反证法在初中数学解题中的应用探讨

困题新解
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反证法在初中数学解题中的应用探讨
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赵建武
数学学科是初中教学的基础学科，在数学学科的教学和学习过程中，有许多数学解题的方法，可以帮助学生来进行解题，反证法就是常见的一种，对于一些数学题目，运用反证法来进行解答，可以简化解题过程，提高解题效率，增加解题的正确率，同时对于学生的数学逻辑思维能力的培养，也有益处。

因此，反证法是初中数学常用的解题方法，需要教师在教学过程中，针对反证法的教学进行一定的研究探讨，以帮助初中学社工切实掌握这一解题方法的要点，使学生在进行解题时能够灵活运用反证法。

反证法是初中数学常见的解题方法之一，也是一种数学学习的思维，一般来说，反证法的解题思路是先确定一个结论，再将结论否定，以此为基础，进行一步一步的论证，根据题目中的命题和一定的推理原则得出与原本题目给出的设定相矛盾的结论，以此来证明原设结论的正确性，最终得出正确的答案。

这种解题思路并不需要直接根据已有命题进行证明，而是通过一种否定结论，得出矛盾的方式，来证明解结论的正确，属于间接证明的一种。

反证法的应用可以让学生更快的抓住解题重点，解题过程也更加的简化、明了，是一种很好的解题方法。

同时，这种方法是基于逆向思维来进行的，在具体的解题应用中，也可以培养学生的逆向思维，同时提高学生解决数学问题的能力。

一、反证法的定义及理论依据
1、反证法的定义
一般来说，反证法的基本理念为，“在否定了原命题（真命题）后，找出必要的矛盾，就可以证明原命题（真命题）”。

也就是说，对某一命题需要进行证明时，首先要进行一个假设，即假设该命题的对立面是成立的，接着利用已知条件和推理原则，以假设为基础，对命题的对立面进行推理，最终得出两个矛盾的结论，或者最终的结果与我们学习的定义、定理、公理、题目所给的已知条件相矛盾，则可以说明原本的假设不能成立，即命题的对立面不成立，这也就证明了原命题是一定可以成立的。

这种逆向思维的证明思路，就是反证法，也可以用八个字进行总结，即“否定结论，寻找矛盾。

”
2、反证法的理论依据
反证法的理论依据有两个，排中律和矛盾律，这两个重要理论依据的概念有所区别。

矛盾律是指，在同一个证明过程中，如果出现了两个相互对立的结论，则这两个结论不可能同时成立，至少有一个是错误的。

排中律则是指，对于同一个命题，只存在两种可能，要么是真的，要么是假的，不会再有其他的结果。

排中律对于思维的要求是，需要思维具有明确性和清晰性，排中律具有的重要特点是，不仅是思维逻辑清晰明了，同时对于立场也要坚定。

对于反证法的两大理论依据来说，矛盾律和排中律既有相同点，也有不同点，相同之处是指两者都不能存在逻辑矛盾，如果违背了排中律，那么一定也不符合矛盾律，同样的，违背了矛盾律，也就违背了排中律。

两者也有不同之处，具体表现为，矛盾律表示，两个结论处于对立时，则一个结论是注定不成立的，而排中律表示，在两个相互否定的结论中，有一个结论是注定正确的。

二、反证法的解题步骤
在初中数学的学习阶段应用反证法解决问题，可以归纳为三个步骤，首先是反设，其次是归谬，最后是结论，这三个步骤是一个整体的解题思路和逻辑，三者相互依存，不可分割。

首先，第一步是反设，这是反证法运用的基础，在运用反证法进行数学证明时，反证使解题的依据，反证的设立是否正确，将会直接影响解题的逐步过程和最终结果，在进行反设要依据题目给出的条件和结论来进行，分析好题目要求的结论，根据该结论，找出与结论相反的假设，要求没有重复和遗漏，在经过论证后，对假设否定，也存在假设肯定的情况，这样可以完成反设的部分。

在进行反设时，可以引导学生灵活掌握常见的几对否定词，以帮助学生能够更加准确的对结论提出假设，
三、应用反证法解题时应注意的问题
1、正确否定结论
对题目中所要证明的结论进行否定，是反证法解题的基础，也是利用反证思维的前提条件，否定结论时，要做到不重复和不遗漏。

例如，在证明“一个三角形中，内角最多只有一个直角”这一命题时，运用反证法解题，首先要明确题目的结论是“最多一个直角”，在进行假设时，就要以此入手，“最多一个”则是指存在两种情况，一是有且仅有一个，二是一个没有，因此对立面可以表述为，“不止一个直角”，根据三角形的特定，则就是“一个三角形的内角可以存在两个或者三个直角”。

由此可以看出，在进行假设时，要针对题型来假设，适当的运用反证的方法，以便通过否定原始结论，出现矛盾，进而肯定原始结论的目的，在进行否定原始结论时，要注意推理过程中的矛盾制造，以便使假设不成立。

2、明确推理特点
反证法的精髓在于对结论的否定，同时推理出矛盾，但是由于矛盾在解题过程的任何一个步骤都有可能出现，因此我们无法提前预知矛盾，这也是矛盾的不确定性，因此我们要能够根据题目，大致推断出矛盾出现的领域，这也是反证法的推理特点。

例如，对于平面几何的证明题，我们就要考虑在有关公理、定理上出现矛盾。

3、了解矛盾的种类
在利用反证法解题时，可能出现的矛盾是多种多样的，矛盾具有多种种类，例如，与题设条件的矛盾，与已知真命题的矛盾，与解题时临时假设的矛盾等等，在解题时，要注意区分这些矛盾。

结语
反证法是初中数学常见的解题方法，许多题目都可以通过反证法来进行解答，由于其涉及的学习内容较多，题型也较为复杂，对学生来说这是一个学习的难点，初中数学的题目千变万化，但很多略有难度的题目可以通过反证法迎刃而解，只有掌握了反证法的本质，熟悉这一方法的解题步骤，就可以帮助学生解决许多难题。

因此，教师要重视对于反证法的教学，可以通过一定的教学方法帮助学生来理解反证的内涵，并且利用经典的题目，来训练学生的逆向思维，使学生能够真正掌握反证法。

（作者单位：陕西商洛市洛南县城关中学）。