安徽省芜湖市2018届高三5月模拟考试数学(文)试卷(含答案)

芜湖市2017-2018学年度第二学期高三模考试题
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{
}
2
230A x N x x =∈+-≤，则集合A 的真子集个数为 （A ）31 （B ）32 （C ）3 （D ）4 2. 若复数()()21z ai i =-+的实部为1，则其虚部为 （A ）3 （B ）3i （C ） 1 （D ）i 3.设实数2log 3a =，12
13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，13
log 2c =，则有
（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b a c >> （D ）b c a >> 4.已知1
cos()43
π
α+
=，则sin2α= （A ）79-
（B ）79 （C ）223± （D ）79
±
5. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n 等于
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
6.如图，AB 为圆O 的一条弦，且4AB =，则OA AB =u u u r u u u r
g
（A ）4 （B ）-4 （C ）8 （D ）-8 7.以下命题正确的个数是 ①函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x '=；0:q x x =是()f x 的
极值点，则p 是q 的必要不充分条件
②实数G 为实数a ，b 的等比中项，则G ab =±
第5题图
B
A
o
第6题图
③两个非零向量a r 与b r ，若夹角0a b <r r g
，则a r 与b r
的夹角为钝角 ④平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹叫抛物线
（A ）3
（B ）2 （C ）1 （D ） 0
8.右图为函数()y f x =的图象，则该函数可能为
（A ）sin x
y x
= （B ） cos x
y x
=
（C ）sin x
y x =
（D ） sin x y x
= 9.已知ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，且
cos cos 3cos C B a
c b bc A
+=g ，则cos A =
（A ）
3 （B ）3- （C ）3 （D ）3
- 10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为
（A ）83π （B ）
43π （C ）4
3
π （D ）163π 11.圆C 的圆心在抛物线2
4y x =上,且该圆过抛物线的焦点，则圆上的点到直线6y =-距离最小值为
（A ）
95
16
（B ）254 （C ）5 （D ）72
12.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，()1
2
f x x =，若函数
()()g x f x x b =--恰有一个零点，则实数b 的取值范围是
（A ）11(2,2),44k k k Z -
+∈ （B ）15
(2,2),22k k k Z ++∈ （C ）11(4,4),44k k k Z -+∈ （D ）115
(4,4),44
k k k Z ++∈
二、填空题:本大题共4小题，共20分.
13.某校开展“爱我家乡”演讲比赛，9位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字在茎叶图中的却无
法看清，若记分员计算无误，则数字x = .
第8题图
14.有一个焦点为(0,6)且与双曲线2
212
x y -=有相同渐进线的双曲线方程
是 .
15.已知实数,x y 满足约束条件203501
x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，则212x y z +-⎛⎫
= ⎪⎝⎭的最大值
为 ． 16.已知函数2
1
1
()sin sin (0)222
x f x x ωωω=+->，
若()f x 在区间(,2)ππ内没有极值点，则ω的取值范围是 .
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
2n S n n =++.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）
某工厂每日生产一种产品(1)x x ≥吨,每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为y 万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过一段时间的产销，得到了x ，y 的一组统计数据如下表：
（Ⅰ）请判断ˆˆˆy
bx a =+与ˆˆˆln y d x c =+中，哪个模型更适合刻画x ，y 之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由；
（Ⅱ）根据你的判断及下面的数据和公式，求出y 关于x 的回归方程，并估计当日产量6x =时，日销售额是多少？
ln1ln 2ln 3ln 4ln 50.965
++++≈，()()()()()22222
ln1ln 2ln3ln 4ln5 6.2++++≈，
5ln112ln216ln319ln421ln586++++≈，ln6 1.8≈.
14
线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中，1
2
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx ==-=-∑∑g ，ˆˆa
y b x =-g . 19.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AA =，22AC =，M 是1CC 的中点，P 是AM 的中点，点Q 在线段1BC 上，且11
3
BQ QC =． （Ⅰ）证明：//PQ 平面ABC ；
（Ⅱ）若30BAC ∠=o ，求三棱锥A PBQ -的体积． 20.（本小题满分12分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上一点，若
12PF PF ⊥，1223F F =,12PF F △的面积为1.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若A ,B 分别为椭圆上的两点，且OA OB ⊥,求证：
2
2
11OA
OB
+
为定值，并求出该定值.
21.（本小题满分12分） 已知函数()ln x
f x ax x
=
-． （Ⅰ）若函数()f x 在()1,+∞上是减函数，求实数a 的最小值；
（Ⅱ）若存在2
12,[,]x x e e ∈，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为2
-221x a t
y t ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数，a R ∈），
以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
2cos 2cos 0ρθθρ+-=．
（Ⅰ）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点（P 在A B 、之间），且2PA PB =，求实数a 的值．
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知函数()15f x x x =-+-. （Ⅰ）解关于x 的不等式()6f x >；
（Ⅱ）记()f x 的最小值为m ，已知实数a ，b ，c 都是正实数，且111234
m
a b c ++=， 求证：239a b c ++≥．
文科答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 1-5：CAABC 6-10:DBBAD 11-12:AD
二、填空题:本大题共4小题，共20分.
13. 1 14. 22
11224
y x -= 15. 8 16. 337(0,],848⎡⎤⎢⎥⎣⎦U
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分. 17.（本小题满分12分）
解： (Ⅰ)2
2n S n n =++，①；当2n ≥时，21(1)(1)2n S n n -=-+-+②；
②-①2n a n =， .......................3分 当1n =时，14a =， ........................4分
4,1()2.
