2019年肇庆市高中必修一数学上期中一模试题(及答案)

2019年肇庆市高中必修一数学上期中一模试题(及答案)
一、选择题
1．在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）
A ．1,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．13,24⎛⎫
⎪⎝⎭
2．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.
A ．20.3
0.3log 20.32<< B ．0.3
20.3log 22
0.3<<
C ．20.3
0.30.3log 22<<
D ．20.3
0.30.32log 2<<
3．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则
A ．{}01，
B ．{}101-，，
C ．{}012，，
D ．{}101
2-，，， 4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则
(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
5．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =U
A ．{}123,4，，
B ．{}123，，
C ．{}234，，
D ．{}13
4，， 6．设函数2
2,()6,x x x a
f x ax x a
⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）
A ．[)2,+∞
B ．[]0,3
C ．[]2,3
D ．[]
2,4
7．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log a
b 的大小关系为（ ）
A ．1log log b
a
b a
a b a b >>>
B ．1log log a
b
b a
b a b a >>>
C ．1log log b a
b a
a a
b b >>>
D ．1log log a b
b a
a b a b >>>
8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()
1(2)f x f x +=-
，且在()0,1上()3x
f x =，则()3lo
g 54f =（ ）
A ．
32
B ．23
-
C ．
23
D ．32
-
9．已知定义在R 上的函数()21()x m
f x m -=-为实数为偶函数,记
0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．c b a <<
10．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围
是( )
A ．(,2]-∞-
B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)-+∞
11．
函数y =
）
A ．(41)--，
B ．(41)-，
C ．(11)-，
D ．(11]
-， 12．三个数2
0.4
20.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．b c a <<
二、填空题
13．设函数()21
2
log ,0
log (),0x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是
__________．
14．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 15．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线1
2
x =
对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．
16．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫
++-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝ ． 17．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______． 18．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的
2
3,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13
. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）
19．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两
种都没买的有 人.
20．
函数()f x =________．
三、解答题
21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益
()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为1
8
万元，投资股票等风险型产品的收
益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大
收益，其最大收益为多少万元？
22．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．
（1）当[]02x ∈，
时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]
1
2，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
23．已知函数()()()
sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12
x π
=时，()f x 取得最大值4：当712
x π
=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 24．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?
25．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足
20.522,016
(){224,16
x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根
据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？
26．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”.
（1）分别判断下列函数：①y =2
1
1
x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论）
（2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围；
（3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x A
x x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪
⎝⎭
⎨
⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩
,利用零点存在定理可得结果. 【详解】
因为函数()43x
f x e x =+-在R 上连续单调递增，
且11
44
11
22114320
4411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭
⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
内，故选C. 【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】
∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算
4．C
解析：C 【解析】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,
因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，
(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，
选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
5．A
解析：A 【解析】
由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
画出函数2
2y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】
画出函数22y x x =--的图象如下图所示，
结合图象可得，要使函数()22,,
6,,
x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，
需满足22
226a a a a ≥⎧
⎨--≥-⎩
，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]
2,4． 故选D ． 【点睛】
解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．
7．D
解析：D 【解析】
因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以1
1a
>,1log 0a b <.
综上1log log a
b
b a
a b a b >>>；故选D.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -
+，且()()
3
31
log 21log 21f f +=--，
由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2
333log 211log 232
f f --=--=-=-，
据此可得：()()3312
log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32
-.
本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．B
解析：B 【解析】
由()f x 为偶函数得0m =,所以
0,52log 3
log 32
121312,a =-=-=-=2log 5
2
1514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,
故选B.
考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.
10．B
解析：B 【解析】
由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[
)2,+∞ 本题选择B 选项.
11．C
解析：C 【解析】
要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1
{41
x x >--<<，所以1 1.x -<<
故选C
12．B
解析：B 【解析】
20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.
二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??
【解析】 【分析】
【详解】
由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220
log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪
⇒⎨>⎪⎩或
11
a a a a
<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.
14．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握
解析：()
32f x x =+ 【解析】 【分析】
设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】
()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+
故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()
32f x x =+ 【点睛】
本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.
15．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称
解析：0 【解析】
试题分析：()y f x =的图像关于直线1
2
x =
对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，
(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.
考点：函数图象的中心对称和轴对称.
16．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7
解析：7 【解析】 【分析】 【详解】
设， 则，
因为11222⎛⎫⎛⎫
++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
f x f x ， 所以
，
,
故答案为7.
17．【解析】【分析】首先保证真数位置在上恒成立得到的范围要求再分和进行讨论由复合函数的单调性得到关于的不等式得到答案【详解】函数所以真数位置上的在上恒成立由一次函数保号性可知当时外层函数为减函数要使为减 解析：()1,2
【解析】 【分析】
首先保证真数位置20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，得到a 的范围要求，再分01a <<和
1a >进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于a 的不等式，得到答案.
