2025届北京市牛栏山一中高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2025届北京市牛栏山一中高三第三次模拟考试数学试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( )
A ．13
B ．3
C ．33
D ．3
2．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）
A ．9
B ．7
C ．92
D ．72 3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在
的基础上加上（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 4．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b
-=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、 B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率
e =（ ） A ．43 B ．54 C ．65 D ．76
5．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ）
A ．()lg 1y x =+
B ．1
2y x = C ．2x y = D ．ln y x =
6．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）
A ．2
B ．2i
C ．4
D ．4i 7．已知集合{}{}22(,)4,(,)2
x A x y x y B x y y =+===，则A B 元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =ABD △沿AB 翻折，使
点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．8π
B ．6π
C ．4π
D ．823
π 9．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）
A ．16
B ．12
C ．8
D ．6 10．双曲线2
212
y x -=的渐近线方程为（ ） A ．32y x =± B ．y x =± C ．2y x = D ．3y x =
11．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )
A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >
B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >
C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <
D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX <
12．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）
A ．26
B ．13
C ．23
D ．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设f （x ）＝e tx （t ＞0），过点P （t ，0）且平行于y 轴的直线与曲线C ：y ＝f （x ）的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若S （1，f （1）），则△PRS 的面积的最小值是_____．
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22
214
x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =，则a ＝_______．
15．如图所示的流程图中，输出n 的值为______.
16．已知椭圆C ：22
162
x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF ∆的内切圆方程是________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的右焦点)
2,0F ，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为32（1）求椭圆C 的方程； （2）过点()2,0且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点.O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值.
18．（12分）已知曲线1C 的参数方程为2sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.
（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）若过点(10)F ，的直线l 与1C 交于A ，B 两点，与2C 交于M ，N 两点，求FA FB FM FN 的取值范围.
19．（12分）如图，设椭圆1C ：22221(0)x y a b a b
+=>>，长轴的右端点与抛物线2C ：28y x =的焦点F 重合，且椭圆1C 的离心率是32
．
（Ⅰ）求椭圆1C 的标准方程；
（Ⅱ）过F 作直线l 交抛物线2C 于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆1C 于另一点C ，求ABC ∆面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．
20．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点．
（1）求证：EF ‖平面PAD ；
（2）求二面角P EC D --的正切值．
21．（12分）如图，在三棱锥A -
BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .
求证：(1)EF ∥平面ABC ；
(2)AD ⊥AC .
22．（10分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点()00,P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，001,x y e ==.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）延长12,PF PF 分别交椭圆于点,A B （,A B 不重合）.设1122,AF F P BF F P
λμ==，求λμ+的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解析】
设点()1,P my y -，由2PA PB =，得关于y 的方程.由题意，该方程有解，则0∆≥，求出正实数m 的取值范围，即求正实数m 的最小值.
【详解】
由题意，设点()1,P my y -.
222,4PA PB PA PB =∴=，
即()()222211414my y my y ⎡⎤--+=--+⎣⎦
， 整理得()2218120m y my +++=，
则()()22841120m m ∆=-+⨯≥，解得m ≥m ≤
min 0,m m m >∴≥∴.
故选：D .
【点睛】
本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.
2、C
【解析】
根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED
的面积，利用均值不等式即可容易求得.
【详解】
设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.
因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.
又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.
易知AE =ED =在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，
即222
33()x y x y +++=+，化简得3xy =.
在Rt SED ∆中，SE ，ED ==.
所以12SED S SE ED ∆=⋅=.
因为22108336x x +≥=，
当且仅当x =y =92SED S ∆≥=.
【点睛】
本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.
3、C
【解析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案．
【详解】
当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，
当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查数学归纳法，属于中档题./
4、D
【解析】
根据题干得到点A 坐标为()33x x ，代入抛物线得到坐标为()63b b ，再将点代入双曲线得到离心率.
【详解】
因为三角形OAB 是等边三角形，设直线OA 为33y x =，设点A 坐标为()
33x x ，代入抛物线得到x=2b,故点A 的坐标为()
6,23b b ，代入双曲线得到22221371.366b b e a a =⇒=+= 故答案为：D.
