2024届江苏省东台市第六教育联盟数学八年级第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届江苏省东台市第六教育联盟数学八年级第二学期期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．若30ACB ∠=︒，10AC =，则AB 的长为( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
2．龙华区某校改造过程中，需要整修校门口一段全长2400m 的道路，为了保证开学前师生进出不受影响，实际工作效率比原计划提高了20 %，结果提前8天完成任务，若设原计划每天整个道路x 米，根据题意可得方程（ ） A ．24002400 8(120%)x x -=+ B ．240024008(120%)x x
-=+ C ．240024008(120%)x x -=- D ．
240024008(120%)x x -=- 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO 的顶点O 为坐标原点，边CO 在x 轴正半轴上，∠AOC ＝60°，反比例函数y ＝23x
(x ＞0)的图象经过点A ，交菱形对角线BO 于点D ，DE ⊥x 轴于点E ，则CE 长为( )
A ．1
B ．2
C ．22﹣6
D ．2﹣1
4．下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
A ．
B ．
C ．
D ．
6．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x 2－12x ＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是( ) A ．24 B ．24或16 C ．26 D ．16
7．方程x 2﹣4x +5＝0根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有一个实数根
D ．没有实数根
8．菱形与矩形都具有的性质是（ ）．
A ．对角相等
B ．四边相等
C ．对角线互相垂直
D ．四角相等 9．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A ．①，②
B ．①，④
C ．③，④
D ．②，③
10．二次根式4x -中x 的取值范围是( )
A ．4x >
B ．4x <
C ．4x ≥
D ．4x ≤
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．关于x 的一元二次方程22(3)390m x x m -++-=有一个解是0，则m =__________．
12．如果关于x 的方程2420x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是_______________．
13．如图，边长为5的菱形ABCD 中，对角线AC 长为6，菱形的面积为______．
14．已知分式
24
2
x
x
-
+
，当x__________时，分式无意义?当x____时，分式的值为零？当x=-3时，分式的值为
_____________．
15．如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为______．
16．若2
-是关于x的一元二次方程()
22
1240
k x kx
-++=的一个根，则k=____.
17．如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b＞ax+3的解集为_____．
18．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；
③S△ACF＝1；④CE＝1
2
AF；⑤EG2＝FG•DG，其中正确结论的有_____（只填序号）．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，平行四边形AEFG的顶点G在平行四边形ABCD的边CD上，平行四边形ABCD的顶点B在平行四边形AEFG的边EF上.求证：S□ABCD=S□AEFG
20．（6分）已知：如图平行四边形ABCD 中，BD CD =，且45ABD ∠=，过D 作DF AB ⊥于F ，点E 是AD 的中点，连接BE 交DF 于点P ，点G 是AB 的中点，过B 作BH BD ⊥交PG 的延长线于H .
（1）若2AB =，求DP 的长.（2）求证：DP BH =.
21．（6分）如图1，直线l 1：y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A ，B ，与直线l 2：y=x 交于点C ．
（1）求A ，B 两点的坐标；
（2）求△BOC 的面积；
（3）如图2，若有一条垂直于x 轴的直线l 以每秒1个单位的速度从点A 出发沿射线AO 方向作匀速滑动，分别交直线l 1，l 2及x 轴于点M ，N 和Q ．设运动时间为t （s ），连接CQ ．
①当OA=3MN 时，求t 的值；
②试探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以O 、Q 、C 、P 为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．
22．（8分）如图，在长方形OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点，点2,2A m m 在x 轴上，点1,6C n n 在y 轴上，点B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O C B A O 的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）．
（1）分别求出A ，C 两点的坐标；
（2）当点P 移动了4秒时，求出点P 的坐标；
（3）在移动过程中，当三角形OBP 的面积是10时，求满足条件的点P 的坐标及相应的点P 移动的时间．
23．（8分）某服装店用 6000 元购进一批衬衫，以 60 元/件的价格出售，很快售完，然后又用 13500元购进同款衬衫，购进数量是第一次的 2 倍，购进的单价比上一次每件多 5 元，服装店 仍按原售价 60 元/件出售，并且全部售完.