【详解】
函数()()log 2a f x ax =-，
所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立， 由一次函数保号性可知，2a <，
当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，
要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数， 所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅， 当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，
要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数， 所以0a -<，即0a >，所以1a >， 综上可得a 的范围为()1,2. 故答案为()1,2. 【点睛】
本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.
18．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考
查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是
解析：68 【解析】
由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23
， 即25252233k
k a e
a e --⋅=
⇒=，则225ln 3
k -=， 设t
天后体积变为原来的
13
，即13kt V a e a -=⋅=，即13kt
e -=，则1ln 3kt -=
两式相除可得
2ln
2531ln
3
k kt -=-，即2lg
25lg 2lg30.3010.4771
30.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天
点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.
19．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没
买的有
人.或根据条件画出韦恩图：
(人).
考点：元素与集合的关系.
20．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题
解析：[2，+∞） 【解析】
分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为
[2,)+∞.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
三、解答题
21．（1）()1,()0)8f x x g x x =
=≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.
【解析】
【分析】 （1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；
（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解.
【详解】
（1）依题意设()1,()f x k x g x k ==，
1211(1),(1)82
f k
g k ====， ()1
,()0)8f x x g x x ==≥； （2）设投资股票等风险型产品为x 万元，
则投资债券等稳健型产品为20x -万元，
1
(20)()(20)8y f x g x x =-+=-
212)3,0208
x =-+≤≤Q ，
2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元，
20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，
投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.
【点睛】
本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.
22．（1）3
(0,1)(1,)2
U ； （2）不存在.
【解析】
【分析】
（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案；
（2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案．
【详解】
（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-，
因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数，
则满足()2320g a =->，解得32
a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2
U ．
（2）不存在，理由如下： 假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]1
2，上为减函数，并且最大值为1， 可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =
，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022
x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在．
【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题．
23．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ （2
）19t +< 【解析】
【分析】
（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；
（2）先确定23x π+
范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果. 【详解】
（1）解：由题意知74,
212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2π
πω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+ 当12x π
=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫
得2()62k k Z π
πϕπ+=+∈，，得23()k k Z π
ϕπ=+∈， ,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3π
ϕ，因此()4sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
（2）()()210h x f x t =+-=，即()12
t f x -= 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当232
x π
π+=时，4sin 42π=
要使()12t f x -=有两个根，则142
t -≤<，得19t +≤<
即实数t 的取值范围是19t +<
【点睛】
本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题. 24．（1）232100,020160,20
x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；（2）当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，分当20x ≤时和当20x >时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；
（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可．
【详解】
（1）由题意得：当20x ≤时，()223310032100y x x x x x =---=-+-，
当20x >时，260100160y x x =--=-，
故232100,020160,20
x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）； （2）当020x <≤时，()2
23210016156y x x x =-+-=--+，
当16x =时，156max y =，
而当20x >时，160140x -<，
故当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.
【点睛】
本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题.
25．（Ⅰ）20.51212,016(){21210,16
x x x f x x x -+-≤≤=-> ;（Ⅱ）12 . 【解析】
试题分析：（1）先求得()P x ，再由()()()f x Q x P x =-，由分段函数式可得所求；
（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.
试题解析：（1）由题意得()1210P x x =+
∴()()()20.51212,016{21210,16
x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> . （2）当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元
当016x ≤≤时，函数()()2
0.51260f x x =--+
当12x =时，()f x 有最大值60万元
所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 .
【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).
26．（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”.（2）（0，+∞）（3）A =[0，+∞），B =（-∞，0）
【解析】
【分析】
（1）直接利用信息判断结果；
（2）利用信息的应用求出参数的取值范围；
（3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果.
【详解】
（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”；
（2）∵f （-x ）=-x -x 2+a ，
-f （x ）=-x +x 2-a ，f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，
∴f （-x ）=-f （x ）无实数解，
即x 2+a =0无实数解，
∴a ＞0，
∴a 的取值范围为（0，+∞）；
（3）对任意的x ≠0，
若x ∈A 且-x ∈A ，则-x ≠x ，f （-x ）=f （x ），与f （x ）在R 上单调增矛盾，舍去； 若x ∈B 且-x ∈B ，f （-x ）=-f （x ），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去；
∴对任意的x ≠0，x 与-x 恰有一个属于A ，另一个属于B ，
∴（0，+∞）⊆A，（-∞，0）⊆B，
假设0∈B，则f（-0）=-f（0），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；
∴0∈A，
经检验，A=[0，+∞），B=（-∞，0）符合题意.
【点睛】
本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.。