人教A版高考总复习数学精品课件 第四章 一元函数的导数及其应用 第一节 导数的概念、运算及几何意义

对数形式 先化为和、差形式,再求导
复合函数 先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
考点二
导数的几何意义(多考向探究预测)
考向1求切线方程
-1
例题(1)(2022·山东菏泽一模)曲线 y=2+3
为
在点(-1,-2)处的切线方程
.
(2)已知函数f(x)=ex+2x,过点(1,2)作曲线y=f(x)的切线,则函数的切线方程
题组二 回源教材
4.(人教 A 版选择性必修第二册第五章习题 5.1 第 7 题改编)曲线
3
点(1,-2)处的切线的倾斜角是
答案
π
4
解析
3
点(1,- )在曲线上,且
2
1 2
y=2x -2
.
y'=x,所以切线的斜率
π
k=1,所以倾斜角为 .
4
在
5.(人教A版选择性必修第二册第五章习题5.2第11题改编)设曲线y=e2ax在
规律方法 利用导数几何意义解决公切线问题的基本方法
利用导数的几何意义解决两条曲线的公切线问题,通常有两种基本方法:
(1)利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;
(2)若两曲线解析式分别为f(x),g(x),分别设出公切线与两曲线的切点
(x>0)相切于点(b,3b+m),对于函数y=x3(x>0),y'=3x2,则3a2=3(a>0),解得a=1.
所以13=3+m,即m=-2.对于函数y=-x2+nx-6(x>0),y'=-2x+n,则-2b+n=
3(b>0),又-b2+nb-6=3b-2,所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2,又b>0,所以b=2,n=7.
平行.故点 P 的坐标为(-1,1).
(2)设平行于直线 y=x-3 且与曲线
3 2
由 y= x -2ln
2
3
为(1,2),故点
3 2
y= x -2ln
2
x 相切的切线对应切点为 P(x,y),
2
2
2
x,则 y'=3x- ,令 y'=3x- =1,解得 x=1 或 x=- (舍去),故点 P 的坐标

Δ
x→0
.
微点拨 关于导数概念的理解
(1)瞬时变化率是平均变化率的极限.
(2)导数就是瞬时变化率.
(3)导数的物理意义:若物体运动的路程与时间的关系式是s(t),则s'(t)就是速
度与时间的关系式.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,
解得f'(0)=-1,因此,f(x)=-e2x-e-x,所以f(0)=-2.
规律方法 函数常见形式及具体求导的6种方法
连乘形式 先展开化为多项式形式,再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式,再求导
叫做函
数 y=f(x)从 x0 到 x0+Δx 的平均变化率.
(2)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数:函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
是
f(x 0 +x)-f(x 0 )
lim
x
Δ→0
=
Δ
Δ
x→0
记作 f'(x0) 或 y'|= ,即
0
,我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,
考点三
两曲线的公切线问题
例题(多选)(2022·河北保定二模)若直线y=3x+m是曲线y=x3(x>0)与曲线
y=-x2+nx-6(x>0)的公切线,则(
A.m=-2
B.m=-1
C.n=6
D.n=7
)
答案 AD
解析 设直线y=3x+m与曲线y=x3(x>0)相切于点(a,a3),与曲线y=-x2+nx-6
m
(2)因为 f(x)=x +ln x,则 f'(x)=mx
(1+2Δ)-(1)
2
=2f'(1)=-2,故
2Δ

x→0
1
f(1+2x)-f(1)
+ ,所以 lim
=
x
Δ→0
m-1
f'(1)=-1,故 m+1=-1,解得 m=-2.
(3)由函数f(x)=f'(0)e2x-e-x求导得,f'(x)=2f'(0)e2x+e-x,当x=0时,f'(0)=2f'(0)+1,
取值范围是
.
答案 (-∞,-4)∪(0,+∞)
解析 由题意可得,y'=ex+(x+a)ex=(1+x+a)ex.
设切点为(x0,(x0+a)e 0 ),则切线方程为 y-(x0+a)e 0 =(1+x0+a)e 0 (x-x0).
又切线过原点,∴-(x0+a)e 0 =-x0(1+x0+a)e 0 ,整理得02 +ax0-a=0.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
1.f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( × )
2.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
3.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.( × )
x
A.(2 )'=x·2
C.
1

x-1
B.#39;=- sin3
3
D.(sin2x)'=2sin x
'=ln x
m
(2)已知函数 f(x)=x +ln
f(1+2x)-f(1)
x,若 lim
=-2,则
x
Δ→0
A.-1
B.-2
C.-3
D.-5
(3)已知函数 f(x)=f'(0)e2x-e-x,则 f(0)=
1
,y=
的导数.


