多属性密封拍卖模型及最优投标策略研究

文章编号：2009-0484 论文修改时间：2009-10-11
多属性密封拍卖模型及最优投标策略研究1
孙亚辉, 冯玉强
（哈尔滨工业大学管理学院，黑龙江哈尔滨 150001）
摘要：在电子商务中，越来越多的企业采用逆向拍卖进行电子采购。

针对当前传统的基于单一价格属性的逆向拍卖
机制已难以满足企业日益复杂的采购需求的现状，研究采购环境下的多属性密封拍卖机制。

首先，在指出现有多属性
拍卖模型缺陷的基础上，提出了更符合现实需求的改进多属性拍卖模型。

然后运用多属性效用理论，进一步研究了密
封拍卖机制下投标人的最优投标策略，特别地，证明了投标人非价格属性确定的一个重要推论。

最后，对模型参数对
最优投标策略的影响进行了分析。

关键词：电子商务；多属性效用；多属性拍卖；投标策略
中图分类号：F724.59 文献标识码：A
Multi-attribute sealed-bid auction model and optimal bidding strategies
SUN Ya-hui1，FENG Yu-qiang1
(1. School of Management, Harbin Institute of Technology, Harbin, 150001, China)
Abstract：Today more and more enterprises procured the goods and services based on reverse auction mechanisms. But the traditional price-based single attribute auction mechanisms had not satisfied the practical demand. In view of this situation, we studied the multi-attribute sealed-bid auction mechanism in procurement environment. First, we proposed an improved multi-attribute auction model based on the limitation of the existed models, and then we further studied the bidders’ optimal bidding strategies in sealed-bid auction mechanism based on multi-attribute utility theory (MAUT). In particular, we proved an important inference which can be used to determine the non-price attributes. At last, we analyzed the influence of the model parameters on the optimal bidding strategies.
Key words：E-Commerce; multi-attribute utility; multi-attribute auction; bidding strategy
0 引言
拍卖作为一种价格发现与资源分配机制，在电子商务的许多领域都得到了广泛的应用。

在B2B电子商务模式中，越来越多的企业采用逆向拍卖机制进行电子采购。

但目前大部分机制都是基于传统的单一价格拍卖，没有考虑其他非价格属性（如质量、交货期、服务条款等）对拍卖结果的影响，这已严重制约了拍卖在电子商务中的进一步应用[1]。

多属性拍卖由于能够分别提高买卖双方的收益而引起了众多学者的关注[2][3]。

Bichler将多属性拍卖定义为：拍卖人与投标人交易时考虑到多个属性的一种拍卖模式，即双方在价格及其他属性上进行谈判博弈的拍卖模式[2]。

由于引入了价格以外的其他多个属性，因此多属性拍卖在机制设计与投标人策略上与传统单一价格拍卖都不相同，需要重新研究考虑。

早期先由Che提出了一个二维多属性拍卖模型，并基于该模型研究了密封拍卖机制下的几种变形拍卖协议[4]；Branco在Che的基础上，进一步研究了投标人成本关联对于拍卖结果的影响[5]；Parks和Kalagnanam 利用线性规划方法研究了多轮次多属性拍卖[6]。

David对多属性拍卖进行了比较系统地研究[7][8][9]。

特别的，近期David在《Decision Support Systems》上发表的一篇论文，研究了更普遍意义上的多属性拍卖，但其
收稿日期：2009-03-14
基金日期：国家自然科学基金资助（70572023）；黑龙江省自然科学基金重点项目资助（ZD200803-01）
作者简介：孙亚辉(1979-)，男，博士研究生；冯玉强(1951-)，女，教授，博士生导师。

模型假设存在一些缺陷[9]。

除了上述理论研究外，Bichler 和Chen-Ritzo [2][3]分别用实验经济学的方法，对多属性拍卖和单一价格拍卖进行了比较，得出了多属性拍卖能分别提高买卖双方效用的结论。

