2019年中考数学模拟试卷及答案

2019年中考数学模拟试卷及答案
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分 ） 1. 2 sin 60°的值等于（ ） A. 1
B.
2
3
C. 2
D. 3
2. 下列的几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ）
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
3. 据2017年1月24日《桂林日报》报道，临桂县2016年财政收入突破18亿元，在广西各县中排名第二. 将18亿用科学记数法表示为（ ）
A. 1.8×10
B. 1.8×108
C. 1.8×109
D. 1.8×1010
4. 估计8-1的值在（ ）
A. 0到1之间
B. 1到2之间
C. 2到3之间
D. 3至4之间 5. 将下列图形绕其对角线的交点顺时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 6. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
7. 为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随
机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图. 根据统计图提供的
信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ） A. 1200名 B. 450名
C. 400名
D. 300名
8. 用配方法解一元二次方程x 2
+ 4x – 5 = 0，此方程可变形为（ ） A. （x + 2）2
= 9 B. （x - 2）2 = 9 C. （x + 2）2 = 1
D. （x - 2）2
=1
9. 如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则S △EDC ∶S △ABC =（ ） A. 1∶2
B. 1∶4
C. 1∶3
D. 2∶3
10. 下列各因式分解正确的是（ ）
A. x 2 + 2x
-1=（x - 1）
2
B. - x 2
+（-2）2
=（x - 2）（x + 2） C. x 3
- 4x = x （x + 2）（x - 2）
D. （x + 1）2
= x 2 + 2x + 1
11. 如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB = 4，∠BED = 120°， 则图中阴影部分的面积之和为（ ）
圆弧 角 扇形
菱形 等腰梯形
A. B. C. D.
（第9题图）
（第11题图）
（第7题图）
A. 3
B. 23
C. 2
3
D. 1
12. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，M 是AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动
到终点C ，动点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动到终点B. 已知P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接MP ，MQ ，PQ . 在整个运动过程中，△MPQ 的面积大小变化情况是（ ） A. 一直增大
B. 一直减小
C. 先减小后增大
D. 先增大后减小
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．分解因式：a 2﹣a= ． 14．函数y=x+
中，自变量x 的取值范围是
．
15．如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和点B 是切点，若OA=9，∠P=40°，则的长
为 （结果保留π）．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点B 在y 轴正半轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，函数y=
的图象经过点C ，则k 的值为 ．
17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a 、b 的代数式表示）．
（第12题图）
18．如图，在△ABC 中，AB=2，AC=4，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A ′B ′C ，使CB ′∥AB ，分别延长AB 、CA ′相交于点D ，则线段BD 的长为 ．
三、解答题
19、已知点P （-2,3）在双曲线上，O 为坐标原点，连接OP ，求k 的值和线段OP 的长
20、如图，⊙O 的半径为2，，∠C=60°，求的长
k
y x
=AB AC AC
A
21、观察下列式子
（1）根据上述规律，请猜想，若n 为正整数，则n=
（2）证明你猜想的结论。

22、某校初三（1）班的同学踊跃为“雅安芦山地震”捐款，根据捐款情况（捐款数为正数）制作以下统计图表，但生活委员不小心把墨水滴在统计表上，部分数据看不清楚。

（1）全班有多少人捐款？
（2）如果捐款0~20元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72°，那么捐款21~40元的有多少人？
23、校运会期间，某班预计用90元为班级同学统一购买矿泉水，生活委员发现学校小卖部有优惠活动：购买瓶装矿泉水打9折，经计算按优惠价购买能多买5瓶，求每瓶矿泉水的原价和该班实际购买矿泉水的数量。

011121,23122
213134,453344
=⨯+=⨯+
=⨯+=⨯+⋅⋅⋅
24、如图，矩形OABC 顶点A(6,0)、C （0,4），直线分别交BA 、OA 于点D 、E ，且D 为BA 中点。

