注重基础，凸显思维，彰显能力——评析2022年高考抛物线试题

ʏ河南省许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟
2022年高考全国卷抛物线试题的命制,遵循‘普通高中数学课程标准(2017年版,2020年修订)“的基本要求,有如下特点:着重基础,强化对基础知识的考查;强化本质,
凸显思维的灵活性㊁深刻性;彰显能力,强化方法的综合性㊁探究性和创造性等,从而体现高考数学的选拔功能㊂
一㊁夯实基础,界定明确
2022年高考全国卷抛物线的命题,
突出对抛物线的基本概念㊁基本定理的考查,强调圆锥曲线间的内在联系,从而引导同学们形成学科的知识体系,命题具有 基础题送分到位,中档题多题把关,难题有效区分 的明确的界定㊂如此命题,有助于引导同学们在学习过程中注重数学知识的理解和思维能力的培养,从而夯实基础㊂
例1 ʌ2022年全国乙卷文数第6题ɔ
设F 为抛物线C :y 2
=4
x 的焦点,点A 在抛物线C 上,点B (3,0),若|A F |=|B F |
,则|A B |=( )
㊂A.2 B .22 C .3 D .32
思路点拨:由抛物线定义知,抛物线上的
点到焦点的距离和到准线的距离相等,可求得点A 的横坐标及点A 坐标,进而得到答案㊂
解析:由题意知,F (1,0),则|A F |=
|B F |=2,即点A 到准线x =-1的距离为2,所以点A 的横坐标为-1+2=1
㊂不妨设点A 在x 轴上方,代入得A (1
,2),所以|A B |=
(3-1)2+(0-2
)2
=22,选B
㊂评析:本题考查抛物线性质的简单应用
及距离公式的应用,是基础题㊂涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时,常相互转化㊂
例2 ʌ2022年新高考全国Ⅰ卷第11
题ɔ已知O 为坐标原点,点A (1,1
)在抛物线C :x 2
=2p y (p >0)上,过点B (0,-1)的直线交抛物线C 于P ,Q 两点,则( )
㊂A.抛物线C 的准线为y =-1
B .直线A B 与抛物线
C 相切
C .|O P |㊃|O Q |>|O A |
2
D .|B P |㊃|B Q |>|B A |
2
思路点拨:求出抛物线方程可判断选项
A ,联立直线A
B 与抛物线的方程求交点可判断选项B ,利用距离公式及弦长公式可判断选项
C ㊁
D ㊂
解析:将点A 的坐标代入抛物线方程得
1=2p ,所以抛物线方程为x 2=y ,故准线方程为y =-14,则A 错误㊂k A B =1-(-1)1-0
=2,所以直线A B 的方程为y =2x -1
,联立y =
2x -1,x 2
=y
, 可得x 2-2x +1=0,解得x =1,故B 正确㊂设过B 的直线为l ,若直线l 与y 轴重合,则直线l 与抛物线C 只有一个交点,
所以直线l 的斜率存在㊂不妨设其方程为y =k x -1,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立y =
k x -1,x 2
=y
,
得x 2-k x +1=0㊂知识篇 新高考名师护航 高二数学 2022年11月
所以Δ=k 2
-4>0,x 1+x 2=k ,x 1x 2=1,
则k >2或k <-2
,y 1y 2=(
x 1x 2)2
=1㊂|O P |=x 2
1+y 2
1=y 1+y 2
1,
|O Q |=x 2
2
+y 22
=y 2+y 22
㊂
所以|O P |㊃|O Q |=
y 1y 2(1+y 1)(1+y 2)=
k x 1ˑk x 2=
|k |>2=|O A |2
,
故C 正确㊂因为|B P |=
1+k 2
|
x 1|,|B Q |=1+k 2
|
x 2|,所以|B P |㊃|B Q |=(1+k 2)|x 1x 2|=1+k 2>5㊂而|B A |2
=5
,故D 正确㊂
故选B C D ㊂
评析:本题考查抛物线方程的求解㊁直线与抛物线位置关系的综合应用,同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用,考查运算求解能力,属于中档题㊂(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,
其关键是判断焦点位置㊁开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p ,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程㊂(2)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆㊁双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长㊁中点㊁距离等问题时,要注意 设而不求 整体代入 点差法 以及定义的灵活应用㊂