【点睛】
求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a
=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).
5、B
【解析】
分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.
对于A ，()lg 1y x =+图象如下图所示：
则函数()lg 1y x =+在定义域上不单调，A 错误；
对于B ，1
2y x x ==的图象如下图所示：
则y x =在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞，B 正确；
对于C ，2x y =的图象如下图所示：
则函数2x
y =单调递增，但值域为()0,∞+，C 错误； 对于D ，ln y x =的图象如下图所示：
则函数ln y x =在定义域上不单调，D 错误.
故选：B .
【点睛】
本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.
6、A
【解析】
对复数z 进行乘法运算，并计算得到42z i =+，从而得到虚部为2.
【详解】
因为(1)(3)42z i i i =+-=+，所以z 的虚部为2.
【点睛】
本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意21i =-.
7、B
【解析】
作出两集合所表示的点的图象，可得选项.
【详解】
由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数2x y =的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以A B 元素个数
为2，
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.
8、C
【解析】
由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果.
【详解】
解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥，
则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．
又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥，
因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．
计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．
9、B
【解析】
根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.
【详解】
由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2
所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，
所以该正三棱柱的侧面积为32212⨯⨯=
故选：B
【点睛】
本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.
10、C
【解析】
根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.
【详解】
双曲线2
2
1
2y x -=, ∴双曲线的渐近线方程为2y x =，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题. 11、C 【解析】
根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项. 【详解】
13X =表示取出的为一个白球，所以()14116233C P X C ===.12X =表示取出一个黑球，()121161
23
C P X C ===，所以
()1218
32333
E X =⨯+⨯=.
23X =表示取出两个球，其中一黑一白，()11
422268
315C C P X C ===，22X =表示取出两个球为黑球，
()22226115C P X C ==，24X =表示取出两个球为白球，()2
42266
415
C P X C ===，所以
()281610
3241515153
E X =⨯
+⨯+⨯=.所以()()1233P X P X =>=，12EX EX <. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题. 12、B 【解析】
过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF .因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2
CDE π
θθ∠=<≤，将h 表示成关于θ的函数，再求函数的最值，
即可得答案. 【详解】
过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF . 因为平面ECD ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ， 所以EH HF ⊥.
因为底面ABCD 是边长为1的正方形，//HF AD ，所以1HF
AD ==.
因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离. 易证平面EFH
⊥平面ABE ，
所以点H 到平面ABE 的距离，即为H 到EF 的距离h .
不妨设(0)2
CDE π
θθ∠=<≤
，则sin EH θ=，21sin EF θ=+.
因为11
22
EHF
S
EF h EH FH =
⋅⋅=⋅⋅，所以21sin sin h θθ⋅+=， 所以
22sin 12
21
1sin 1
sin h θθ
θ
=
=
≤
++，当2πθ=时，等号成立. 此时EH 与ED 重合，所以1EH =，2111133
E ABCD V -=⨯⨯=. 故选：B.
【点睛】
本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
2
e 【解析】
计算R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t =，△PRS 的面积为S 2t
e t =，导数S ′()2
12t e t t
-=，由S ′＝0得t ＝1，根据函数的单调性得到最值. 【详解】
∵PQ ∥y 轴，P （t ，0），∴Q （t ，f （t ））即Q （t ，2
t e ），
又f （x ）＝e tx （t ＞0）的导数f ′（x ）＝te tx ，∴过Q 的切线斜率k ＝t 2
t e ，
设R （r ，0），则k 2
20
t t e te t r
-==-，∴r ＝t 1t -，
即R （t 1
t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t
=，
又S （1，f （1））即S （1，e t
），∴△PRS 的面积为S 2t
e t
=，
导数S ′()2
12t e t t
-=
，由S ′＝0得t ＝1，
当t ＞1时，S ′＞0，当0＜t ＜1时，S ′＜0，∴t ＝1为极小值点，也为最小值点， ∴△PRS 的面积的最小值为2
e ． 故答案为：
2
e ． 【点睛】
本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力. 14、3 【解析】
双曲线的焦点在x 轴上，渐近线为2
y x a =±，结合渐近线方程为23
y x =可求a . 【详解】
因为双曲线22
21
4
x y a -=(a ＞0)的渐近线为2y x a =±，且一条渐近线方程为23y x =， 所以3a =. 故答案为：3. 【点睛】
本题主要考查双曲线的渐近线，明确双曲线的焦点位置，写出双曲线的渐近线方程的对应形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 15、4 【解析】
根据流程图依次运行直到1S ≤-，结束循环，输出n ，得出结果. 【详解】
由题：2
1
1,1,1log 0,211
S n S n ===+==+， 2
222
0log log ,3213S n =+==+， 222232
log log log 1,43314S n =+==-=+，1S ≤-结束循环，
输出4n =. 故答案为：4 【点睛】
此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.