（1）该服装店第一次购进衬衫多少件？
（2）将该服装店两次购进衬衫看作一笔生意，那么这笔生意是盈利还是亏损？求出盈利（或 亏损）多少元？
24．（8分）已知如图，在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，MN MD ⊥，BN 平分CBE ∠并交MN 于N .求证：MD MN =
25．（10分）如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，DE ⊥AB ．
（1）求∠ABC 的度数；
（2）如果AC ＝43，求DE 的长．
26．（10分）如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （3，0），与y 轴交于点C ，点D 的横坐标为m （0＜m ＜3），连结DC 并延长至E ，使得CE=CD ，连结BE ，BC ．
（1）求抛物线的解析式；
（3）求△BCE的面积最大值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解题分析】
由矩形的性质可得：∠ABC=90°，OA=OC=OB=OD=1，∠AOB=2∠ACB=60°，△AOB为等边三角形，故AB=OA=1．【题目详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD=1
2
AC=1，∠ABC=90°，
∴∠OBC=∠ACB=30°
∵∠AOB=∠OBC+∠ACB
∴∠AOB=60°
∵OA=OB
∴△AOB是等边三角形
∴AB=OA=1
故选：B
【题目点拨】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质，是基础题，比较简单.
2、A
直接利用施工时间提前8天完成任务进而得出等式求出答案．
【题目详解】
解：设原计划每天整修道路x 米，根据题意可得方程：
24002400 8(120%)
x x -=+． 故选：A ．
【题目点拨】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
3、C
【解题分析】
由菱形ABCO ，∠AOC=60°
，由解直角三角形可以设A （m ）,又点A 在反比例函数的图像上，带入可以求出A 的坐标，进而可以求出OA 的长度，即OC 可求．再根据菱形ABCO ，∠AOC=60°
，可知∠BOC=30°，可设E （n ，0）,
则D （n ）,带入反比例函数的解析式可以求出E 点坐标，于是CE=OC-OE ，可求. 【题目详解】
解：∵四边形ABCO 为菱形，∠AOC=60°，
∴可设A （m m ）,
又∵A 点在反比例函数
2得(由题意舍m=-
∴A ）
∴，
又∵四边形ABCO 为菱形，∠AOC=60°，OB 为四边形ABCO 的对角线，
∴∠BOC=30°，可设D （n ）,则E （n ，0），
∵D 在反比例函数上，
2=解得n (由题意舍n = -
∴E，0），
∴,
则有.
故答案选C.
【题目点拨】
掌握菱形的性质，理解“30°角所对应的直角边等于斜边的一半”，再依据勾股定理分别设出点A和点D的坐标，代入反比例函数的解析式.灵活运用菱形和反比例函数的性质和解直角三角形是解题的关键.
4、A
【解题分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可．
【题目详解】
A. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A.
【题目点拨】
本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5、B
【解题分析】
根据正比例函数图象所经过的象限，得出k<0，由此可推知一次函数象与y轴交于负半轴且经过一、三象限.
【题目详解】
解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过二、四象限，
∴k<0，
∴一次函数y=x+k的图象与y轴交于负半轴且经过一、三象限.
故选B.
【题目点拨】
本题考查了一次函数图象与比例系数的关系.
试题分析：
∴
∴或
∴，
而三角形两边的长分别是8和6，
∵2+6=8，不符合三角形三边关系，=2舍去，
∴x=10，即三角形第三边的长为10，
∴三角形的周长=10+6+8=1．
故选A．
考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
点评：本题考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化为一般形式，然后把方程左边因式分解，这样就把方程化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系．
7、D
【解题分析】
解：∵a=1，b=﹣4，c=5，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，
所以原方程没有实数根．
8、A
【解题分析】
根据矩形、菱形的性质分别判断即可解决问题．
【题目详解】
A. 对角相等，菱形和矩形都具有的性质，故A正确；
B. 四边相等，菱形的性质，矩形不具有的性质，故B错误；
C. 对角线互相垂直，矩形不具有的性质，故C错误；
D. 四角相等，矩形的性质，菱形不具有的性质，故D错误；
故选：A.
