2019-2020学年河南省鹤壁市培红高级中学高二数学文期末试卷含解析

2019-2020学年河南省鹤壁市培红高级中学高二数学文
期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知△ABC中，AB=，AC=1，∠CAB=30°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】正弦定理．
【分析】根据题意和三角形的面积公式直接求出△ABC的面积．
【解答】解：∵△ABC中，AB=，AC=1，∠CAB=30°，
∴△ABC的面积S=
===，
故选：D．
2. 命题：若，则与的夹角为钝角.命题：定义域为R的函数在
及上都是增函数，则在上是增函数.
下列说法正确的是（）
A.是真命题
B.是假命题
C.为假命题
D.为假命题
参考答案：
B
略
3. △ABC中，若sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．钝三角形
C．锐角三角形D．锐角或直角三角形
参考答案：
A
略
4. 已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A．10B．20C．30D．40
参考答案：
B
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，
由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，
根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，
四边形ABCD的面积S=|AC|?|BD|=×10×4=20．
故选B
【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．
5. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为
（）
参考答案：
B
6. 已知函数那么等于
A． B． C．
D．
参考答案：
B
7. 若，则的值（）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．符号不能确定
参考答案：
A
8. 从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论哪个是正确的（）
A.A,C互斥
B.B,C互斥
C.任何两个都互斥
D.任何两个都不互斥
参考答案：
B
9. 设A是原命题，B、C、D分别是A的逆、否、逆否命题．从4个命题中任取两个
命题，则这两个命题是等价命题的概率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. 已知抛物线，P是抛物线上一点，F为焦点，一个定点，则
的最小值为（）
A．5 B．6 C.7 D．8
参考答案：
B
设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，
∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，
当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小为5﹣（﹣1）=6，
故选：B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为
1,2,……,960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为4，抽到的32人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A，编号落入区间[401,720]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为．
参考答案：
8
∵960÷32=30，
∴由题意可得抽到的号码构成以4为首项、以30为公差的等差数列，
由1≤30n﹣26≤720，n为正整数可得1≤n≤24，
∴做问卷C的人数为32﹣24=8，
故答案为：8．
12. 已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（m﹣1）x2+（m﹣3）y2=1表示双曲线；若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是．
参考答案：
2＜m＜3
【考点】2E：复合命题的真假；K3：椭圆的标准方程．
【分析】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，从而得到p为真命题时m的范围；由：（m﹣1）x2+（m﹣3）y2=1表示双曲线得（m﹣1）（m﹣3）＜0，从而得到q为真命题时m的范围．再由p∧q为真命题知p，q都是真命题，联立不等式组解出m 即可．
【解答】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，解得2＜m＜4，即命题q为：2＜m＜4．
∵（m﹣1）x2+（m﹣3）y2=1表示双曲线，
∴（m﹣1）（m﹣3）＜0，解得1＜m＜3，即命题q：1＜m＜3．
由p∧q为真命题得：p为真，q为真．
∴，解得2＜m＜3．
故答案为：2＜m＜3．
13. 已知三棱锥O-ABC，点G是△ABC的重心。

设，，，那么向量
用基底{，，}可以表示为▲ .
参考答案：
14. 将5个不同的小球放入编号为1,2,3,4,5的5个盒子中，恰好有一个空盒的放法一共有种。

参考答案：
1200
15. (2x＋3)dx= 。

参考答案：
4
16. 若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S=（a+b+c）r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V= ．
参考答案：
R（S1+S2+S3+S4）
【考点】F3：类比推理．
【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．
【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．
17. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用已知条件列出不等式，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，
可得：，，解得e=．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 若函数f（x）=ax2+2x﹣lnx在x=1处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间及极值．
参考答案：
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出原函数的导函数，由函数在x=1时的导数为0列式求得a的值；
（2）把（1）中求出的a值代入f（x）=ax2+2x﹣lnx，求其导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在不同区间段内的符号求单调期间，进一步求得极值点，代入原函数求得极值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2+2x﹣lnx在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，
又，
∴，解得：a=﹣；
（2）f（x）=﹣x2+2x﹣lnx，
函数的定义域为（0，+∞），
由==0，
解得：x1=1，x2=2．
∴当x∈（0，1），（2，+∞）时，f′（x）＜0；
当x∈（1，2）时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调减区间为x∈（0，1），（2，+∞）；
单调增区间为x∈（1，2）．
f（x）的极小值为f（1）=；
f（x）的极大值为f（2）=．
【点评】本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数极值的求法，是中档题．
19. 设各项均为正数的数列{a n}满足．
（Ⅰ）求a n的通项公式；
（Ⅱ）设，，求b n的前n项和T n．
参考答案：
（Ⅰ）由题设知 (1)
当时，有 (3)
整理可得
因为数列{a n}各项均为正数，
(5)
所以数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以{a n}的通项公式为． (6)
（Ⅱ）由， (9)
所以 (11)
． (13)
20. （12）某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？
参考答案：
用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．
第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6.分6步完成这件事，共有
3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有
3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有
3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．分
由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种
21. （本小题12分）打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据，(1)将本题的2*2联表格补充完整。

(2)用提示的公式计算，每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？
提示：
参考答案：
根据表中数据，得到
a=20 b=130 c=5 d=145 n=150------------------------------------------4分
--------------------------------------10分
∵9.8>6.635，∴有99%的把握说“每一晚都打鼾与患心脏病有关”．--------12分
22. 已知函数.
（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；
（2）当时，，当时，与有两个交点，求实数
的取值范围；
（3）证明：.
参考答案：
(1)；(2)；(3)证明见解析.
（2）当时，，
与有两个交点
=在上有两个根
………………………………………………………5分令
时，，在上单调递增
时，，在上单调递减
处有极大值也是最大值，………………………………7分
，……………………………………8分
…………………………………………………………9分
(3）由（1）知当时，在上单调递减
当且仅当x=1时，等号成立
即在上恒成立……………………………………………10分
令，（）………………………………………………………12分
，
时，
时，
时，
…………
时，
累加可得（）……14分
考点：导数与函数单调性极值等方面的有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是在函数单调的前提下求参数的取值范围,求解先求导再转化为不等式恒成立求解得到.第二问的求解时先将问题进行等价转化,再构造,对构造函数运用导数的知识求
解得到.第三问的证明问题是运用第一问的结论当函数在上单调递增减进行变形分析和推证,从而使得问题简捷巧妙获证.。