初中常见定理证明

初中常见定理的证明
一、三角形
1、运用你所学过的三角形全等的知识去证明定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形•（用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据）
已丸1：如图，^SAABC 中，ZE=ZC-
求证：AB二AC・
证明：过A点作AD丄肮于D，
A ZADB=ZADC=eO<,，
在RtAAB D 和K-tAACD 中，
r ZADB= ^ADC
<£B-^C，
A AABD ABA匚（AAS）
-AB=A C （全等三角形的対应边相等）■
2、证明定理：等腰三角形的两个底角相等.（画出图形、写出已知、求
证并证明)
鯛:已知：ZkABC中,AB=AC・
求证：ZB=ZC・
证明：如圉，过D作EC丄AD，垂足为点D
V AB=ACi AD=AD
■■- Rt AABD^Rt AACD ( HL )
■■- ZB=ZC ・
3、叙述并证明三角形内角和定理.要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程定理：三角形的内角和是1汕。

；
已知：△RRC的三个内角分别为ZC；
求证：ZA+ZB+ZC=IEO&■
证日恥过点A作直线使MN^EC.
TMN" ，
A ZB=ZMAB，ZC=zTNAC （两直线平行，內错角相等）
V ^MAE + ZNAC+ZBAC=180°《平角定义）
二ZB+ZC+ZBAC=180fl（等里代擬）
即ZA+ZB+ZC=1BO°・
4、我们知道，证明三角形内角和定理的一种思路是力求将三角形的三个内角转化到同一个顶点的三个相邻的角，从而利用平角定义来得到结论，你能想出多少种不同的方法呢？同学之间可相互交流.
方法一：
已知：△ABC，
求证：^BAC+ZB+ZC^IBD^，证明：过点A作EF处C，vEFZ^BC,
.■■Zl^ZB，Z2=ZC，
T Z1+Z2+ZBAC=18O°，
A ZBAC+ZB4-ZC=180fl・即知三角形内角和等于18D" •
方法二：
证明：V ADEF由AAEF折雹而得,
/■Z：EDF=2EAF，
同理ZEDB^ZB , ZFDC=^C .
V ZBDE + ZEDF + ZFDC=180e，
A ZB+^A+ZC=180°，
「•三甬冊内角和等于皿广
5、三角形中位线定理，是我们非常熟悉的定理.
①请你在下面的横线上,完整地叙述出这个定理：__________________________________
②根据这个定理画出图形，写出已知和求证，并对该定理给出证明.
解：（I）三角形的中位线平行于第三边目等于第三边的一丰.
(2＞已知：DH是AAB匚的中位线，
求证：DE#BC，DE=^BC.
证明：証长DE到F，使EF=DEf连ftCF ■
VAE=CE ・ZAED=ZCEFi
/■AADEi2ACEF ・
A AD=CF s ZADE=ZCFE .
^AD^CF-
TAD二ED，
ABD=CF *
代四边Jf^ECFD是平行四边世.
・=DE“ 眄DE=-BC-
2
故窖案为三甬形的中位绒平行于第三边且等于第三边的一半.
6、定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题
是，这个命题正确吗？若正确，
请你证明这个命题，若不正确请说明理由.
網：逆命题是“三角形一边上的中线是这边的一半的话，那么这个三馬形是直角三角形” 这个命题是正确的.
已知：AABC中，D是AC的中点，BD=AD - BD=DC ■
求证：AABC1直角三角形.
证明：■■■BD=AD •
/■ZA=ZABD，
YBD=DC、
*'■ZC=ZDBC*
V ZA4-ZC+ZABD+ZDBC=130e，
二2 ( ZA+ZC ) =180°：
解得ZA+ZC=90°，
A ZABC=90°・
即AABC是直角三甬形.
7、用所学定理、定义证明命题证明：直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半.
已知：如图-
在AAE匚中，ZACB-900，0是斜边AB的中点.