4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求
简单函数的导数;能求简单的复合函数的导数.
5.熟练使用导数公式表.
强基础 固本增分
1.导数的概念
(1)平均变化率:对于函数
Δ
Δ ( 0 +Δ)-( 0 )
y=f(x),我们把比值Δ ,即Δ =
Δ
f'(x)= axln a
f'(x)= ex
f'(x)=
1
ln
f'(x)=
1

4.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'=
(2)[f(x)g(x)]'=
(3)
()
()
'=
f'(x)±g'(x)
.
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
'()()-()'()
[()]2
导数间的关系为y'x=
数的乘积.
y'u·u'x ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导
常用结论
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周
期函数.
x
x
2.[e f(x)]'=e [f(x)+f'(x)],
( )
e
'( )- ( )
'=
.

e
3.曲线的切线与曲线不一定只有1个公共点.
答案 D
解析 因为f(x)为偶函数,设x<0,则-x>0,所以f(x)=f(-x)=ln(-x)-e1+x,所以f(-1)
1 1+x
=-1.因为当x<0时,f'(x)= -e ,所以f'(-1)=-2,所以曲线y=f(x)在x=-1处的切
线方程为y+1=-2(x+1),即2x+y+3=0.
考向2求曲线的切点坐标
点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,则a的值为
答案
1
4
解析
1
由条件可知,曲线在点(0,1)处的切线斜率为-2.因为
y'|x=0=2ae
1
=2a=-2,所以
0
1
a=-4.
.
y'=2ae2ax,所以
研考点 精准突破
考点一
导数的运算
题组(1)(多选)(2023·广东石门高三检测)下列求导结果错误的有(


3
3
2
|1- -3|
P 到直线 y=x-3 的最小值为
2
=
7 2
.
4
规律方法 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再
让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式
求出切点的纵坐标.
考向3求参数的值(或范围)
例题(2022新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的
(g(x)≠0).
,特别地,[cf(x)]'=
cf'(x)
.
5.复合函数的导数
(1)复合函数的概念:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变
量u,y可以表示成
合函数,记作
x
的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复
y=f(g(x))
.
(2)复合函数的求导法则:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的
为
.
答案 (1)5x-y+3=0
(2)(e2+2)x-y-e2=0
解析 (1)由
-1
y=2+3,
(2+3)-2(-1)
得 y'=
2
(2+3)
=
5
2
(2+3)
,
所以在点(-1,-2)处切线的斜率为 k=
5
2
(-2+3)
=5,
所以所求的切线方程为 y-(-2)=5[x-(-1)],即 5x-y+3=0.
即k0=
f'(x0)
.
即在点(x0,f(x0))处
微思考 “曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”有何区别?
提示 “曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”含义是不同的,“曲线在
点P处的切线”,点P是曲线上的点,且点P就是切点;而“曲线过点P的切线”,
点P不一定在曲线上,点P不一定是切点.
3.基本初等函数的导数公式
P 处的切线平行于直线 x-y-2=0,所以 f'(x0)=1,即 302 -2=1,解得 x0=±1.当 x0=1
时,点 P 为(1,-1),则切线方程为 y+1=x-1,即 x-y-2=0,与所给直线重合,不合题
意;当 x0=-1 时,点 P 为(-1,1),则切线方程为 y-1=x+1,即 x-y+2=0,与所给直线
原函数
f(x)=c(c 为常数)
f(x)=xα(α∈R,且 α≠0)
f(x)=sin x
f(x)=cos x
f(x)=ax(a>0,且 a≠1)
f(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
f(x)=ln x
导数
f'(x)= 0
f'(x)= αxα-1
f'(x)= cos x
f'(x)= -sin x
题组(1)若曲线f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线x-y-2=0平行,则点P的坐标
为
.
(2)(2022·山东威海乳山高三检测)若点P是曲线y=
点P到直线y=x-3的距离的最小值为(
7 2
A.
4
3 3
B.
2
C. 2
3 2
x -2ln
2
)
D. 5
x上任意一点,则
答案 (1)(-1,1)
(2)A
解析 (1)设点 P 为(x0,03 -2x0),因为 f'(x)=3x2-2,所以 f'(x0)=302 -2.因为曲线在点
.
m=(
)
)
答案 (1)ACD
(2)B
(3)-2
解析 (1)A 选项,(2 )'=2 ln 2,故 A 选项错误;B 选项,
x
正确;C 选项,
1

x
1
'=- 2 ,故


cos3

1
'=- sin3 ,故
3
B 选项
C 选项错误;D 选项,(sin2x)'=2sin xcos x,故 D 选项
错误.
第四章
第一节 导数的概念、运算及几何意义
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.理解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,
体会导数的内涵与思想,体会极限思想.
课标
解读
2.能通过函数图象直观理解导数的几何意义.
3.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=
(e2+2)x-y-e2=0.
规律方法 利用导数几何意义求切线方程的方法
对点训练(2022·河北秦皇岛二模)已知函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=ln xe1-x,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为(
)
A.y-e2+1=0
B.y+1=0
C.(e2-1)x-y+e2-2=0
D.2x+y+3=0
∵曲线 y=(x+a)ex 有两条过坐标原点的切线,
∴02 +ax0-a=0 有 2 个不同实数解,
∴Δ=a2+4a>0,解得 a>0 或 a<-4.
故 a 的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
规律方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的
方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
f(x 0 +x)-f(x 0 )
f'(x0)= lim
.
x
Δ→0
导数是用极限来刻画的
(3)导函数:对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数,当x变化
时,f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称导数),即
f'(x)=y'=
(+Δ)-()
(2)f'(x)=ex+2,设切点坐标为(x0,y0),
则 f'(x0)=e 0 +2,f(x0)=e 0 +2x0,