（1）求k 的值及此时△EAD 的面积；
（2）现向矩形内随机投飞镖，求飞镖落在△EAD 内的概率。

（若投在边框上则重投）
25、如图，正方形ABCD 中，G 是BC 中点，DE ⊥AG 于E ，BF ⊥AG 于F ，GN ∥DE ，M 是BC 延长线上一点。

（1）求证：△ABF ≌△DAE
（2）尺规作图：作∠DCM 的平分线，交GN 于点H （保留作图痕迹，不写作法和证明），试证明GH=AG
1y kx =-B
C B A
E
26、已知抛物线
（1）若求该抛物线与x 轴的交点坐标；
（2）若，是否存在实数,使得相应的y=1，若有，请指明有几个并证明你的结论，若没有，阐述理由。

（3）若且抛物线在区间上的最小值是-3，求b 的值。

27.已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △AED 中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC
（1）发现：如图1，当点E 在AB 上且点C 和点D 重合时，若点M 、N 分别是DB 、EC 的中点，则MN 与EC 的位置关系是 ，MN 与EC 的数量关系是 （2）探究：若把（1）小题中的△AED 绕点A 旋转一定角度，如图2所示，连接BD 和EC ，并连接DB 、EC 的中点M 、N ，则MN 与EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由．
2
32y ax bx c =++1,1a b c ===-++1a b c =0x 1
,23
a c
b ==+22x -≤
≤
答案
说明：第12题是一道几何开放题，学生可从几个特殊的点着手，计算几个特殊三角形面积从而降低难度，得出答案. 当点P ，Q 分别位于A 、C 两点时，S △MPQ =2
1
S △ABC ；当点P 、Q 分别运动到AC ，BC 的中点时，此时，S △MPQ =21×21AC. 21BC =4
1S △ABC ；当点P 、Q 继续运动到点C ，B 时，S △MPQ =2
1
S △ABC ，故在整个运动变化中，△MPQ 的面积是先减小后增大，应选C.
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．分解因式：a 2﹣a= a （a ﹣1） ． 【考点】因式分解-提公因式法． 【专题】因式分解．
【分析】这个多项式含有公因式a ，分解因式时应先提取公因式． 【解答】解：a 2﹣a=a （a ﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，注意不要漏项．
14．函数y=x+
中，自变量x 的取值范围是 x ≠2 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和点B是切点，若OA=9，∠P=40°，则的长为，7π（结果保留π）．
【考点】切线的性质；弧长的计算．
【分析】根据切线的性质得出∠PAO=∠PBO=90°，求出∠AOB=140°，根据弧长公式求出即可．
【解答】解：∵PA和PB是⊙O的切线，点A和点B是切点，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，
∴的长为=7π，
故答案为：7π
【点评】本题考查了切线的性质，弧长公式的应用，能根据切线的性质求出
∠PAO=∠PBO=90°是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B在y轴正半轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，函数y=的图象经过点C，则k的值为﹣6．
【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，
∴C（﹣3，2），
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴2=，
解得k=﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式．
17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab（用a、b的代数式表示）．
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】操作型．
【分析】利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．
【解答】解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，
解得，
②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（）2﹣4×（）2=ab．
故答案为：ab．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确求出大小正方形的边长列代数式，以及整式的化简，正确对整式进行化简是关键．
18．如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为6．
【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】利用平行线的性质以及旋转的性质得出△CAD∽△B′A′C，再利用相似三角形的性质得出AD的长，进而得出BD的长．
【解答】解：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，
∴AC=CA′=4，AB=B′A′=2，∠A=∠CA′B′，
∵CB′∥AB，
∴∠B′CA′=∠D，
∴△CAD∽△B′A′C，
∴=，
∴=，
解得AD=8，
∴BD=AD﹣AB=8﹣2=6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△CAD ∽△B ′A ′C 是解题关键．
三、解答题（本题有9个小题, 共102分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分9分） 解：（1）把代入 ，得 --------4分 （2）过点P 作P E ⊥轴于点E ，则OE =2，PE =3 --------6分
∴在△OPE 中，
--------9
分
18．（本小题满分9分） 解：方法一
连接OA ，OC --------1分
∵,∠C =60°
∴∠B =60° --------4分 ∴ ∠AOC =120° --------6分 ∴ π×2＝π --------9分 方法二： ∵
∴ --------2分
∵∠C =60° ∴ --------5分 ∴ = --------7分 ∴＝π --------9分 19.（本题满分10分） （1） ----------3分 （2）证明：∵ ----------5分
2,3x y =-=k
y x
=
6k =-x Rt AB AC =120180AC l =
4
3
AB AC =AB AC =AB AC BC ==AB AC =BC 1223AC l π=
⨯⨯4
3
11
(1)n n n n
-+⨯
+11
(1)n n n n
-+⨯
+(1)(1)1
n n n n
+-=
+
----------7分 ----------8分
----------9分 ∴ ----------10分 20.（本题满分10分）
解：（1） ----------2分
答：全班有50人捐款。

