江苏省淮安市淮阴区淮阴中学2022年高一数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

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故选A
5、A
【解析】利用对数的性质,比较a,b的大小,将b,c与1进行比较,即可得出答案
【详解】令 ,结合对数函数性质,单调递减, , , .
【点睛】本道题考查了对数、指数比较大小问题,结合相应性质,即可得出答案
6、A
【解析】特称命题的否定是全称命题,并将结论否定,即可得答案.
【详解】命题“ , ”的否定为“ , ”.
12.若 ,则实数 ____________.
13.已知 为角 终边上一点,且 ,则 ______
14.当 时,函数 取得最大值,则 ___________.
15.已知 在同一平面内, 为锐角,则实数 组成的集合为_________
16.已知直线 与直线 的倾斜角分别为 和 ,则直线 与 的交点坐标为__________
故选:A.
【点睛】本题考查特称命题的否定的书写,是基础题.
7、D
【解析】由图可得 ,由选项即可判断.
【详解】解:由图可知: ,

由选项可知: ,
故选:D.
8、C
【解析】将方程转化为函数 的零点问题,根据函数单调性判断零点所处区间即可.
【详解】函数 在 上单增,
由 , 知,
函数 的根处在 里,
故选:C
若选:从98℃下降到80℃所用时间:4分57秒,即 分,
所以 .
【小问2详解】
结合(1)可知: ,
依题意 ,
.
所以大约冷却 分钟.
(2)由 分离参数得 ,利用换元法得出 的最小值,即可得出a的取值范围
【小问1详解】
因为 是偶函数,所以 ,
即 ,故
【小问2详解】
由题意知 在 上恒成立,
则 ,又因为 ,所以 ,
则 .令 ,则 ,
可得 ,
又因为 ,当且仅当 时,等号成立,所以 ,即a的取值范围是
21、(1) ;
(2)大约冷却 分钟,理由见解析.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
11、①. ②.
【解析】(1)由题意得
(2)∵ 与 的夹角为钝角,
∴ ,解得
又当 时,向量 , 共线反向,满足 ,但此时向量的夹角不是钝角,故 不合题意
综上 的取值范围是
答案: ;
12、5##
【解析】根据题中条件,由元素与集合之间的关系,得到 求解,即可得出结果.
三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(附加题,本小题满分10分,该题计入总分)
已知函数 ,若在区间 内有且仅有一个 ,使得 成立,则称函数 具有性质
(1)若 ,判断 是否具有性质 ,说明理由;
(2)若函数 具有性质 ,试求实数 的取值范围
18.函数 的定义域 且 ,对定义域D内任意两个实数 , ,都有 成立
A B.
C. D.
4.过点 且平行于直线 的直线方程为
A. B.
C. D.
5.已知 , , ,则 的大小关系为
A B.
C. D.
6.命题“ , ”的否定为
A. , B. ,
C. , D. ,
7.已知集合 ,集合 与 的关系如图所示,则集合 可能是()
A. B.
C. D.
8.方程 的解所在的区间为()
A. B.
C. D.
9.在同一坐标系中,函数 与 大致图象是()
A. B.
C. D.
10.已知 ,且 ,则 的最小值为()
A.3B.4
C.5D.6
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
11.设平面向量 , ,则 __________.若 与 的夹角为钝角,则 的取值范围是__________
试题解析:(Ⅰ) 具有性质
依题意,若存在 ,使 ,则 时有 ,即 , , .由于 ,所以 .又因为区间 内有且仅有一个 ,使 成立,所以 具有性质 5分
(Ⅱ)依题意,若函数 具有性质 ,即方程 在 上有且只有一个实根
设 ,即 在 上有且只有一个零点
解法一:
(1)当 时,即 时,可得 在 上为增函数,
【详解】 (其中 , ),
当 时,函数 取得最大值
∴ , ,即 , ,
所以 , .
故答案为: .
15、
【解析】分析:根据夹角为锐角得向量数量积大于零且向量不共线,解得实数 组成的集合.
详解:因为 为锐角,所以 且 不共线,
所以
因此实数 组成的集合为 ,
点睛:向量夹角为锐角的充要条件为向量数量积大于零且向量不共线,向量夹角为钝角的充要条件为向量数量积小于零且向量不共线.
【详解】因为 ,
所以 ,解得 .
故答案为: .
13、 ##
【解析】利用三角函数定义可得: ,即可求得: ,再利用角 的正弦、余弦定义计算得解
【详解】由三角函数定义可得: ,解得: ,则 ,
所以 , ,
.
故答案为: .
14、 ##
【解析】由辅助角公式,正弦函数的性质求出 , ,再根据两角和的正切和公式,诱导公式求 .
从98℃下降到90℃所用时间
1分58秒
从98℃下降到85℃所用时间
3分24秒
从98℃下降到80℃所用时间
4分57秒
(1)请依照牛顿冷却模型写出冷却时间 (单位:分)关于冷却水温 (单位:℃) 函数关系,并选取一组数据求出相应的 值(精确到0.01).
(2)“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮,口感最佳.在(1)的条件下, 水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却___________分钟左右冲泡,请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上,并说明理由.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的
1.设 为 的边 的中点, 为 内一点,且满足 ,则 ()
A. B.
C. D.
2. 的值是
A. B.
C. D.
3.已知函数 满足对任意实数 ,都有 成立,则 的取值范围是()
(2)由正方形性质和线面垂直性质可证得 , ,由线面垂直的判定可得 平面 ,由 可得结论.
【小问1详解】
分别为 的中点, , ,
且 , 四边形 为平行四边形, ,
又 平面 , 平面 , 平面 .
【小问2详解】
四边形 为正方形, ;
平面 , 平面 , ,
又 , 平面 ,
20、(1)0(2)
【解析】(1)由偶函数的定义得出a的值;
(2)证明函数在 上单调递增,在 上单调递减,得到 ,结合定义域得到答案.
(3)根据函数单调性和奇偶性得到 ,考虑 , , 三种情况,得到函数的最值,解不等式得到答案.
【小问1详解】
取 得到 ,得到 ,
取 得到 ,得到 ,
取 得到 ,即 ,故函数为偶函数.
【小问2详解】
设 ,
则 ,
,故 ,即 ,函数单调递减.
A.5 B.7 C.10
(参考数据: , , , , )
参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据 ,确定 点的位置;再根据面积公式,即可求得结果.
【详解】如图取得点 ,使得
四边形 为平行四边形,

