九年级数学上册第25章图形的相似251比例线段授课

知2－讲
1.定义：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于
c与d的比，即
a b
c d
,
我们就把这四条线段叫做成比
例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
2.要点精析：定义中四条线段a，b，c，d是有先后顺序的．
3.易错提示：计算线段的比时切记不要忽略统一单位．
感悟新知
例2 下列各组线段中，能成比例线段的是( D) A．1 cm，3 cm，4 cm，6 cm B．30 cm，12 cm，0.8 cm，0.2 cm C．0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cm D．12 cm，16 cm，45 cm，60 cm
课堂小结
1.比例的基本性质：如果 a c , 那么ad＝bc. bd
比例的基本性质反过来也成立，即：如果ad＝bc，那
2.比么例ab中项dc：, (如b，果d≠a0)，b也, 可即推b2＝得ac，ac 我db们,(就c，把db≠叫0)．做a， bc
c的比例中项．
3.比例还有以下常用性质：
(1)合比性质：如果 (2)分比性质：如果
上，且AD2＝BD·AB，求
CD AC
的值．
感悟新知
2 如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC， BC，且AC＞BC，下列说法错误的是( )
知4－练
A．如果
AC AB
BC AC
，那么线段AB被点C黄金分割
B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割
C．如果线段AB被点C黄金分割，则线段AC与AB
学习延伸
一、与同学们讨论下各自的学习心得 二、老师们指点下本课时的重要内容
课后延伸
给自己一份坚强，擦干眼泪； 给自己一份自信，不卑不亢； 给自己一份洒脱，悠然前行。 为了看阳光，我来到这世上； 为了与阳光同行，我笑对忧伤。
学习延伸
形的大小不同但形状相同？理由是什么？
两个长方形的形状是否相同，与它们的长、宽比 是否相等有关.为此，需要研究线段的比.
感悟新知
归纳
知1－讲
如果选用同一度量单位，量得线段a和b的长度分
别为m和n，我们就把m和n的比叫做线段a和b的比，记 作a∶b＝m ∶ n，或 a m
bn 例如，如果 a＝2 cm，b＝3 cm，那么，a∶ b＝2∶3.
) 知1－练
3 已知线段AB＝20 cm，AC＝10 dm，则AB∶AC＝ _____
感悟新知
知2－讲
知识点 2 成比例线段
观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不 同但形状相同？理由是什么？
两个长方形的形状是否相同，与它们的长、宽比 是否相等有关.为此，需要研究成比例线段.
感悟新知
感悟新知
知4－练
例4 已知线段AB＝6 cm，点P为线段AB的黄金分割点，则线
段AP的长为___3__5___3__c_m_或 ____9__3___5__c_m___．
错误答案： 3 5 3 cm
感悟新知
知4－练
错解分析：一条线段有两个黄金分割点，∴要分两种情况计算．
AP 当AP＞PB时，AB
ac m a . bd n b
感悟新知
例 3 若5x－4y＝0，则
知3－练
x ____; x y ____; x ____; x y ____ .
y
y
x y
x y
分析：从比例线段的性质入手. 根据比例的基本性质把5x－
4y＝0变形为： x 4 ，然后利用合比性质变形即得. y5
也可使用“设参数”的方式，代入后约分即可.
知2－练
感悟新知
导引：从比例线段的概念入手.作为选择题，可逐个 知2－练
排查.为了能迅速找到比例关系，可首先对数据按大
小排序，以减少试验的次数.
A中的
1 3
4 6
,
它们不成比例；
B中的
0.2 0.8
12 , 30
它们不成比例；
C中的
0.1 0.2
0.3 0.4
,
它们不成比例；
D中的
12 16
45 60
,
它们成比例.故选D.
感悟新知
、b、c、d是成比例线段，则
这四条线段的顺序就确定了，也就是说，只能写成
ac bd
这一种形式，而不能写成其他的形式.
感悟新知
总结
知2－讲
判断四条线段是否是成比例线段的方法：先将线
段的长度单位统一并按长度的大小排序，然后，判断
前两条线段的比是否与后两条线段的比相等，或判断
的比叫做黄金比 AC
D．如果线段AB被点C黄金分割，则 AB ≈0.618
课堂小结
判断四条线段是否是成比例线段的方法：先将线 段长度统一单位并按长度的大小排序，然后，方法1， 判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；方 法2，判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外 两条线段的乘积相等．若相等，则这四条线段为成比 例线段；若不相等，则这四条线段为不成比例线 段．可简记为“一排(排顺序)、二算(算比值或乘积)、 三判(判断是否是成比例线段)”．
感悟新知
知2－练
2 下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( ) A．1，2，3，4 B．1，2，2，4 C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
感悟新知
知2－练
3 四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝3 cm，d＝4 cm， c＝6 cm，则b等于( ) A．8 cm 9 B. cm 2 C. 2 cm 9 D．2 cm
感悟新知
解： ∵5x－4y＝0，
∴x4 y5
∴ x y 4 5 9， x 4 4，
y
5 5 x y 45
令x＝4k，y＝5k，
则 x y 4k 5 y k 1 . x y 4x 5 y 9k 9
知3－练
感悟新知
总结
知3－讲
当有连等式时常用设参数的方法，实际上，当出 现比例时，设参数也是非常奏效的方法.