本文在David 研究的基础上，提出一个改进的多属性拍卖模型，并基于该模型进一步研究密封拍卖机制下投标人的最优投标策略。

1 多属性拍卖模型
1.1 多属性拍卖描述性模型
我们先给出一个多属性拍卖的描述性模型，然后在给定假设的前提下建立更为具体的数学模型。

多属性拍卖模型可表述如下：
(),,,,,,,b s M P I A S U U B R =
其中：
（1）P 是拍卖中惟一的拍卖人（买方），拍卖人采购一项不可分的物品；
（2）I 是拍卖中的投标人（卖方）集合，包含n 个投标人()2n ≥，{}1,2,,I n = ，每个投标人依据评分规则S 提交不同属性配置的标。

同时需要注意的是，与B2C 和C2C 拍卖模型不同，采购环境下的多属性拍卖模型中投标人的个数一般都是拍卖前已经确定的；
（3）A 是属性空间，01m A A A A =⨯⨯⨯ ，拍卖物品包含
1m +个属性：价格属性p ，非价格属性1,,m q q ，其中0p A ∈，11,,m m q A q A ∈∈ ，()12,,,m q q q 为拍卖物品的非价格属性配置向量；
（4）S 是拍卖人设定的评分规则，买方通过评分规则描述他所需要的物品的特征，并通过评分规则对卖方所提交的标进行计算以确定最后的赢家；
（5）b U 和s U 分别是买卖双方的效用函数，反映了各自对于拍卖物品的偏好； （6）B 是投标人所投标的集合，B 中的一个实例b 是由所提交的标的价格p 和一实例化的非价格属性配置向量构成，即()1,,,m b p q q = ；
显然，买卖双方的效用b U 和s U 是关于投标b 的函数。

对于买方，引入估值函数()1,,b m V q q ，则买方获得的效用可表示为：()1,,b b m U p V q q =-+ ；对于卖方i ，引入成本函数()1,,,si m i C q q θ ，则投标人i 的效用函数可表示为：()1,,,si si m i U p C q q θ=- ，(1,,)i n = ，这里i θ为投标人i 的成本参数，表示其生产成本水平；i θ为投标人的私有信息，每个卖方都知道其成本参数i θ，而买方仅知道卖方成本参数的分布函数()F θ。

1.2 具体数学模型
为了建立更为精确的、便于分析计算的数学模型，我们做如下假设，并对假设的合理性进行分析。

假设1 买卖双方都是风险中性的，且对于拍卖物品的各个属性是相互偏好独立的。

假设2 对任意属性i q ，买方效用是递增的，边际效用是非递增的，即/0b i U q ∂∂>，22/0b i U q ∂∂≤；卖方的生产成本是递增的，边际生产成本性是非递减的，也即/0si i C q ∂∂>，22/0si i C q ∂∂≥。

假设3卖方的成本参数i θ在[,]θθ（0θθ<<<∞）上独立且服从同一分布函数()F θ，其中()0F θ=，()1F θ=，且()F θ存在连续可微的概率密度函数()f θ。

根据多属性效用理论，假设1使我们有可能分别构造出买方与卖方的加性效用函数[10]；假设2是对David 多属性拍卖模型的进一步拓展，更加符合实际情况。

例如，在给定其他属性变量不变的情况下，对于质量属性，质量越高，买方的效用也大，但带给买方的边际效用却是递减的，即随着质量的提高，买方效用的增长速度是逐渐降低的；同样，质量越高，卖方的生产成本越高，且随着质量的提高，卖方的边际生产成本是递增的，即造成卖方生产成本的急剧增加。

假设2还隐含着一个前提条件，即模型里的属性都是效益型属性，但实际当中存在着许多成本型属性，例如交货期（交货期越短，买方的效用越大，而卖方的成本越大），对此我们可运用David [9]或Chen-Rizto [3]的方法进行预处理，例如取该属性的倒数，使其变
成效益型属性。

假设3类似于传统单一价格拍卖机制中投标人的保留值假设，这一假设在拍卖研究文献中广为使用。

假设3意味着投标人之间是对称的，即从买方的角度来看，由于不知道投标人的确切成本参数，投标人i 和投标人j 是没有区别的，因此我们在接下来的分析当中略去脚标i 。

下面我们给出满足上述假设的具体数学模型。

1.2.1 买方的效用函数
在给定上述假设下，买方的效用函数可表示为：
()11,,,i m
s b m i i i U p q q p W q ==-+∑ （1）
这里i W 为买方赋予属性i q 的权重，表示买方对属性i q 的偏好程度，注意这里的i W 可大于1也可小于1；01i s <≤，以保证买方对属性i q 的边际效用是非递增的。