----------3分
（2）方法1：∵捐款0~20元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72° ∴捐款0~20元的人数为 ----------6分 ∴ ----------9分 答：捐款21~40元的有14人 ----------10分
方法2： ∵捐款0~20元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72° ∴捐款0~20元的百分比为
----------6分 ∴ ----------9分 答：捐款21~40元的有14人 ----------10分 21.（本题满分12分）
方法1 解：设每瓶矿泉水的原价为x 元 ----------1分
----------5分 解得： ----------8分
经检验：x =2是原方程的解 ----------9分
∴ ----------11分
答：每瓶矿泉水的原价为2元，该班实际购买矿泉水50瓶。

----------12分
方法2 解：设每瓶矿泉水的原价为x 元，该班原计划购买y 瓶矿泉水 ----------1分
----------5分 解得： ----------9分
∴ ----------11分
答：每瓶矿泉水的原价为2元，该班实际购买矿泉水50瓶。

----------12分
211
n n n -=+2
n n
=n =11
(1)n n n n n
-=+⨯
-48%50÷=72
5010360
⨯
=50105032%6414--⨯--=721
20%3605
==50(120%32%6508%)14⨯---÷-=9090
50.9x x
-=2x =902550÷+=90
0.9(5)90xy x y =⎧⎨
+=⎩
245x y =⎧⎨=⎩
45550+=
22．（本小题满分12分） 解：（1）∵矩形OABC 顶点A （6，0）、C （0，4）
∴B （6，4） --------1分 ∵ D 为BA 中点 ∴ D （6，2），AD =2 --------2分
把点D （6，2）代入得k = --------4分 令得
∴ E （2，0） --------5分
∴ OE =2，AE =4 --------7分 ∴=
= --------9分 （2）由（1）得 --------10分 ∴ --------12分 23.（本题满分12分）
解：∵ 四边形ABCD 是正方形
∴ AB =BC =CD =DA ----------1分 ∠DAB =∠ABC =90° ∴ ∠DAE +∠GAB =90° ∵ DE ⊥AG BF ⊥AG ∴ ∠AED =∠BFA =90° ∠DAE +∠ADE =90°
∴ ∠GAB =∠ADE ----------3分
在△ABF 和△DAE 中
∴ △ABF ≌△DAE ----------5分 （2）作图略 ----------7分
方法1：作HI ⊥BM 于点I ----------8分 ∵ GN ∥DE
∴ ∠AGH =∠AED=90° ∴ ∠AGB+∠HGI =90° ∵ HI ⊥BM
∴ ∠GHI+∠HGI =90°
∴ ∠AGB =∠GHI ----------9分 ∵ G 是BC 中点
1y kx =-1
2
0y =2x =EAD S
1
422
⨯⨯424OABC S =矩形61
246
EAD P =
=(飞镖落在
内)ADE BAF BFA AED AB DA ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ tan ∠AGB =
∴ tan ∠GHI= tan ∠AGB =
∴ G I =2HI ----------10分 ∵ CH 平分∠DCM ∴ ∠HCI =
∴ CI =HI
∴ CI =CG =BG =HI ----------11分
在△ABG 和△GIH 中
∴ △ABG ≌△GIH
∴ AG =GH ----------12分
方法2： 作AB 中点P ，连结GP ----------8分 ∵ P 、G 分别是AB 、BC 中点 且AB =BC ∴ AP =BP =BG =CG ----------9分 ∴ ∠BPG =45° ∵ CH 平分∠DCM ∴ ∠HCM =
∴ ∠APG =∠HCG =135° ----------10分 ∵ GN ∥DE
∴ ∠AGH =∠AED=90° ∴ ∠AGB+∠HGM =90° ∵ ∠BAG +∠AGB =90°
∴ ∠BAG =∠HGM ----------11分
在△AGP 和△GHC 中
∴ △AGP ≌△GHC
∴ AG =GH ----------12分 24.（本题满分14分）
解（1）当，时，抛物线为，
2AB
BG
=2GI