求证：CO=jAB
证明：延长CO至DltCO=DO -连接AD . ED
「0是AB的中点，
A A0=B0，
vC0=D0
:、四边K ACBD是平行四边形，
■/ ZACB=90*
:'四边形ACBD是矩形！
MB二CD •
VC0=D0，
AC0=icD，
2
-T-CO=-AE .
2
8、同学们，这学期我们学过不少定理，你还记得“在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，请你写出它的逆命题，并证明它的真假.
解：原命题的逆命题为：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30
已卿：AAEC中，ZACB=90a・
—J
求证：ZBAC=30fl
证明：延长肮至D，使CD^BC.
v ZACE=90°，
A ZACD=90°.
AC-AC
在△/!)和△曲C中 * ZJCD= ZACB，
DC=BC
代AACD^ AAECi
-AD=AB■
v AE=2BD= BC=DC *
:、AE^Db，
A AADB为等边三角形
A ZB=6O S・
'/ AC±DB ・
-ZCAB=30°■
9、利用图（1）或图（2 ）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称
为__________________________________ ，该定理的结论其数学表达式
是_________________________________
解：用图(2)较简单，
如图正方形的面稅二(a+b) 2,
用三角形的面稅与边长为匚的正方形的面稅恚示为4xl a b+c2,
即(a+b ) ^=4 x yab+c^tt i®得界+b亠匚
这个定理称対勾股定理・
故答案为：勾股±11 a2+b2=c2-
10、利用图中图形的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，此证明方法就是美国第二十任总统伽菲尔德最先完成的，人们为了纪念他，把这一证法称为“总统”证法•这个定理称
为_________________________ ,该定理的结论其数学表达式
是•
18:如图*
丁ZAEB=ZEDC*
-ZAEB+ZDEC=90°，
代3AAED=y c2，
1 1 Q A
又叮S梯形ABCD=2 (a+b) ta+b ) -- ( a^+2ab+b<;)・
・'^AAED+S AABE+S ADEC^S^KABCD '
—c^+—ab+—ab=— (a^+2ab+b^ ) i
2 2 2 2
整f里得'a^+b^= c^.
11、［定理表述］
请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；
［尝试证明］
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图
2），请你利用图2，验证勾股定理.
定理表述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方•
2
证明：T S 四边形ABCD =S^ ABE +S A AED +S A CDE= X 2+ —
2 2
又TS四边形ABCD斗（占，
2 2 2
(a+b ) ^=2ab+c^»
■■- a^+2ab+b2ab+c^，
a^+b^= *
12、如图，△ ABC 中，① AB=AC ②/BAD" CAD ③ BD=CD ④ AC L BC 请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“三线合一”性质定理.
解:：已知：＜DAB=AC ②ZBAD=ZCAD- 求证：③BXCD，修ADIES 证明：在厶ABD^AACD* .
AB=AC
■/ J £BAD—J LCAD，
[AD—AD
「•△ABD 迫△ACD (SAS)-
■■■BD=CD AD 丄BC・
13、课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题
（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实.
（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS;
（2）证明推论AAS.
要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据.
解：门）三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是；两角及其中一甬的対边对应相等的两个三角形全等・（2〉已知：ftAABC 与厶DEF 中・ZA=ZD，ZC=ZF . BC=EF ・
求证：AABC^ADEF.
证明：如图，在△ABC与ADEF中’ZA二ZD，ZC=ZF （已知），
■\ ZA+ZC=ZB+ZF （等重代换）・
ZA+ZB+ZC^iaO^，ZD+ZE+ZF-1800（三角形内角和定理）・
・・.ZB=ZE・
丁在△ABC与厶時中，
ZC-ZF
€ BC-EF ・
ZS=Z£
A AABC^ADEF （ASA）*
14、在数学课外活动中，某学习小组在讨论“导学案”上的一个作业题: 已知：如图，OA平分/ BAC /仁/2. 求证：AC L BC
同学甲说：要作辅助线；
同学乙说：要应用角平分线性质定理来解决：
同学丙说：要应用等腰三角形“三线合一”的性质定理来解决.
