， ∴c=5，即直线CD 的解析式为y=354
x -
-， 又∵点C （-3，m ）在直线CD 上， ∴m=115
， ∴C （-3， 115
）， ∵点A （0，3）平移后的对应点为C （-3， 115）， ∴直线AB 向下平移了265
个单位，向左平移了3个单位， 又∵B （4，0）的对应点为点D ，
∴点D 的坐标为（1，－265
）； （3）如图2中，延长AB 交CE 的延长线于点M ．
∵AM ∥CD ，
∴∠DCM=∠M ，
∵∠BCE=2∠ECD ，
∴∠BCD=3∠DCM=3∠M ，
∵∠M=∠PEC-∠MPE ，∠MPE=∠OPE ，
∴∠BCD=3（∠CEP-∠OPE ）．
【点睛】
考查了非负数的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质、一次函数的应用等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．
27．（1）y =34-
x +3；（2）y =34x -3，y =-kx -b ；（3）存在，4，(8，3) 【解析】
【分析】
（1）利用4AB =，3BC =，找出A 、C 两点的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出AC 的解析式；
（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出CD 的解析式，对比AC 的解析式进而写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；
（3）先判断||PA PB -存在最大值，在P 、A 、B 三点不共线时，P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成三角形，两边之差小于第三边，得出结论在P 、A 、B 三点共线时，此时||PA PB -最大，y p = y A =3，求出P 点的纵坐标，最后根据点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得横坐标，从而求出P 点坐标．
【详解】
解：（1）在矩形ABCD 中，OC =AB =4，OA =BC =3，
故A (0，3)，C (4，0)，
设直线AC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)，
点A 、C 在直线AC 上，把A 、C 两点的坐标代入解析式可得：
340b k b =⎧⎨+=⎩解得：343
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以直线AC 的解析式为：y =34
-x +3． （2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知：点D 的坐标为：(0，-3)，
设直线CD 的解析式为：y =mx +n (m ≠0，m 、n 为常数)，
点C 、D 在直线CD 上，把C 、D 两点的坐标带入解析式可得：
-340n m n =⎧⎨+=⎩解得：343
m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以直线CD 的解析式为：y =34
x -3， 故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为：y =-kx -b ．
（3）
点P 在运动过程中，||PA PB -存在最大值，
由题意可知：如图，延长AB 与直线CD 交点即为点P ，
此时||PA PB -最大，其他位置均有||PA PB -＜AB （P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成任意三角形，两边之差小于第三边），
此时，||PA PB -= AB =4，y p = y A =3，
点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得：
34
x -3=3， x =8，
故P 点坐标为(8，3)，
||PA PB -的最大值为x p -x B =8-4=4．
【点睛】
本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式及类比推理能力，掌握任意三角形两边之差小于第三边是解题的关键．
28．（1）AB ∥CD ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）45°．
【解析】
（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，所以易证AB ∥CD ；
（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，故结合已知条件GH ⊥EG ，易证PF ∥GH ； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得
90902KPG PKG HPK ︒︒∠=-∠=-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知
1452
QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ =45°．
【详解】
（1）AB ∥CD ，
理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
又∵∠1=∠AEF ，∠2=∠CFE ，
∴∠AEF +∠CFE =180°，
∴AB ∥CD ；
（2）由（1）知，AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°．
又∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ， ∴1()902
FEP EFP BEF EFD ︒∠+∠=∠+∠= ∴∠EPF =90°，即EG ⊥PF ．
∵GH ⊥EG ，
∴PF ∥GH ；
（3）∵∠PHK =∠HPK ，
∴∠PKG =2∠HPK ．
又∵GH ⊥EG ，
∴∠KPG =90°﹣∠PKG =90°﹣2∠HPK ，
∴∠EPK =180°﹣∠KPG =90°+2∠HPK ．
∵PQ 平分∠EPK ， ∴1452
QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠， ∴∠HPQ =∠QPK ﹣∠HPK =45°．
答：∠HPQ 的度数为45°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．
29．（1）（73，2）；（2）y ＝x ﹣13；（3）E 的坐标为（32，72
）或（6，8）
【分析】
（1）把点E 的纵坐标代入直线解析式，求出横坐标，得到点E 的坐标，根据融合点的定义求求解即可；
（2）设点E 的坐标为（a ，a+2），根据融合点的定义用a 表示出x 、y ，整理得到答案；
（3）分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况，根据融合点的定义解答．
【详解】
解：（1）∵点E 是直线y ＝x +2上一点，点E 的纵坐标是6，
∴x +2＝6，
解得，x ＝4，
∴点E 的坐标是（4，6），
∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，
∴x ＝343+＝73，y ＝063
+＝2， ∴点T 的坐标为（
73，2）， 故答案为：（73
，2）； （2）设点E 的坐标为（a ，a +2），
∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，
∴x ＝
33a +，y ＝023
a ++， 解得，a ＝3x ﹣3，a ＝3y ﹣2，
∴3x ﹣3＝3y ﹣2，
整理得，y ＝x ﹣13； （3）设点E 的坐标为（a ，a +2），
则点T 的坐标为（33a +，23
a +）， 当∠THD ＝90°时，点E 与点T 的横坐标相同， ∴33
a +＝a ， 解得，a ＝
32， 此时点E 的坐标为（32，72
）， 当∠TDH ＝90°时，点T 与点D 的横坐标相同， ∴33
a +＝3，
解得，a ＝6，
此时点E 的坐标为（6，8），
当∠DTH ＝90°时，该情况不存在，
综上所述，当△DTH 为直角三角形时，点E 的坐标为（
32，72）或（6，8） 【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、融合点的定义，解题关键是灵活运用分情况讨论思想．
30．（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；
（2）过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，推出△BEF 是等边三角形，得到BE=EF ，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接AF ，证明△ABF ≌△CBF ，得AF=CF ，再证明DH=AH=
12
CF=3． 【详解】
解：（1）∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ，
∵DE=DC ，
∴∠E=∠DCE ，
∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB ，
即∠EDB=∠ACD ；
（2）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴△BEF 是等边三角形，
∴BE=EF ，∠BFE=60°，
∴∠DFE=120°，
∴∠DFE=∠CAD ，
在△DEF 与△CAD 中， EDF DCA DFE CAD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DEF ≌△CAD （AAS ），
∴EF=AD ，
∴AD=BE ；
（3）连接AF，如图3所示：
∵DE=DC，∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠DCE=75°，
∴∠ACF=75°-60°=15°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
在△ABF和△CBF中，
AB BC
ABF CBF
BF BF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACF=15°，
∴∠AFH=15°+15°=30°，
∵AH⊥CD，
∴AH=
1
2
AF=
1
2
CF=3，
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，
∴∠BDE=75°-60°=15°，
∴∠ADH=15°+30°=45°，
∴∠DAH=∠ADH=45°，
∴DH=AH=3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的
性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．。