信息技术应用μ,σ对正态分布的影响

2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
P(2 X 2) = 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
高二数学 选修2-3
2.4 正态分布
复习
100个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
25.235 25.295 25.355
25.415
产品 尺寸 （mm)
25.475 25.535
复习
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
25.235 25.295 25.355
25.415
产品 尺寸 （mm)
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为 概率密度曲线的总体的期望大2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为 概率密度曲线的总体的方差大2。
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
e
2
4
1
x2
f (x)
e2
D.
2
例2、标准正态总体的函数为
1
x2
f (x) e 2 , x (, ).
2
（1）证明f(x)是偶函数；
（2）求f(x)的最大值；
（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。
练习：
1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函
数的最大值等于 的解析式。 4
1
2
的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的
集中与分散的程度
1
2
产品 尺寸
(mm)
平均数
的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的
集中与分散的程度
1
2
产品 尺寸
(mm)
x1 平均x数2
正态曲线的函数表示式
( x)
1
e
(
x )2 2 2
以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
例1、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
A. f (x)
1
(x )2
e 2 2 , , ( 0)都是实数
2
2 x2
B.
f (x)
e2
2
1
( x1)2
C.
f (x) 2
b
P(a X b) a , (x)dx
则称随机变量X服从正态分布.
正态分布完全由参数 和 确定,因此正态分布 常记作 N (, 2 ) .如果随机变量 X 服从正态分布,则 记为 X N (, 2 )
的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平
x= μ
产品
尺寸
(mm)
x3
x4
x1
平均x数2
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
正态曲线的性质
y X=μ ( x)
σ=0.5
1
e
(
x )2 2 2
2
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
12 3 x
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线 向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
S(X,)＝S(-,-X)
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
特殊区间的概率:
P( a X ≤ a)
a
a , x dx
x=μ
-a
+a
P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
，求该正态分布的概率密度函数
2、如图，是一个正态曲线， 试根据图象写出其正态分布 的概率密度函数的解析式， 求出总体随机变量的期望和 方差。
y
1
2
5 10 15 20 25 30 35 x
例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是
（ D）
A.曲线b仍然是正态曲线；
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.6％，在 3 , 3 以外
取值的概率只有0.3 ％。 际通( 运常 用3由称当中,于这a就这些只33些情考)时概况之虑正率发内这态,值个 生其总区很为他体间小小区的,（概称 间取一为 取率值值般事3几几不件乎原乎超。总则不取过. 可值5能％于.区 在）实间，
x x -3 -2 -1 0 1 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
正态曲线的性质
( x)
1
2
e
( x )2 2 2
y
y
μ= -1
σ=0.5
μ=0
, x (, )
y μ=1
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
之外取值的 概率只有0.003,而5.7 2.5, 5.5
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发 生的小概率事件.
据此可认为该批零件是不合格的。
例5、在某次数学考试中，考生的成绩 x 服从一个 正态分布，即x ~N(90,100). （1）试求考试成绩 x 位于区间(70,110)上的概率是
多少？
, x (, )
2
（1）当x = 时,函数值为最大.
y
1
（2）, ( x)的值域为
(0,
]
2
=0
=1
(3), ( x)的图象关于 x 对称.
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（4）当x∈（－∞, ] 时( x)为增函数.
当x∈（ ，+∞）时( x)为减函数. 标准正态曲线
正态总体的函数表示式
(x)
1
2
e
(x )2 2 2
x (,)
当μ= 0，σ=1时
y μ=0
标准正态总体的函数表示式
σ=1
(x)
x2
1
e2
2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
x (,)
标准正态曲线
正态曲线
( x)
y
μ= -1 σ=0.5
1
e
(
x )2 2 2
, x (, )
2
y
y
μ=0 σ=1
μ=1 σ=2
1
2
e
(
x )2
x 2 2
(,)
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均 数与标准差，称 ( x) 的图象为正态分布密度曲线， 简称正态曲线
X 0
易知X 落Leabharlann 区间(a,b]的概率为:y
b
P(a X ≤ b) , ( x)dx
a
y , ( x)
X
a
b
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
例4：某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正
态分布N4, 0.25，质检人员从该厂生产的1000
件零件中随机抽查一件， 测得它的外直径为 5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
解： 由于x服从正态分布 N4，0.25
由正态分布的性质知，
正态分布N 4，0.25 在 4 3×0.5, 4 3×0. 5
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩 在(80,100)间的考生大约有多少人？
练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的 成绩X~(110, 52 )，据此估计，大约应有57人的分
数在下列哪个区间内？（ C）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布：
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中，测量结果；
在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度
25.475 25.535
复习
样本容量增大时 频率分布直方图
频率 组距
总体密度曲 线
产品 尺寸 (mm)
复习
总体密度曲 线
产品 尺寸 (mm)
高尔顿板
N=500, P=0.5 M=10
Y 频率
组距
0
总体密度曲 线
X
导入
这条曲线 就是(或近似地是)以下函数的图象：
1 、正态曲线的定义：
函数 (x)