如果你是这个学习小组的成员，请你结合同学们的讨论写出证明过程.
证朋：如圏，过0点作0D丄惭于D，过0点作0E丄M于E. VODXAB^ 0E 丄AC，A0平分Z 吕AC，
-OD-OE-
■/ Z 1 - Z 2 »
・*・OB-OC +
SRt ABDOftRt ACEO43，
(OD-OE
[OB^OC 1
A ADOB^AEOC (HL)，
:.ZDBg上ECO，
:、ZABC=ZACB，
AAE=A 匚*
VOA 平分ZB AC，
:、AO 丄BQ.
15、证明：勾股定理逆定理
已知：在△ ABC中, AB=c,AC=b,BC=a，若c2 =a2 + b2求证：/ C = 90度
证明：作RT A DEF 使/ E=RTZ, DE=b ,EF=a
在RT A DEF中, DF = ED2 + EF2 = a 2 +b2
因为c2 =a2 + b2
所以DF =c
所以DF=AB DE=AC，EF=BC
所以RT A DFE^A ABC (SSS)
所以/ C=Z E = RT Z
二、四边形
（一）梯形
1、定理证明：“等腰梯形的两条对角线相等”.
证明：在梯形ABCD中,
■/ AB=DC，
:、ZAaC=ZDCB-
RvBC=CB-
AABC^ ADCB<
儿AC=DB・
2、用两种方法证明等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（要求：画出图形，写出已知、求证、证明）.
已知：梯形直BCD中‘ ZD匸三匚，
求证：梯母ABCD是等腰梯形.
证明：
证法一：如圜，分别过点A、B作銃丄X于点E，BF丄DQ于点F，
■■■AE 丄DC，BF 丄DC，
■\ ZAED=ZBFC=90*，AE " EF *
T AB DC .
/■四边®ABFE是矩形！
-AE-BF-
:ZD=ZC，
/■AADES ABCF.
/■AD^BC *
「•梯形ABCD是等悽梯形.
上________ B
证法二:过点月作BE "AD，
Y AB DC i BE 7 AD i
二四边形ABED是平行四边形.
・・・皿BE”
VEE^ AD，
A ZD=Z：EEC *
T — C，
「・ZBEC = ZC ・
/■EE=BC..
•••HOAD”
-••梯ffjABCD是等攒梯形.
3、在梯形ABCD中，如图所示，AD// BC,点E、F分别是AB CD的中点，连接EF, EF叫做梯形的中位线.观察EF的位置，联想三角形的中位线定理，请你猜想：EF与AD BC有怎样的位置和数量关系并证明你的猜想. 猜想：EFM A WBC* EF=i (AD+BC)・
证明：连接AF，并証长交延长线于点G，
AD & BC
/■ZADF=ZGCF
在ARFD与AGCF中，
*・・ZADF-GCFZAFD=ZGFC DF=CF
/■AADF^ AGCF
A AD^CG AF=GF
AEF是AABG的中位线
/■EF & BG
y VEG^ AD
/■EF^ AD//BC
「・EF二［B G二｝(BC+CG)丄(AD+BC)-
2 2 2
4、采用如图所示的方法，可以把梯形ABCD折叠成一个矩形EFNM(图中EF, FN，EM为折痕)，使得点A与
B、C与D分别重合于一点•请问，线段EF的位置如何确定；通过这种图形变化，你能看出哪些定理或公式(至少三个)？证明你的所有结论•
解：可以看出梯形的中位线定理、面积公式、平行线的性质定理等.
(1)梯形中位线定理的证明：
已知：梯砒ABCD(E、F分别AB、QD的中点.求证：EF占(AD+BC )，AD^ EF^EC.
