电机控制的Clarke变换的等幅值变换和等功率变换

其中， e
2 j 3
4 2 j j 1 3 1 3 2 j 、 e 3 e 3 j ； x0 的方向与复平面 2 2 2 2
的实轴方向一致。所以有（1-2）式可表示为：
x0 k0 ( xa xb xc )
写出（1-1）式的实部与虚部如下：
( 1-3 )
C Cabc dq 0
cos 2 sin 3 1 2
2 2 ) cos( ) 3 3 2 2 sin( ) sin( ) 3 3 1 1 2 2 cos(
Cdq 0abc (Cabcdq0 )1 (Cabcdq0 )T
( 1-11 )
CClarke
1 2 0 3 1 2

1 2 3 2 1 2
1 2 3 2 1 2
2. 等功率 Clarke 变换
等功率矢量坐标变换必须要遵循如下原则: ( 1) 应遵循变换前后电流所产生的旋转磁场等效； ( 2) 应遵循变换前后两系统的电动机功率不变。 将原来坐标下的电压 u 和电流 i 变换为新坐标下的 u 和电流 i 。我们希望它们有相同的 变换矩阵 C ，因此有:
对比（1-9）式两端的 xa 和 x0 的系数可解得： k
( 1-9 )
2 1 、 k0 。 3 3
将实轴用 a 轴代替，虚轴用 b 轴代替，代入 k 、 k0 到（1-3） （1-4） （1-5）得到 Clarke 变换的等幅值变换形式：
2 1 2 1 1 x 3 [ xa 2 ( xb xc )] 3 xa 3 xb 3 xc 2 3 3 ( xb xc ) ( xb xc ) x 3 2 3 1 1 1 x0 3 xa 3 xb 3 xc
（2） abc 0 ：
CClarke Cabc 0
2 2 1 cos 0 cos( 3 ) cos( 3 ) 2 2 2 2 sin 0 sin( ) sin( ) 0 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2
求其 C 的逆阵 C 1 为:
k k k
( 2-14 )
0 1 2N2 1 3 1 C 3N3 2 2 3 1 2 － 2
2 N 2 N3 1 ； k 3 N 3 N 2 2k
可2k
式中，z'是变换后的阻抗矩阵，而它为
( 2-3 ) ( 2-4 )
z ' C 1 z C
T
为了满足功率不变的原则，在一个坐标下的电功率 i u u1i1 u2i2 unin 应该 等于另一坐标下的电功率 i ' u ' u1 ' i1 ' u2 ' i2 ' un ' in ' ，即
写为矩阵形式为：
( 1-10 )
1 x x 2 0 3 x0 1 2
即，等幅值的 Clarke 变换矩阵为：

1 2 3 2 1 2
1 2 xa 3 xb 2 x 1 c 2
1 2 i 1 i 2 i0 1 2
3. abc dq 变换整理（包含 Clarke 变换和 Park 变换）
3.1 恒幅值变换 （1） abc dq 0 ：
C Cabcdq 0
cos 2 sin 3 1 2
N 2i0 k ( N 3iA N 3iB N 3iC ) i0 N3 k iA iB iC N2
( 2-11 ))
式中，k 为待定系数。所以，式(2-10) 改写成:
1 1 1 2 2 iA i 3 3 i N 3 N 0 2 － 2 iB 2 i i0 k C k k
( 2-15 )
为了满足功率不变变换原则，有 C T C 1 。令式(2-14) 和式(2-15) 相等，则有:
N3 2 1 ，k N2 3 2
将式(2-16) 代入式(2- 13) 和式(2- 15) ，则得:
( 2-16 )
2 C 3
1 0 1 2
T
iT u iT ' u '
而
( 2-5 ) ( 2-6 ) ( 2-7 )
iT u Ci ' Cu ' iT ' C T Cu '
T
为了使式( 2-5) 与式(2- 6) 相同，必须有
C T C I 或 C T C 1
因此，变换矩阵 C 应该是一个正交矩阵。
1 T T T 在以上公式中， 其中 C 为 C 的逆阵; i 为 i 的转置矩阵; i ' 为 i 的转置矩阵; C 为 C
2 2 ) cos( ) 3 3 2 2 sin( ) sin( ) 3 3 1 1 2 2 cos(
1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 2 2
（2） abc 0 ：
N 3 3 i 3 ［0 iB－ iC］ N2 2 2
( 2-9 )
式中，N2、N3 分别表示三相电动机和两相电动机定子每相绕组的有效匝数。式(2-9) 用矩 阵表示，即
1 1 1 iA i N3 2 2 iB i 3 3 N 2 0 － iC 2 2
的转置矩阵; I 为单位矩阵; z 、 z 分别为阻抗矩阵; u，u'，i，i'分别为电压、电流列或行矩阵;
1 1 同时,依矩阵运算法则有: C C I ; Ci ' i ' C ; kC kC ; u Cu ， 则有 u C u 。
T
T
T
T
T
图 1 为定子三相电动机绕组 A、B、C 的磁势矢量和两相电动机绕组 、 的磁势矢 量的空间位置关系。其中选定 A 轴与 轴重合。根据矢量坐标变换原则，两者的磁场应该 完全等效，即合成磁势矢量分别在两个坐标系坐标轴上的投影应该相等，如图 1 所示。
CClarke Cabc 0
2 2 cos 0 cos( ) cos( ) 1 3 3 2 2 2 2 sin 0 sin( ) sin( ) 0 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2
式中，定义矩阵 C 为:
( 2-12 )
1 1 1 2 2 N3 3 3 C 0 － N2 2 2 k k k
其 C 的转置矩阵 C 为:
T
( 2-13 )
1 0 N 1 3 CT 3 N2 2 2 1 － 3 2 2