【题目点拨】
此题考查菱形的性质，矩形的性质，解题关键在于掌握各性质定义.
确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【题目详解】
只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选D ．
【题目点拨】
本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
10、D
【解题分析】
由二次根式有意义的条件得：被开方数为非负数可得答案．
【题目详解】
40x -≥，解得：4x ≤．
故选D ．
【题目点拨】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-3
【解题分析】
∵方程的一个解为0，
∴将0x =代入原方程，
得：290m -=，则3m =±，
∵是关于x 的一元二次方程．
∴30m -≠，即3m ≠，
∴3m =-．
12、2m ≤
【解题分析】
分析：根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=16-8m≥0,解之即可得出m 的取值范围.
∴△=(-4)²-4×2m=16-8m≥0,
解得:m≤2
故答案为:m≤2
点睛：本题考查了根的判别式,根的判别式大于0,方程有两个不相等的实数根;根的判别式等于0,方程有两个相等的实数根;根的判别式小于0,方程没有实数根.
13、1
【解题分析】
根据菱形的对角线互相垂直且互相平分可得出对角线BD 的长度，进而根据对角线乘积的一半可得出菱形的面积．
【题目详解】
解：在菱形ABCD 中，
由题意得：，
∴BD=8，
故可得菱形ABCD 的面积为
12
×8×6=1． 故答案为1．
【题目点拨】
本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质．
14、2=- 2= -5
【解题分析】
根据分式无意义的条件是分母为0可得第一空，根据分子为0，分母不为0时分式的值为0可得第二空，将3x =-的值代入分式242
x x -+中即可求值，从而得出第三空的答案． 【题目详解】
根据分式无意义的条件可知，当20x +=时，分式242
x x -+无意义，此时2x =-； 根据分式的值为0的条件可知，当24020
x x ⎧-=⎨+≠⎩时，分式的值为0，此时2x =；
将3x =- x 的值代入分式中，得
()2
34532--=--+； 故答案为：2,2,5=-=- ．
【题目点拨】
本题主要考查分式无意义，分式的值为0以及分式求值，掌握分式无意义，分式的值为0的条件是解题的关键．
15、1．
【解题分析】
解：依题意知，BG =AF =DE =8，EF =FG =2，∴BF =BG ﹣BF =6，∴直角△ABF 中，利用勾股定理得：
AB ．故答案为1．
点睛：此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF 的两直角边的长度．
16、0
【解题分析】
根据一元二次方程的解即可计算求解.
【题目详解】
把x=-2代入方程得()241440k k --+=，解得k=1或0，
∵k 2-1≠0，k ≠±
1， ∴k=0
【题目点拨】
此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知一元二次方程二次项系数不为0.
17、x ＞1
【解题分析】
试题分析：根据两直线的图象以及两直线的交点坐标来进行判断．
试题解析：由图知：当直线y=x+b 的图象在直线y=ax+3的上方时，不等式x+b ＞ax+3成立；
由于两直线的交点横坐标为：x=1，
观察图象可知，当x ＞1时，x+b ＞ax+3；
考点：一次函数与一元一次不等式．
18、①②④⑤
【解题分析】
①②∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠B =∠D =90°，∠BAD =90°，∵AE 平分∠DAC ，∴∠FAD =∠CAF =22.5°，∵BH =DF ，∴△ABH ≌△ADF ，∴AH =AF ，∠BAH =⊂FAD =22.5°，∴∠HAC =∠FAC ，∴HM =FM ，AC ⊥FH ，∵AE 平分∠DAC ，∴DF =FM ，∴FH =2DF =2BH ，故选项①②正确；
③在Rt △FMC 中，∠FCM =45°，∴△FMC 是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC =，MC =DF =2，∴FC =2
﹣DF =2﹣（2）=4﹣S △AFC =12
CF •AD ≠1，所以选项③不正确；
④AF =22AD DF +=222(222)+-=2422-，∵△ADF ∽△CEF ，∴AD AF CE FC =，∴22422422CE -=-，∴CE =422-，∴CE =12
AF ，故选项④正确； ⑤在Rt △FEC 中，EG ⊥FC ，∴2EG =FG •CG ，cos ∠FCE =CE CG FC CE =，∴CG =2CE CF =422422
--=1，∴DG =CG ，∴2EG =FG •DG ，故选项⑤正确；
本题正确的结论有4个，
故答案为①②④⑤.