二㊁体现本质,凸显思维
2022年高考全国卷抛物线的命题,
试题稳定且适度创新;重视数学本质且突出对思维能力㊁运算求解能力等的考查;强化聚焦核心素养,加强教考衔接,引领教育改革,体现高考数学的科学选拔和育人导向作用㊂
例3 ʌ2022年新高考全国Ⅱ卷第10
题ɔ已知O 为坐标原点,过抛物线C :y 2
=
2p x (p >0)焦点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,其中A 在第一象限,点M (p ,
0),若|A F |=|A M |,则( )
㊂A.直线A B 的斜率为26
B .|O B |=|O F |
C .|A B |>4|O F |
D .øO A M +øO B M <180ʎ
思路点拨:由|A F |=|A M |及抛物线方
程求得A 3p 4,6p 2
,再由斜率公式可判断
A 选项;表示出直线A
B 的方程,联立抛物线方程求得B p 3,-6p 3
,即可求出|O B |,判断B 选项;由抛物线的定义求出|A B |=
25p 12
,即可判断C 选项;由O A ң㊃O B ң<0
,M A ң㊃M B ң<0,求得øA O B ,øA M B 为钝
角,即可判断D 选项㊂
解析:对于选项A ,易得F p 2
,0
,
由|A F |=|A M |可得点A 在F M 的垂直平分
线上,则A 点横坐标为p
2+p 2=
3p 4㊂
代入抛物线方程可得y 2=2p ㊃
3p
4=32
p 2,
则A 3p 4,6p 2
,直线A B 的斜率=6p
23p 4-p 2
=26,A 正确㊂
对于选项B ,由斜率为26可得直线A B
的方程为x =126
y +p
2,
联立抛物线方程得y 2
-16
p y -p 2
=0㊂设B (x 1,y 1)
,则62p +y 1=
66p ,y 1=-6p 3
㊂
代入抛物线得-6p 3
2
=2p ㊃x 1,解得x 1=
p 3
,
B p 3,-6p 3
,|O B |=p
3
2
+-6
p
3
2
=
7p 3ʂ|O F |=p
2
,
故B 错误㊂对于选项C ,由抛物线定义知,|A B |=
3p 4+p 3+p =25p 12
>2p =4|O F |,故C 正确㊂对于选项D ,O A ң㊃O B ң=3p 4,6p 2
㊃
知识篇 新高考名师护航 高二数学 2022年11月
p 3,-6p
3=
3p
4㊃p3+
6p
2㊃-
6p
3=
-3p24<0,则øA O B为钝角㊂又M Aң㊃M Bң=-p4,6p2㊃-2p3,-6p3=-p4㊃-2p3+6p2㊃-6p3=-5p26<0,则øA M B为钝角㊂又øA O B+øA M B+
øO A M+øO B M=360ʎ,则øO A M+øO B M<180ʎ,故D正确㊂
故选A C D㊂
评析:本题考查抛物线的几何性质,考查同学们的运算求解能力,是中档题㊂应用抛物线的几何性质解题时,常用数形结合方法进行解答,有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,则可直接使用公式|A B|=x1+x2+ p(焦点在x轴正半轴上);若不过焦点,则必须用弦长公式㊂
三㊁有效区分,彰显能力
2022年高考全国卷抛物线的命题设计,不仅重视同学们的思维过程㊁实践能力和创新意识,而且在试题难度上具有一定的层次性,在思维的灵活性㊁深刻性,在解题方法的综合性㊁探究性和创造性等方面具有一定的区分度㊂这些命题特征都体现了高考数学的选拔功能,也有利于同学们核心素养的养成和落实,能够给大家更广阔的思考空间㊁更多的思考角度以及基于自己认知水平的发现和探索解题方法的不同平台㊂
例4ʌ2022年全国甲卷理数第20题ɔ设抛物线C:y2=2p x(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交抛物线C于M,N两点㊂当直线MD垂直于x轴时, |M F|=3㊂
(1)求抛物线C的方程㊂
(2)设直线MD,N D与抛物线C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,A B的倾斜角分别为α,β㊂当α-β取得最大值时,求直线A B的方程㊂
思路点拨:(1)由抛物线的定义可得|M F|=p+p2,即可得解;(2)设出点的坐标
及直线MN:x=m y+1,由韦达定理及斜率公式可得k MN=2k A B,再由差角的正切公式
及基本不等式可得k A B=22,设直线A B:x =2y+n,结合韦达定理可求解㊂
解析:(1)抛物线的准线为x=-p2,当MD与x轴垂直时,点M的横坐标为p㊂此时|M F|=p+p2=3,解得p=2,抛物线C的方程为y2=4x㊂
(2)ʌ解法一ɔ(直线方程横截式)
设M
y21
4,y1,N
y22
4,y2,A