感悟新知
总结
知1－讲
求线段的比时，两条线段的长度单位应该统一．
感悟新知
知1－练
1 在比例尺为1 ∶ 5 000的地图上，量得甲、乙两地的 距离为25 cm，则甲、乙两地间的实际距离是( ) A．1 250 km B．125 km C．12.5 km D．1.25 km
感悟新知
2 正方形的对角线的长与它的边长之比是( A．2∶1 B．1∶2 C．1∶ 2 D． 2 ∶1
5 2
1
，∵AB＝6cm，
∴AP＝
516 3 2
5 3(cm)；
当AP＜PB时，PB＝
5 1 AB
3
53
cm，
2
∴AP＝AB－PB＝(9－3 5 )cm.
感悟新知
总结
知4－讲
本题运用了分类讨论思想，分AP是较短线段和较 长线段两种情况计算．
感悟新知
知4－练
1 如图，AB＝2，点C是AB的黄金分割点，点D在AB
第25章 图形的相似
第25章 图形的相似
25.1 比例线段
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
两条线段的比 成比例线段 比例的性质 黄金分割
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
为了研究相似图形，我们先来探究成比例线段的 有关概念及性质.
感悟新知
知识点 1 两条线段的比
知1－讲
观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方
感悟新知
1.线段的比没有单位；
知1－讲
2.线段的比是一个正数；
3.线段的比与所采用的长度单位无关；
4.线段的比必须是在同一长度单位下进行的． 特别提醒：
判断四条线段是否成比例，首先统一单位，然后
将这四条线段按长度的大小顺序排列，计算前两
条线段的比值和后两条线段的比值是否相等即可.
感悟新知
例 1 若a＝0.2 m，b＝8 cm，则a∶ b＝__5_∶__2___. 知1－练 导引：a＝0.2 m＝20 cm，a∶b＝20∶8＝5∶2.
a ab b
c dc d
, ,
那么 那么
ab cd； bd
ab cd; bd
课堂小结
(3)合分比性质：如果 a c , 那么 a b c d(a≠b，
bd
ab cd
c≠d)；
(4)等比性质：如果
a b
c d
m n
k
(b＋d＋…＋n≠0)，
那么 a c m k. bd n
感悟新知
知识点 3 比例的性质
知3－讲
如果线段a，b ，c，d成比例，那么ad和bc相等吗? 为什么?
反之，如果线段a，b ，c，d满足ad＝bc,那么这四条 线段成比例吗? 为什么?
感悟新知
归纳
知3－讲
比例的基本性质
特别提醒：
如果 a c ，那么ad bc. bd
如果ad=bc， 那么
a = b c，d 0 或 d
bd
n
a c m 会有怎样的结果? 请说明理由. bd n
感悟新知
事实上，若设
ac
m
k,
知3－讲
则有a＝kb，c＝
bd
n
kd，···，m＝kn.
所以a＋c＋···＋m＝kb＋kd＋···kn＋＝k(b＋d＋···＋n).
因为b＋d＋···＋n≠0，所以
即
a c m k. bd n
感悟新知
知识点 4 黄金分割
拓展： 知4－练 顶 角 为 36° 的 等
如图，已知线段AB＝a，点C在AB上. 腰三角形底角的
A
C
B
当
AC AB
BC AC
平分线把对边黄 时，线段AC的长是多少?金分割.
在上述问题中，设AC＝x，建立关于x的方程x2＋ax
1 5 —a2＝0，可解得x＝ 2 a, 取其正根，得
如果ad bc，那么 a c b，d 0 .
bd
cd
b
= c a，b 0 或 d =
特别地，如果
a b
b c
，即b2＝ac，就
a
b a，c 0
c
把b叫做a，c的比例中项.
a
感悟新知
知3－讲
问题
我们知道，由 1 2 3 , 可以得到 1 2 3 1 . 类
246
246 2
似地，如果 a c m b d n 0 , 你认为
感悟新知
1 若 a b 4 ，则 a 等于( )
b3
b
A. 2 3
B. 1 3
4 C. 3
D. 5 3
知3－练
感悟新知
2 【中考·东营】若 y 3，则 x ＝y 的值为(
x4
x
知3－练
)
A．1
4
B.
7
C. 5 4
7
D.
4
感悟新知
知3－练
3 已知△ABC中，BC∶AC∶AB＝3∶5∶7， 且AC＋BC－AB＝6，则△ABC的周长 为_______.
最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段
的乘积相等．若相等，则这四条线段为成比例线段；
若不相等，则这四条线段不是成比例线段
感悟新知
知2－练
1 下列四组不同长度的线段中，不是成比例线段的一 组是( ) A．1 cm，2 cm，3 cm，6 cm B．2 cm，3 cm，4 cm，6 cm C．1 cm, 2 cm, 3 cm, 6 cm D．1 cm，2 cm，3 cm，5 cm
AC 1 5 a≈0.618a. 2
感悟新知
知4－讲
1.在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段
AC和BC满足
AC AB
BC AC
，那么称线段AB被点C黄金
分割，点C称为线段AB的黄金分割点， AC 称为黄
AB
金比．其比值是 5 1，近似值是0.618.
2
2.每条线段上的黄金分割点都有两个．