三、解答题(共66分)
19、证明见解析.
【解题分析】
分析：连接BG ，作AM ⊥EF ，垂足M ，作AN ⊥CD ，垂足N .根据三角形的面积公式证明S ABCD =2S △ABG ，S AEFG= S ABG 即可证明结论.
详解：连接BG ，作AM ⊥EF ，垂足M ，作AN ⊥CD ，垂足N .
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ,AB =CD .
∵12
ABG S AB AN =
⋅ , 111222ADG ACG S S DG AN CG AN CD AN +=⋅+⋅=⋅, ∴ABG ADG ACG S S S =+,
∴S ABCD =2S △ABG ，
同理可证：S AEFG= S
ABG ，
∴S □ABCD =S □AEFG.
点睛：本题考查了平行四边形的性质，等底同高的三角形面积相等，正确作出辅助线，证明S ABCD =2S △ABG ，
S AEFG= S ABG 是解答本题的关键.
20、（1
）2=DP ；（2）见解析.
【解题分析】
（1）由已知四边形是ABCD 平行四边形得出CD AB =，且45ABD ∠=，DF AB ⊥可求出AF ，再通过证明
ADF PBF ∆≅∆即可求出DP 的长；
（2）通过作辅助线证明AGP BGH ∆≅∆即可证明DP BH =. 【题目详解】
解：（1）在平行四边形ABCD 中，
CD AB =，
∵BD CD =，
∴2AB BD ==，
45ABD ∠=，DF AB ⊥，
∴BF DF ==，
∴2AF =点E 是AD 的中点，
22.5ABE DBE ∠=∠=，
22.5ADF ADB FDB ∠=∠-∠=.
∴ADF PBF ∠=∠，90AFD BFP ∠=∠=
∴90ADF PBF BF DF AFD BFP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=
⎩
∴ADF PBF ∆≅∆，PF AF =，
∴2DP DF PF =-=.
（2）连接AP ，
∵BH DB ⊥，45ABD ∠=，
∴45GBH ∠=，
∵点E 是AD 的中点，AB BD =，
∴BE AD ⊥，
∴DP AP =，
∴GAP GBH AG BG AGP BGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩
∴AGP BGH ∆≅∆，
∴AP BH =，
∴DP BH =.
方法二：取BD 中点M ，连接PM （其他证法均参照评分）
【题目点拨】
本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，利用三角形证明ADF PBF ∆≅∆与AGP BGH ∆≅∆是解题的关键.