1.2.2 卖方的效用函数
卖方的效用函数可表示为：
()11,,,,i m k s m i i i U p q q p a q θθ=⎛⎫=- ⎪⎝⎭
∑ （2） 这里[,]θθθ∈为卖方的成本参数，服从概率分布()F θ；i a 为卖方赋予属性i q 的成本系数；根据假设3，卖方之间是对称的，故所有卖方具有相同的成本结构，即所有的卖方具有相同的成本系数i a 和指数i k ，
1i k ≥，以保证卖方对属性i q 的边际成本是非递减的。

()11,,,i m k s m i i i C q q a q θθ=⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑ 为卖方的成本函数。

1.2.3 评分规则
评分规则（或称评分函数）是买方在拍卖开始前向所有卖方公布的用以评选最优标的函数，由于是由买方设计的，因此买方有可能偏离其真实效用函数以最大化其收益，即买方赋予属性的权重与效用函数相比有可能不同，也即：
11(,,,)i m
s m i i i S p q q p w q ==-+∑ （3）
其中11(,,)i m
s m i i i V q q w q ==
∑ 称为买方的估值函数。

1.2.4 模型的改进 与我们这里的效用函数不同，David
将买方效用函数定义为：11(,,,)m b m i U p q q p W
==-+∑ 然满足了买方边际效用递减的条件，但所有的1/2(1,,)i s i m == ，失之一般性；将卖方效用函数定义为：
11(,,,,)m s m i i i U p q q p a q θθ=⎛⎫=- ⎪⎝⎭
∑ ，即所有的1i k =，不符合实际中某些属性边际生产成本递增的事实。

因此，与David 的模型相比，我们的模型更符合于现实，且具有更广泛的适用性。

2 投标人最优投标策略
在给定上述具体数学模型后，我们研究多属性密封拍卖协议下投标人的最优投标策略。

类似于传统的首价密封拍卖和次价密封拍卖，多属性密封拍卖可分为第一得分拍卖（fist-score auction ）和第二得分拍卖（second-score auction ），这两种拍卖协议的区别在于投标人的支付规则不同[1]。

2.1 投标人最优非价格属性确定
投标人在多属性拍卖中面临着如何投标以最大化其期望效用的决策问题。

我们这里假定投标人都是经济理性的，为了确定最优非价格属性，我们引入多属性拍卖中一个非常重要的定理，进而基于我们的模型给出该定理的一个重要推论。

定理1 给定多属性拍卖评分规则和卖方效用函数，在假设1成立时，使得卖方效用最大化的非价格属性的选择独立于价格属性和卖方对其竞争对手的信念，且最优非价格属性值为：
{}*11()arg max (,,)(,,,)i
i m s m q q V q q C q q θθ=- ， 其中[,]θθθ∈。

（定理证明参见文献[8]）
定理1对于求解多属性拍卖投标人最优投标策略非常关键，由于非价格属性的选择与价格属性选择是独立的，通过先求解最优的非价格属性，本质上将多属性拍卖转化为传统的单属性拍卖。

定理1对密封拍卖和公开拍卖都是成立的，同时我们注意到，如果买方将其真实效用函数作为评分规则，则拍卖双方的总效用，即系统的总福利为：()()11,,,,,b s m s m Q U U V q q C q q θ=+=- ，也即是说投标人在最大化其期望效用的同时，使得系统的总福利达到最大，系统的总福利与拍卖成交价格无关。

令
()()1111,,,,,i i m
m s k m s m i i i i i i W V q q C q q w q a q θθ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑ （4）
由定理1，使得W 取得最大值的最优非价格属性()*i q θ应满足：
()()*11**/|0i i i s k i i i i i i i q W q w s q a k q θ--∂∂=-=
求解上式，可得：
()1*i i k s i i i i i w s q a k θθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ （5）
（5）式中1,,i n = ，且i i s k ≠，即i s 与i k 至少有一个不等于1。