16、2
24439x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭ 【解析】 利用公式21
2
ABF S lr ∆=
计算出r ，其中l 为2ABF ∆的周长，r 为2ABF ∆内切圆半径，再利用圆心到直线AB 的距离等于半径可得到圆心坐标. 【详解】
由已知，(A -，(2,B -，2(2,0)F ，设内切圆的圆心为(,0)(2)t t >-，半径为r ，则
21222111()4222ABF S AB F F AB AF BF r a r ∆=
⨯⨯=⨯++⨯=⨯⨯，故有43
⨯=， 解得23r =
，由2|(2)|3t --=，4
3t =-或83
t =-（舍），所以2ABF ∆的内切圆方程为
2
2
4439x y ⎛⎫++= ⎪
⎝⎭
. 故答案为：2
24439x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭.
【点睛】
本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）22
186
x y +
（2）最大值【解析】
（1
）根据通径2
2b a
=
c =
（2）设直线MN 方程为2x my =+，联立椭圆，利用OAM
OAN
OMAN S S
S
=+四边形，用含m 的式子表示出
OAM
OAN
OMAN S S
S
=+四边形
，用t =换元，
可得
2
22OMAN S t t t
=
=++四边形，最后用均值不等式求解.
【详解】
解：（1
）依题意有c =
a =
b =，所以椭圆的方程为22
186
x y +
.
（2）设直线MN 的方程为2x my =+，联立22
186
2x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()22
3412120m y my ++-=. 所以1221234m y y m -+=
+，122
12
34
y y m -=+.
所以121211
22
OAM OAN OMAN S S S
y y y =+=⨯+⨯=
-四边形
===
.
令t
=，则t ≥
所以
OMAN S t t
=
=+
四边形
，因t ≥
2t t
+≥
OMAN S ≤四边形t =，即0m =时取得等号，
即四边形OMAN 面积的最大值【点睛】
考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题. 18、 (1)见解析;(2)108⎛
⎤ ⎥⎝⎦
，. 【解析】
试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到1C 的普通方程，两边同乘以ρ利用cos ,sin x y ρθρθ== 即可得2
C
的直角坐标方程；（2）设直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα
=+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入2
212x
y +=，利用韦达定理、直线参
数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.
试题解析：（1）曲线1C 的普通方程为2
212
x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为 24y x =；
（2）设直线l 的参数方程为1x tcos y tsin α
α
=+⎧⎨=⎩（t 为参数）
又直线l 与曲线2C ：2
4y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.
联立直线l 与曲线1C ：2212
x y +=可得()
22
1sin 2cos 10t t αα++-=则122
11sin FA FB t t α⋅==+ 联立直线l 与曲线2C ：2
4y x =可得22sin 4cos 40t t αα--=，则1224
sin FM FN t t α
⋅==
即2222211sin 1111sin 0,4141sin 481sin sin FA FB FM FN ααααα⋅⎛⎤+==⋅=⋅∈ ⎥⋅+⎝⎦+ 19、（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）ABC ∆面积的最小值为9
，2x y =+.