21、（1）A （6，0）B （0，3）；（2）S △OBC =3；（3）①t=或；②t=（6+2
）s 或（6﹣2）s 或2s 或4s 时，以O 、Q 、C 、P 为顶点的四边形构成菱形．
【解题分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建方程组确定点C 坐标即可解决问题；
（3）根据绝对值方程即可解决问题；
（4）分两种情形讨论：当OC 为菱形的边时，可得Q 1
Q 2Q 4（4，0）；当OC 为菱形的对
角线时，Q 3（2，0）；
【题目详解】
（1）对于直线
，令x=0得到y=3，令y=0，得到x=6， A （6，0）B （0，3）．
（2）由解得 ， ∴C （2，2），
∴
（3）①∵
∴
∵OA=3MN ， ∴
解得t=或
②如图3中，由题意
当OC 为菱形的边时，可得Q 1（﹣2，0），Q 2（2，0），Q 4（4，0）；
当OC 为菱形的对角线时，Q 3（2，0），
∴t=（6+2）s 或（6﹣2）s 或2s 或4s 时，以O 、Q 、C 、P 为顶点的四边形构成菱形．
【题目点拨】
本题考查一次函数综合题、三角形的面积、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
22、（1）点()4,0A ，点()0,6C ；（2）点()2,6P ；（3）①P （0，5），移动时间为52
秒；②P （23，6），移动时间为103秒；③P （4，1），移动时间为：
152秒；④P （103
，0），移动时间为：253秒 【解题分析】 （1）根据点A ，点C 的位置即可解答；
（2）根据点P 的速度及移动时间即可解答；
（3）对点P 的位置分类讨论，根据三角形的面积计算公式即可解答．
【题目详解】
解：（1）点2,2A m m 在x 轴上，点1,6C n n 在y 轴上，
∴m+2=0，n-1=0，
∴m=-2，n=1．
∴点()4,0A ，点()0,6C
（2）由（1）可知：点()4,0A ，点()0,6C
当点P 移动了4秒时，移动的路程为：4×
2=8， ∴此时点P 在CB 上，且CP=2，
∴点()2,6P ．
（3）①如图1所示，当点P 在OC 上时，
∵△OBP 的面积为10， ∴1102OP BC ⋅=，即14102
OP ⨯=，解得OP=5， ∴点P 的坐标为（0，5），运动时间为：5522÷=（秒）
②如图2所示，当点P 在BC 上时，
∵△OBP 的面积为10，
∴
1102PB OC ⋅=，即16102BP ⨯=，解得BP=103
， ∴CP=23
∴点P 的坐标为（23，6），运动时间为：210(6)233+÷=（秒）
③如图3所示，当点P 在AB 上时，
∵△OBP 的面积为10，
∴1
10
2
PB OA
⋅=，即
1
410
2
BP⨯=，解得BP=5，
∴AP=1
∴点P的坐标为（4，1），运动时间为：
15 (645)2
2
++÷=（秒）
④如图4所示，当点P在OA上时，∵△OBP的面积为10，
∴1
10
2
OP AB
⋅=，即
1
610
2
OP⨯=，解得OP=
10
3
，
∴点P的坐标为（10
3
，0），运动时间为：
1025
(6464)2
33
+++-÷=（秒）
综上所述：①P（0，5），移动时间为5
2
秒；②P（
2
3
，6），移动时间为
10
3
秒；③P（4，1），移动时间为：
15
2
秒；④P
（10
3
，0），移动时间为：
25
3
秒．
【题目点拨】
本题考查了平面直角坐标系中的坐标及动点运动问题，解题的关键是熟知平面直角坐标系中点的特点及动点的运动情况．
23、（1）该服装店第一次购进衬衫150 件.（2）这笔生意共盈利7500 元.