HI
=1
452
DCM ∠=︒ABG GIH BG IH
AGB GHI ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
1
452
DCM ∠=︒PAG CGH AP GC
AGP GHC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
1==b a 1-=c 1232-+=x x
y
∵方程的两个根为，． ∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． --------------------------------3分 （2）由得，
----------------------5分
，--------------------------------7分
所以方程有两个不相等实数根，
即存在两个不同实数，使得相应．-------------------------8分 （3），则抛物线可化为，其对称轴为， 当时，即，则有抛物线在时取最小值为-3，此时-
，解得，合题意--------------10分
当时，即，则有抛物线在时取最小值为-3，此时-
，解得，不合题意，舍去.--------------12分
当时，即，则有抛物线在时取最小值为-3，此时
，化简得：，解得：
舍去），. --------------14分 综上：或 25.（本题满分14
分）
解：解：（1）.------------2分
01232
=-+x x 11-=x 3
1
2=
x x ()1
0-，103⎛⎫ ⎪⎝⎭
，1y =2
321ax bx c ++=2412(1)b a c
∆=--22222412()412124(33)b a a b b ab a b ab a =---=++=++2233
4[()]24
b a a =++0,0a ≠∴>Q V 2
321ax bx c ++=0x 1y =1
,23
a c
b =
-=222y x bx b =+++x b =-2x b =--＜2b >2x =-23(2)2(2)2b b =-+⨯-++3b =2x b =-＞2b <-2x =232222b b =+⨯++9
5
b =-2b --≤≤22b -≤≤2x b =-23()2()2b b b b -=-+⨯-++250b b --=12
b =
b =
3b =b =
1
,2
MN
EC MN EC ⊥=
（2）连接EM并延长到F，使EM=MF，连接CM、CF、BF. ------------3分
∵BM=MD,∠EMD=∠BMF，
∴△EDM≌△FBM
∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°
∴∠FBC=∠EAC=90°---------5分
∴△EAC≌△FBC
∴FC=EC, ∠FCB=∠ECA---------6分
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE =∠ECA+∠BCE=90°
又点M、N分别是EF、EC的中点
∴MN∥FC
∴MN⊥FC---------8分
（可把Rt△EAC绕点C旋转90°得到Rt△CBF,连接MF,ME,MC,然后证明三点共线）
证法2：延长ED到F，连接AF、MF，则AF为矩形ACFE对角线，所以比经过EC的中点N且AN=NF=EN=NC.----------------------------4分
在Rt△BDF中，M是BD的中点，∠B=45°
∴FD=FB
∴FM⊥AB，
∴MN=NA=NF=NC---------------------5分
∴点A、C、F、M都在以N为圆心的圆上
∴∠MNC=2∠DAC--------------------6分
由四边形MACF中，∠MFC=135°
∠FMA=∠ACB=90°
∴∠DAC=45°
∴∠MNC=90°即MN⊥FC-------------------8分
（还有其他证法，相应给分）
（3）连接EF并延长交BC于F，------------------9分∵∠AED=∠ACB=90°
∴DE∥BC
∴∠DEM=∠AFM，∠EDM=∠MBF
F
A
A
F
又BM =MD
∴△EDM ≌△FBM -----------------11分 ∴BF =DE =AE ,EM =FM
∴--------------14分
（另证：也可连接DN 并延长交BC 于M ）
备注：任意旋转都成立，如下图证明两个红色三角形全等。

其中∠EAC =∠CBF 的证明， 可延长ED 交BC 于G ，通过角的转换得到
1111()()2
2
2
2
MN FC BC BF AC AE EC ==-=-=
A。