【解析】
（Ⅰ）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的a ，再由离心率可求得c ，从而得b 值，得标准方程；
（Ⅱ）设直线l 方程为2x my =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，把直线方程代入抛物线方程，化为y 的一元二次方程，由韦达定理得1212,y y y y +，由弦长公式得AB ，同理求得C 点的横坐标，于是可得FC ，将面积表示为参数的函数，利用导数可求得最大值. 【详解】
（Ⅰ）∵椭圆1C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，
长轴的右端点与抛物线2C ：2
8y x =的焦点F 重合， ∴2a =，
又∵椭圆1C
的离心率是
2
，∴c =1b =， ∴椭圆1C 的标准方程为2
214
x y +=．
（Ⅱ）过点()2,0F 的直线l 的方程设为2x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，
联立228x my y x
=+⎧⎨=⎩得2
8160y my --=，
∴128y y m +=，1216y y =-， ∴
()
281AB m ==+．
过F 且与直线l 垂直的直线设为()2y m x =--，
联立()22
214
y m x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩得()2222
14161640m x m x m +-+-=， ∴2
216214C m x m +=+，故()
2224141
C m x m -=+，
∴2
441
C F CF x x m =-=
+ ABC ∆面积(
)
22
1611241m S AB CF m +=⋅=+
t =，则()3
21643
t
S f t t ==-，()()
()
42
2
2
1649'43
t t f t t
-=
-，
令()'0f t =，则2
94t =
，即2
914
m +=时，ABC ∆面积最小，
即当m =ABC ∆面积的最小值为9，
此时直线l 的方程为22
x y =±+． 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，抛物线中弦长的求解，涉及三角形面积范围问题，利用导数求函数的最值问题，属综合困难题.
20、 (1)
见证明；(2) 【解析】
（1）取PD 中点G ，可证EFGA 是平行四边形，从而EF
AG ， 得证线面平行；
（2）取AD 中点O ，连结PO ，可得PO ⊥面ABCD ，连OB 交CE 于M ，可证PMO ∠是二面角P EC D --的平面角，再在PMO ∆中求解即得． 【详解】
（1）证明：取PD 中点G ，连结GF AG 、
GF 为PDC △的中位线，//GF CD ∴且1
2
GF CD =，
又//AE CD 且1
2
AE CD =，//GF AE ∴且GF AE =，
∴EFGA 是平行四边形，则EF
AG ，
又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ，
EF ∴∥面PAD ；
（2）解：取AD 中点O ，连结PO ，
∵面PAD ⊥面ABCD ，PAD △为正三角形，
PO ∴⊥面ABCD ，且3PO =，
连OB 交CE 于M ，可得Rt EBC Rt OAB ≌，
MEB AOB ∴∠=∠，则90MEB MBE ∠+∠=︒，即OM EC ⊥．
连PM ，又PO EC ⊥，
可得EC ⊥平面POM ，则PM EC ⊥， 即PMO ∠是二面角P EC D --的平面角， 在Rt EBC 中，2535
55
BE BC BM OM OB BM CE ⋅=
==-=
∴15tan PO PMO OM ∠==
P EC D --15 【点睛】
本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此
角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算． 21、（1）见解析（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．
试题解析：证明：
（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB .
又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ⋂平面BCD =BD ，
BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，
所以BC ⊥平面ABD .
因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .
又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
22、（1）2212x y +=；（2）23
【解析】
（1）根据题意直接计算得到1b =，2222a b c =+=，得到椭圆方程. （2）不妨设(,)P m n ，且0n >，设()()1122,,,A x y B x y ，代入 数据化简得到
[(32)1](1)0m λλ+-+=，故2
116
323294m m m
λμ+=
+=+--，得到答案.
【详解】
（1）c e a =，所以1,,1c P c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2222
11c a a b +=，化简得22
22211b c a b b
+==， 所以1b =，2
2
2
2a b c =+=，所以方程为2
212
x y +=；
（2）由题意得，P 不在x 轴上，不妨设(,)P m n ，且0n >，设()()1122,,,A x y B x y ， 所以由11AF F P λ=，得()111,(1,)x y m n λ---=+， 所以111,x m y n λλλ-=++-=，
由2
21112x y +=，得22(1)()12m n λλλ+++=，代入2
212
m n +=， 化简得：[(32)1](1)0m λλ+-+=，
由于10λ+≠，所以132m λ=+，同理可得1
32m
μ=-，
所以2116
323294m m m λμ+=+=+--，所以当0
m =时，λμ+最小为23
【点睛】
本题考查了椭圆方程，椭圆中的向量运算和最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。