如果某一属性()j q θ对买卖双方效用来说都是线性的，即1j j s k ==，则无法应用（5）式求得最优非价格属性值，为此对定理1我们有如下推论。

推论1 给定多属性拍卖评分规则和卖方效用函数，满足假设1，则对于买卖双方效用都是线性的非价格属性()j q θ，其最优属性值为：
*
()[,]j j j j j j q q q q q q θ⎧⎪=∀∈⎨⎪⎩
000j j j j j j w a w a w a θθθ->-=-< （6）
证明：对 i i s k ≠的属性，我们用脚标Λ表示，设共有l 个；对i i s k =的属性，用脚标∆表示，设共有k 个，显然k l m +=，则函数式（4）可重新表示为：
1111111
()i i i i l l k k l l k s k s k i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i W w q
a q w q a q w q a q w a q θθθθΛΛΛΛΛΛΛΛ∆∆∆∆ΛΛΛΛ∆∆∆=======⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑ 由于所有属性之间是相互独立的，对于i i s k ≠的属性，仍然可以用式（5）求得最优值；对每一个i i s k =的属性，显然在()i i i w a q θ∆∆∆-取得最大值时，W 达到最大，这里[,]i i i q q q ∆∆∆∈为买方设定的属性值区间。

因此，当0j j w a θ->时，*i i q q ∆∆=；当0j j w a θ-<时，*i i q q ∆∆=；当0j j w a θ-=，*i q ∆取[,]i i q q ∆∆区
间的任何值都是最优的。

证毕。

由式（5）（6）我们可以求得所有非价格属性的最优值。

2.2 投标人最优投标价格确定
在确定下来投标人的最优非价格属性值后，我们利用Che 的方法[4]计算多属性密封第一得分拍卖（fisrt-score auction ）和第二得分拍卖（second-score auction ）机制下投标人的最优报价。

第一得分拍卖机制下的投标人最优报价为：
()()()()()()()()()1*****111,,,,,,1n s m s m F t p C q q C q t q t t dt F θθθθθθθθ-⎡⎤-=+⎢⎥-⎣⎦
⎰ （7） 其中()s s C C θθ
∂=∂ 。

将式（5）（6）求得的最优非价格属性值代入式（7），给定成本参数θ的分布()F θ，即可求得第
一得分拍卖机制下投标人的最优报价。

第二得分拍卖机制下的投标人最优报价为： ()()()()***1,,,s m p C q q θθθθ= （8）
3 最优投标策略分析
在多属性拍卖中，投标人在确定最优投标策略时，可先确定非价格属性的最优值，然后再确定最优投标价格。

由式（5）可以看到，对于买卖双方效用不都是线性（即i i s k ≠）的属性，其最优值随卖方的成本参数的增大而变小，也即是说，供应商的成本水平越高，他所提供的最优非价格属性标值越小，相应的为了保证中标，报价也会随之降低；反之，供应商的成本水平越低，则最优非价格属性越高，相应报价也随之提高。

由式（6）可以看出，对于买卖双方效用都是线性的非价格属性，最优值随买卖双方属性效用权重差值()i i w a θ-的正负而不同。

在经典拍卖理论中，首价密封拍卖的最优报价取决于投标人的估值及其分布，次价密封拍卖投标人的最优报价为其真实估值。

由式（7）（8）式可以看出，与传统密封拍卖类似，第一得分拍卖中的最优报价不仅取决于卖方的成本（相当于首价密封拍卖中的估价保留值），且与卖方对其竞争对手的成本参数分布估计（首价密封拍卖中的保留值分布）有关。

同样的，第二得分拍卖中投标人的最优报价为其真实的实际生产成本，而与成本参数分布无关。

4 结论
多属性拍卖是当前拍卖理论研究的一大热点。

现有的研究存在着模型假设过强，难以满足现实需求的局限。

通过研究分析，我们得到以下结论：
1）对现有多属性拍卖模型不符合现实情况的假设进行修正，提出了一种改进地更具普遍性的多属性拍卖模型；
2）对该模型在密封拍卖机制下最优投标策略进行分析，证明了多属性拍卖中投标人非价格属性最优值确定一个重要推论，发现对买卖双方效用都是线性的非价格属性，其最优值随买卖双方属性权重差值的正负而不同；
3）与传统的单一价格拍卖投标策略相比较，多属性拍卖中投标人的最优报价的确定与传统拍卖报价策略在结构上具有一致性。

在该研究的基础上，未来需要进一步放松模型假设，研究不对称投标人的最优投标策略的确定及风险厌恶对于最优投标策略的影响等。

参考文献
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