y23
4,y3, B y
24
4,y4,直线MN:x=m y+1㊂
由
x=m y+1,
y2=4x,可得y2-4m y-4=0
,Δ>0,y1y2=-4㊂
由斜率公式可得k MN=y1-y2
y21
4-
y22
4
=
4
y1+y2,k A B=
y3-y4
y23
4-
y24
4
=4
y3+y4㊂
直线MD:x=x1-2
y1
㊃y+2,代入抛物线方程可得y2-4
(x1-2)
y1
㊃y-8=0,Δ> 0,y1y3=-8,所以y3=2y2㊂
同理可得,y4=2y1㊂
所以k A B=4
y3+y4=
4
2(y1+y2)=
k MN
2㊂又因为直线MN㊁A B的倾斜角分别为α,β,所以k A B=t a nβ=k MN2=t a nα2㊂
若使α-β最大,则βɪ0,π2㊂
设k MN=2k A B=2k>0,则t a n(α-β)= t a nα-t a nβ
1+t a nαt a nβ=
k
1+2k2=
1
1
k+2k
ɤ1
21k㊃2k
=24,当且仅当1k=2k,即k=22知识篇新高考名师护航
高二数学2022年11月
时,等号成立㊂
所以当α-β最大时,k A B =2
2
㊂设直线A B :x =2y +
n ,代入抛物线方程可得y 2-42y -4n =0,Δ>0,y 3y 4=-4n =4y 1y 2=-1
6,所以n =4,直线A B :x =2y +
4㊂ʌ解法二ɔ(直线方程点斜式)
由题可知,直线MN 的斜率存在㊂设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),A (x 3,y 3)
,B (x 4,y 4),直线MN :y =
k (x -1)㊂由
y =k (x -1),y 2
=
4x ,
得k 2x 2-(2k 2
+4)x +k 2
=0,x 1+x 2=2+4
k
2,x 1x 2=1
㊂解得,y 1y 2=-
4㊂直线MD :y =
y 1
x 1-2(x -2),代入抛物线方程可得x 1x 3=4㊂同理,x 2x 4=4㊂代入抛物线方程可得y 1y 3=-8,所以y 3=2y 2㊂同理可得,y 4=2y 1㊂
由斜率公式可得k A B =
y 4-y 3
x 4-x 3
=
2(y 1-y 2)41x 2-1x 1
=y 2-y 12(x 2-x 1)=1
2k MN ㊂
(下同解法一)若要使α-β最大,
则βɪ0
,π
2
㊂设k MN =2k A B =2k >0,则t a n (α-β)=t a n α-t a n β
1+t a n αt a n β
=k 1+2k 2=11k
+2k ɤ1
2
1
k
㊃2k =
24,当且仅当1k =2k ,即k =22
时,等号成立㊂所以当α-β最大时,k A B =2
2
㊂设直线A B :x =2y +
n ,代入抛物线方程可得y 2-42y -4n =0,Δ>0,y 3y 4=-4n =4y 1y 2=-1
6,所以n =4,直线A B :x =2y +
4㊂ʌ解法三ɔ(三点共线)
设M y 2
14,y 1 ,N y 2
24,y 2
,A y 2
3
4
,y 3
,
B y 2
4
4,
y 4
㊂设P (t ,0),若P ㊁M ㊁N 三点共线,
由P M ң=
y 2
14-t ,y 1
,P N ң=
y 2
24-t ,
y 2
,可得y 2
1
4-t y 2
=y
22
4-t
y 1
,化简得y 1y 2
=-4t ㊂反之,若y 1y 2=-4t ,可得MN 过定点(t ,0)㊂因此,由M ㊁N ㊁F 三点共线,得y 1y 2=-4
㊂由M ㊁D ㊁A 三点共线,得y 1y 3=-8;由N ㊁D ㊁B 三点共线,得y 2y 4=-8㊂则y 3y 4=
-8y 1㊃-8
y 2
=-16,A B 过定点(4,0
)㊂(下同解法一)要使α-β最大,则βɪ
0,π
2
㊂设k MN
=2k A B =2k >0,则t a n (α-
β)=t a n α-t a n β
1+t a n αt a n β
=k 1+2k 2=11k
+2k ɤ1
2
1
k
㊃2k =
24,当且仅当1k =2k ,即k =22
时,等号成立㊂
所以当α-β最大时,k A B =2
2
,直线A B :x =2y +
4㊂评析:本题考查抛物线方程的求法,考查
直线与抛物线位置关系的应用,同时考查同学们运算求解能力,属难题㊂本题(2)的解法一,利用直线方程横截式,简化了联立方程的运算,通过寻找直线MN ,A B 的斜率关系,由基本不等式即可求出直线A B 的斜率,再根据韦达定理求出直线方程,是该题的最优解,也是通性通法;解法二,常规设直线方程点斜式,解题过程同解法一;解法三,通过设点由三点共线寻找纵坐标关系,快速找到直线A B 过定点,省去联立过程,不啻为一种简化运算的好方法㊂
(责任编辑 徐利杰)
知识篇 新高考名师护航 高二数学 2022年11月。