【解题分析】
分析：（1）设该服装店第一次购进衬衫x件，根据题目中的“第二次每件进价比第一次多5元”可得出相等关系，列方程求解即可；
（2）用第一次的利润+第二次的利润，和是正数表示盈利．
详解：（1）设该服装店第一次购进衬衫x件．由题意得：
600013500
+=
5
x x
2
解得：x＝150，经检验：x＝150 是原方程的解．
答：该服装店第一次购进衬衫150 件．
（2）第一次购进的单价为6000÷150＝40（元/件）
第二次的购进数量为：150×2＝300（件）
第二次购进的单价为：40＋5＝45（元/件）
这笔生意的利润为：（60－40）×150＋（60－45）×300＝7500（元）
答：这笔生意共盈利7500 元．
点睛：本题考查的是分式方程的应用，正确分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
24、见解析
【解题分析】
取DA的中点F，连接FM，根据正方形的性质可得DA=AB，∠A=∠ABC=∠CBE=90°，然后利用ASA即可证出△DFM≌△MBN，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【题目详解】
解：取DA的中点F，连接FM
∵四边形ABCD是正方形
∴DA=AB，∠A=∠ABC=∠CBE=90°
∴∠FDM＋∠AMD=90°
⊥
∵MN MD
∴∠BMN＋∠AMD=90°
∴∠FDM=∠BMN
∵点F、M分别是DA、AB的中点
∴DF=FA=12DA=12
AB=AM=MB ∴△AFM 为等腰直角三角形
∴∠AFM=45°
∴∠DFM=180°－∠AFM=135°
∵BN 平分CBE ∠
∴∠CBN=12
CBE ∠=45° ∴∠MBN=∠ABC ＋∠CBN=135°
∴∠DFM=∠MBN
在△DFM 和△MBN 中
FDM BMN DF MB
DFM MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△DFM ≌△MBN
∴MD MN =
【题目点拨】
此题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握正方形的性质和构造全等三角形的方法是解决此题的关键．
25、（1）120ABC ∠=︒；（2
）DE
【解题分析】
试题分析：（1）要想求出∠ABC 的度数，须知道∠DAB 的度数，由菱形性质和线段垂直平分线的性质可证出△ABD 是等边三角形，∴∠DAB=60°，于是120ABC ∠=︒；（2）先证△ABO ≌△DBE,从而知道DE=AO,AO=AC 的一半，于是DE 的长就知道了．
试题解析：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，AD ∥.BC ,∴180DAB ABC ∠+∠=︒．∵E 为AB 的中点，
DE AB ⊥，∴AD DB =．∴AD DB AB ==．∴ △ABD 为等边三角形．∴60DAB ∠=︒．∴120ABC ∠=︒．
（2）∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥于O
，12AO AC =
=∵DE AB ⊥于E ，∴90AOB DEB ∠=∠=︒．∵,,DB AB ABO DBE =∠=∠∴ABO DBE AAS ≌（）
．∴=DE AO 考点：1．菱形性质；2．线段垂直平分线性质；3．等边三角形的判定与性质．
26、（1）y=﹣x 2+2x+1．（2）2≤E y ＜2．（1）当m=1.5时，S △BCE 有最大值，S △BCE 的最大值=278．
【解题分析】
分析：(1) 1)把A 、B 两点代入抛物线解析式即可;(2)设()
()2,23,0,3D m m m C CE CD -++=，利用求线段中点的公式列出关于m 的方程组，再利用0＜m ＜1即可求解;(1) 连结BD ，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点H,由BCE BCD S S ∆∆=，设出点D 的坐标，进而求出点H 的坐标，利用三角形的面积公式求出BCE S ∆，再利用公式求二次函数的最值即可. 详解：(1)∵抛物线 2
y x bx c =-++ 过点A （-1，0）和B （1，0） 10930b c b c ---=⎧∴⎨-++=⎩ 22233
b y x x
c =⎧∴∴=-++⎨=⎩ （2）∵()
()2,23,0,3D m m m C CE CD -++= ∴点C 为线段DE 中点
设点E （a,b ）()20236a m b m m +=⎧⎪∴⎨+-++=⎪⎩
()2,23E m m m ∴--+
∵0＜m ＜1, ()222312m m m -+=-+
∴当m=1时，纵坐标最小值为2
当m=1时，最大值为2
∴点E 纵坐标的范围为26E y ≤<
（1）连结BD ，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点H
∵CE=CD ()2,23,:3BCE BCD
S S D m m m BC y x ∆∆∴=-++=-+ ∴H （m ，-m+1） ∴()
211=233322BCD S DH OB m m m ∆=⨯-+++-⨯ 23922m m =-+ 当m=1.5时，
max 278
EBC S ∆=.
点睛：本题考查了二次函数的综合题、待定系数法、一次函数等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，会用方程的思想解决问题.。