故选:C.
【点睛】本题考查平面向量的基本定理,以及三角形的面积公式,属综合中档题.
【解析】(1)根据 求得冷却时间 (单位:分)关于冷却水温 (单位:℃)的函数关系,结合对数运算求得 .
(2)根据(1)中的函数关系式列方程,由此求得冷却时间.
【小问1详解】
依题意 , , ,
, ,
, .
,依题意 ,
则 .
若选:从98℃下降到90℃所用时间:1分58秒,即 分,

若选:从98℃下降到85℃所用时间:3分24秒,即 分,
故选:C
【点睛】利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方
9、B
【解析】根据题意,结合对数函数与指数函数的性质,即可得出结果.
【详解】由指数函数与对数函数的单调性知: 在 上单调递增, 在 上单调递增,只有B满足.
故选:B.
10、C
【解析】依题意可得 ,则 ,再利用基本不等式计算可得;
【详解】解:因为 且 ,所以 ,所以
当且仅当 ,即 , 时取等号;
所以 的最小值为
解法二:
依题意,
(1)由 得, ,解得 或
同时需要考虑以下三种情况:
(2)由 解得
(3)由 解得 不等式组无解
(4)由 解得 解得
综上所述,若函数 具有性质 ,实数 的取值范围是 或
或 14分
考点:1.零点存在定理;2.分类讨论的思想
18、(1) ,证明见解析
(2)
(3)
【解析】(1)取 得到 ,取 得到 ,取 得到 ,得到答案.
16、
【解析】因为直线 与直线 的倾斜角分别为 和 ,所以 ,联立 与 可得, ,直线 与 的交点坐标为 ,故答案为 .
三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(Ⅰ) 具有性质 ;(Ⅱ) 或 或
【解析】(Ⅰ) 具有性质 .若存在 ,使得 ,解方程求出方程的根,即可证得;(Ⅱ)依题意,若函数 具有性质 ,即方程 在 上有且只有一个实根.设 ,即 在 上有且只有一个零点.讨论 的取值范围,结合零点存在定理,即可得到 的范围
2、B
【解析】利用诱导公式求解.
【详解】解:由诱导公式得 ,
故选:B.
3、C
【解析】易知函数 在R上递增,由 求解.
【详解】因为函数 满足对任意实数 ,都有 成立,
所以函数 在R上递增,
所以 ,
解得 ,
故选:C
4、A
【解析】解析:设与直线 平行 直线方程为 ,
把点 代入可得 ,所以所求直线的方程为 ,
(1)求 的值并证明 为偶函数;
19.如图,在正方体 中,点 分别是棱 的中点.求证:
(1) 平面 ;
(2) 平面
20.已知函数
(1)若 是偶函数,求a 值;
(2)若对任意 ,不等式 恒成立,求a的取值范围
21.中国茶文化博大精深,小明在茶艺选修课中了解到,不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别,达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温,小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型:如果物体的初始温度是 ,环境温度是 ,则经过时间 (单位:分)后物体温度 将满足: ,其中 为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到 初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示:
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
函数为偶函数,故函数在 上单调递增.
,故 ,且 ,解得 .
【小问3详解】

根据(2)知: , , 恒成立,
故 , ,
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,
当 ,即 时等号成立, ,故 .
综上所述: ,解得 , ,故 .
19、(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)易证得四边形 为平行四边形,可知 ,由线面平行的判定可得结论;
只需 解得 交集得
(2)当 时,即 时,若使函数 在 上有且只有一个零点,需考虑以下3种情况:
(ⅰ) 时, 在 上有且只有一个零点,符合题意
(ⅱ)当 即 时,需 解得 交集得
(ⅲ)当 时,即 时,需 解得 交集得
(3)当 时,即 时,可得 在 上为减函数
只需 解得 交集得
综上所述,若函数 具有性质 ,实数 的取值范围是 或 或 14分
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