【精品】湖北省孝感市八校联考2017-2018学年高一上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析

2017-2018学年度上学期孝感市八校教学联盟期中联合考试
高一理科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
∴，故选 C.
2. 下列各组函数是同一函数的是（）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】B
【解析】对于选项B,两个函数的定义域都是R,根据对数的运算法则，，对应法则相同，故两个函数是同一个函数，选 B.
点睛：本题涉及函数定义域的求法，函数解析式得化简及函数构成的两要素，属于中档题.处理此类问题的关键是求出两个函数的定义域，如果不同，则为不同函数，如果相同，再分析
其解析式，经过等价变形后两个是否相同，不同则是不同函数，相同则是相同的函数.
3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据基本初等函数的性质知，符合条件的是，因为满足，且在上是增函数，故选 D.
4. 函数零点所在的大致区间是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，即，所以零点在区间内，故选 C.
5. 已知，，，则，，的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，，所以，故选 C.
6. 函数在区间上为单调函数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】二次函数开口向上，对称轴为，因为函数在区间上为单调函数，所以
或，解得或，故选A．
点睛：本题主要考查了二次函数及其图像，二次函数的单调性等问题，属于中档题，处理此
类问题时，要紧密联系二次函数的图象，以及一元二次方程，解决二次函数单调性时，要注
意开口方向以及函数对称轴，解题时注意对称轴与所给区间的相对位置关系．
7. 已知函数则等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据函数解析式知，，故选B．
8. 已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，且点在函数的图像上，则实数的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为图象关于直线对称且在函数的图像上，则点在函数
（且）上，代入解得，故选 A.
9. 函数的单调递减区间是（）
A. B. C. D.
【答案】A
...............
10. 如图，半径为2的圆与直线相切于点，动点从点出发，按逆时针方向沿着圆周运
动一周，这，且圆夹在内的弓形的面积为，那么的图象大致是（）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】由已知中径为2的⊙○切直线AB于点P，射线PT从PB出发绕点P逆时针方向旋转
到PA，旋转过程中，弓形的面积不断增大,而且弓形的面积由0增大为半圆面积时，增大的速
度起来越快，而由半圆增大为圆时增大速度越来越慢，分析四个答案中的图象，可得C满足要求,故答案为C．
点睛：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据实际情况，分析出函数值在不
同情况下，随自变量变化的趋势及变化的快慢，是解答本题的关键．
11. 已知函数是定义在上偶函数，且在内是减函数，若，则满足的
实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数是定义在上偶函数，且在内是减函数，若，则，所以在y轴的左侧有时，，根据函数图像的对称性知当时，，即的解为，所以的解为，故选 D.
点睛：本题考查了抽象函数的相关性质，涉及函数的值求法，奇偶性、单调性的证明，不等
式的求解，属于难题.解决此类型问题，关键体会对定义域内任意自变量存在的性质，特别是
特值的求解，即要善于发现，又要敢于试验，奇偶性在把握定义得前提下，通过赋值向定义
靠拢，单调性就是要结合单调性证明格式，正用、逆用，变形使用性质，解不等式就是奇偶
性及单调性的应用，注意定义域问题.
12. 已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可知函数在递减且，在递增，且，
当函数递减且，因此有3个零点，只需函数图象有三个交点，过
只需，故选B．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 函数在区间上值域为__________．
【答案】
【解析】因为函数在上是减函数，所以，故值域为，填.
14. 函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】令且，得，解得，故填．
点睛：本题主要考查函数定义域的求法，属于中档题．解题时注意要使函数各部分都有意义，
然后求其交集即可，要积累常见函数有意义的条件，如开偶次方被开方数非负，零次幂的底
数非零，分式的分母非零，对数真数为正数等条件，以便求函数定义域时使用．
15. 已知函数是幂函数，且当时，是增函数，则实数的值为__________．
【答案】3
【解析】函数是幂函数，所以，解得或，又当时，是增函数，所以，故，填
16. 若对于函数的定义域中任意的，（），恒有和
成立，则称函数为“单凸函数”，下列有四个函数：
（1）；（2）；（3）；（4）．
其中是“单凸函数”的序号为__________．
【答案】（2）（3）
【解析】根据“单凸函数”的定义，满足的函数是增函数，所以（4）不是，对于（1）当，时，，不符合定义，对于（2）（3）符合定义，故填（2）（3）.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 化简计算下列各式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）根据指数幂的运算法则即可求出；
（2）根据对数的运算法则及特殊值的对数即可求解.
试题解析：
（1）原式．
（2）原式
．
18. 已知,．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】试题分析：（1）时，写出集合B，利用数轴即可求出；
（2）分时与时两种情况分类讨论即可求出结论.
试题解析：
（1）时，，
故，．
（2）当时，，则；
当时，，则，由，
得或解得或，
综上可知，的取值范围是．
点睛：求参数的取值范围的关键，是转化条件得到相应参数的方程或不等式，本题根据集合
之间的关系是空集，从数轴上，数形结合、分类讨论，可以得到参数的取值范围，注意在处
理集合关系及交并补运算的时候，特别考虑端点的取等成立与否的问题，否则非常容易出错.
19. 已知函数（且）是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若1是函数的零点，求实数的值．
【答案】（1）2；（2）3．
【解析】试题分析：（1）根据函数是奇函数，利用奇函数的定义即可求解；
（2）根据零点的概念，把1代入，即可求出a的值．
试题解析：（1）因为函数为奇函数，则，即，
即，所以，故有，所以，
当时，不成立，
当时，，经验证成立，
所以．
（2）由（1）知，
∵是函数的零点，∴，
即，即，解得．
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数的图象；（3）求使的实数的取值集合．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：（1）利用函数是奇函数，结合时，即可求出；（2）因为奇函数的图象关于原点成中心对称，故可画出另一侧图象；
（3）观察图象，在x轴上方的图象所对应的x的值的集合即为所求．
试题解析：
（1）设，则，
∴，
∵函数是定义在上的奇函数，
∴（），
∴
（2）函数的图象如图所示：
（3）方程的根是，，，所以由函数的图象可知不等式的解集为．
21. 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特
别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享
单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样
式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数，其中是新样式单车的月产量（单位：件），利润总收益总成本．
（1）试将自行车厂的利润元表示为月产量的函数；
（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当月产量件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．
【解析】试题分析：（1）根据利润总收益总成本写出利润与月产量的函数关系；（2）根据分段函数，分别求每段的最大值，分别利用二次函数和一次函数知识，注意自变量是自然数，
即可求出.
试题解析：
（1）依题设，总成本为，
则
（2）当时，，
则当时，；
当时，是减函数，
则，
所以，当月产量件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．
22. 已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）用单调性的定义证明为上的增函数；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）奇函数；（2）见解析；（3）．
【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；（2）利用单调性定义，作差后注意变形，分析差的正负即可；（3）由（1）（2）知函数是奇函数，在R上递增，转化为
，根据单调性可得对任意的恒成立，分类讨论即可求解．试题解析：
（1），∵，
∴是奇函数．
（2）任取，，且，则
，
∵，∴，
∵，
∴，即，∴在上是增函数．
（3）∵为奇函数且在上为增函数，
∴不等式化为，
∴对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
①时，不等式化为恒成立，符合题意；
②时，有即．
综上，的取值范围为．
点睛：本题全面考察了函数的奇偶性，单调性，图象，恒成立问题，属于中档题．涉及了利用奇偶性求函数的解析式，函数单调性的问题，二次函数分类讨论求函数的最小值，恒成立问题，恒成立问题一般要转化成最值问题，求函数最小值时，可根据函数的类型选用不同方法．。