1 1 2 C 1 3 2 1 2
因此: Clarke 变换( 或 3 /2 变换) 式为:
1 1 2 2 3 3 － 2 2 1 1 2 2 1 0 2 3 1 2 2 3 1 － 2 2 1 1 2 2 iA 3 3 － iB 2 2 i 1 1 C 2 2
1 1 x 3 1 kx0 Re x k[ xa ( xb xc )] k[ xa ( 0 xa )] kxa 2 2 k0 2 2 k0
( 1-7 )
等幅值变换时，规定
Rex xa x0
代入（1-8）到（1-7）可得：
( 1-8 )
3 1 kx0 kxa xa x0 2 2 k0
1. 等幅值变换
在复平面上的矢量 v 总能够用互差 120 度的 abc 三轴系中的分量 xa 、 xb 、 xc 等效表 示（a 轴与复平面的实轴重合） ，如下所示（ x 和 x0 将合成矢量 v ） 。
x k ( xa xb 2 xc )
( 1-1 ) ( 1-2 )
x0 k0 ( xa xb xc )
( 2-17 )
( 2-18 )
i iA 2 i C iB 3 iC i0
1 0 1 2
( 2-19 )
Clarke 逆变换为：
0 1 i iA iA 3 i C 1C i C 1 i 2 1 B B 3 2 2 iC iC i0 1 3 － 2 2
（3） dq ：
cos sin CPark C dq sin cos cos sin 1 CPark Cdq sin cos
3.2 恒功率变换 （1） abc dq 0 ：
( 2-10 )
1 1 1 2 2 不是方阵，因此不能求逆阵。所以需要引进一个独立 i 和 i 的 转换矩阵 3 3 0 － 2 2 新变量 i0 ，称它为零轴电流。零轴是同时垂直于 和 轴的轴，因此形成 0 轴坐标
系。定义:
Re x k ( xa
1 1 1 xb xc ) k[ xa ( xb xc )] 2 2 2
3 ( xb xc ) 2
( 1-4 )
Im x k
由（1-3）式可得：
( 1-5 )
xb xc
代入（1-6）到（1-4）式中可得：
x0 xa k0
( 1-6 )
u Cu i Ci
1
( 2-1 ) ( 2-2 )
为了能实现逆变换，变换矩阵 C 必须存在逆矩阵 C ，因此变换矩阵 C 必须是方阵， 而且其行列式的值必须不等于零。因为 u zi ， z 是阻抗矩阵，所以
u ' C 1u C 1 zi C 1 z Ci ' z ' i '
Clarke 变换的等幅值变换和等功率变换
Collected by Jay Sur @SCUT 2016 永磁交流伺服电动机的定子磁场由定子的三相绕组的磁势( 或磁动势) 产生的， 根据电 动机旋转磁场理论可知， 向对称的三相绕组中通以对称的三相正弦电流时， 就会产生合成磁 势， 它是一个在空间以 ω 速度旋转的空间矢量。 如果用磁势或电流空间矢量来描述等效的 三相磁场、 两相磁场和旋转直流磁场， 并对它们进行坐标变换， 就称为矢量坐标变换。 Clarke 变换是三相平面坐标系 0ABC 向两相平面直角坐标系 0 的转换。

B
N 2i
N 3iB

N 3iA
N 2i
A
N 3iC
C
图 1 矢量坐标系
因此有：
N 2i N3iA N3iB cos120 N3iC cos(-120) N 2i 0 N3iB sin120 N3iC sin(－ 120)
也即:
( 2-8 )
i
N3 1 1 ［iA iB iC］ N2 2 2