证明：如圏杷梯冊ABCD折蓉成一『拒羽EFNMt囹中EF・FN，EM为折痕)，使得点直弓吕、分别重台于一点, 即：EF=NM=BC- (BM+CN) =BC- (EF-AD )，
AEF=- < AD+EC ).
2
T四边ifjEFNM是拒形，
■'■EF// BC，
T AD" BC.
二AD? EF” BC.
<2)面稅兹式：
5梯^ABCD=2S矩形EFNM二2EF・E N J(AD+BC) fc2EN.
丫梯膨的高等于2EN，
二梯羽的面积为：上底加下底乘以高再除以叭
(3)ZEBC+ZEBM=18O*,ZS^ZEBUI^N A二N EBO
A ZA+^B=180°i
化两直线平行，同習内角互补.
(二)平行四边形
1、定理证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
证明；连副D，
■■- ZABD=ZCD01
在△ABD和ACDB中，
BD = DB
« ^ABD= ZCDB，
AB = CD
A AABD^ ACD
B (SAS)・几ZADB=ZCBD.
AD BC -
XAB#CD *
:、四边ff^ABCD是平行四边形.
2、定理求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：如圏四边羽ABCD，对角线相交于点0，M0A=0C，0B=0B 求证：四边羽恵BCD是平行四边形
证明：在△A0E和ACOB中,
"OA = OC
<Z A OD= ZCOB、
[OD-OB
:' AAOD^ACOB ( SAS)，
代RD二CB，Z1=Z2
/■AD ll CE
几四边Jf^ABCD是平行四边形
3、我们在几何的学习中能发现，很多图形的性质定理与判定定理之间有着一定的联系.例如：菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直”和菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”就是这样.但是课本中对菱形的另外一个性质“菱形的对角线平分一组对角”却没有给出类似的判定定理，请你利用如图所示图形研究一下这个问题.
要求：如果有类似的判定定理，请写出已知、求证并证明.如果没有, 请举出反例.
箸：有判定定理.
已知：在平行四边形AECD中，对角线也匚平分ZDAE和上DCB
求证：四边JTJAECD是蓋开纬
证明：丁四边KABCD是平行四边形，
:、ADrf B 匚，
儿ZDAC=ZACB •
丁^ACE=^ACD ・
■■- ZDAC=ZACD ,
:、AD=DCi
二四边形ABCD是菱世.
（三）圆
证明：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

这一定理叫做圆周角定理。

（圆周角与圆心角的关系）
已知在OO中，/ BOC与圆周角/ BAC同对弧BC 求证：/ BOC=Z BAC.证明：
情况1:
如图1,当圆心O在/BAC的一边上时，即A、O B在同一直线上时：
图1 v OA 0C是半径
解：••• OA=OC
•••/ BAC M ACO（等边对等角）
v/ BOC MA AOC的外角•••/ BOC/ BAC/ AC0=2 B AC
情况2：
如图2,,当圆心0在/ BAC的内部时：
连接AO并延长AO交OO于D
图2v OA OB 0C是半径
解：••• OA=OB=OC
•••/ BAD/ ABO / CAD/ ACO（等边对等角）
v/ BOD / COD分别是△AOB △AOC的外角•••/ BOD/ BAD/ ABO=/ BAD三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
/ COD/ CAD/ ACO=/ CAD三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）•••/ BOC/ BOD/ COD=2/ BAD/ CAD）=2/ BAC
情况3：
如图3,当圆心O在/BAC的外部时:
图3连接AO并延长AO交OO于D连接OA,OB
解：••• OA OB OC是半径
•••/ BAD M ABO（等边对等角）,/ CAD M ACO（OA=OC
vZ DOB M DOC分别是△ AOB △ AOC的外角
•••M DOB Z BAD Z ABO=Z BAD三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）Z DOC Z CAD M ACO=M CAD三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）•M BOC M= DOC-M DOB=2M（ CAD-M BAD）=2M BAC。