2
n n a n N n n *=⎧=∈⎨
≥⎩ .....................5分
(Ⅱ)由题意，1
,116
1111().2(2)(22)41n n b n n n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-≥++⎪⎩
.........7分
当1n =时，1116
T = 当2n ≥时,
1111111111()()()()1642334451n T n n L ⎡⎤=
+-+-+-+-⎢⎥+⎣⎦
111131
()1642116(1)
n n n -⎡⎤=
+-=⎢⎥++⎣⎦ .................11分 1
,116
31.216(1)
n n T n n n ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≥+⎪⎩ .......................12分
18.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)ˆˆˆln y
d x c =+更适合刻画x ，y 之间的关系, .......................1分 理由如下：x 值每增加1，函数值的增加量分别为7，4，3，2，增加得越来越缓慢，适合对数型函数
的增长规律，与直线型函数的均匀增长存在较大差异，故ˆˆˆln y
d x c =+更适合刻画x ，y 之间的关系.......4分
(Ⅱ)令ln i i z x =, 计算知1234573
14.655
y y y y y y ++++=
==
所以5
1
5
2
21
58650.9614.6
ˆ106.250.962
5i i
i i i z y z y
d
z z
==--⨯⨯=≈
=-⨯-∑∑g ，.......................8分
ˆ14.6100.965c
y d z =-≈-⨯=g ,所以所求的回归方程为ˆ10ln 5y x =+ ..............10分 当6x =时，销售额为ˆ10ln 6523y
=+≈ (万元)， ........ ......12分 19.（本小题满分12分）
证明：(Ⅰ)取中点MC ，记为点D ,连结QD PD ,.中点为中点，为MC D MA P Θ,PD ∴//AC
又13
1
DC CD =
Θ,=113BQ QC ,QD ∴//BC .
又D QD PD =I Θ，PQD 平面∴//平面ABC .......................4分 又PQD PQ 平面⊂，PQ ∴//平面ABC ................................6分
(Ⅱ)方法一：由于P 为AM 中点，故M A ,两点到平面PBQ 的距离相等MBQ P PBQ M PBQ A V V V ---==∴ 又8
2
222181814111=⨯⨯⨯===
∆∆∆C BC M BC BQM S S S Θ.......8分 P 点到平面BMQ 的距离h 为A 点到平面BMQ 的距离的21
，
即=
h 2
6232221=⨯⨯,.................................10分 24
3268231=⨯⨯=∴-PBQ A V .......................................12分
方法二：
8
2222181814111=⨯⨯⨯===
∆∆∆C BC M BC BQM S S S Θ....................8分 PBQ M MBQ A PBQ A V V V ----=∴.....................................10分
24326823168
231=
⨯⨯-⨯⨯=.................................12分 20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知，2212121
||||12||||12
PF PF PF PF +==，
又122||||a PF PF =+，∴22212124||||2||||16a PF PF PF PF =++=，2
4a =,
2
2
2
2
4(3)1b a c =-=-=，∴椭圆C 的方程为：2
214
x y +=．…………………5分
（Ⅱ）(i)当A ,B 是椭圆顶点时，
2
2
115
4
OA
OB
+
=
，…………………6分 (ii)当A ,B 不是椭圆顶点时，设:OA l y kx =，1
:Ob l y x k
=-
，
由2
2,141
y kx x y =⎧⎪⎨+
=⎪⎩得2
441A x k =+，2
224441k OA k +=+, 同理2244B k x k =+,22
2444
k OB k +=+,
22222
2221
1
4145554444444k k k k k k OA OB ++++=+==+++. 综上，
2
2
11OA
OB
+
为定值. …………………12分
21.（本小题满分12分）
解：已知函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞U ．
（Ⅰ）因为()f x 在()1,+∞上为减函数，故()()
2
ln 1
0ln x f x a x -'=
-≤在()1,+∞上恒成立，即当
()1,x ∈+∞时，()max 0f x '≤．
又()()
222
ln 1
11111(
)()ln ln ln 24
ln x f x a a a x x x x -'=
-=-+-=--+-， 故当
11
ln 2
x =，即2x e =时，()max 14f x a '=-．
所以104a -≤，于是14a ≥，故a 的最小值为1
4
． ………………………5分
（Ⅱ）命题“若存在2
12,[,]x x e e ∈使()()12f x f x a '≤+成立”等价于“当2
[,]x e e ∈时，有
min max ()()f x f x a '≤+” ．
由（Ⅰ）知，当2
[,]x e e ∈时，max 1()4f x a '=
-，所以max 1()4
f x a '+=． 故问题等价于：“当2
[,]x e e ∈时，有()min 14
f x ≤”
①当1
4
a ≥时，由（Ⅱ）知，()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数， 则()()22
2min
124e f x f e ae ==-≤，故211
24a e
≥-．……………8分
②当14a <
，2
[,]x e e ∈时，()1ln ln 4x x f x ax x x x =->-，由（Ⅰ）知，函数1()ln 4
x x x
x ϕ=-在2
[,]e e 上是减函数，2222
min ()()244e e e x e ϕϕ==
-=，所以()2min 144e f x >>，与1
4
a <矛盾，不合题意．
综上，得实数a 的取值范围21
1
[,)24e
-
+∞． …………………12分 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．【解析】（Ⅰ）1C
的参数方程1x a y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
，消参得普通方程为+10x y a --=， 2C 的极坐标方程为2cos 2cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得222cos 2cos 0ρθρθρ+-=即22y x =．………5分
（Ⅱ）将曲线1C 的参数方程代入曲线2
2:2C y x =
得
2
11202
t a +-=， 设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =且P 在A B ,之间，则122t t =-，
()121212
2212t t t t t t a =-⎧⎪
+=-⎨⎪=-⎩
解得71
2a =-
………10分
23.（本小题满分10分）
（Ⅰ）解：()156f x x x =-+->
1156x x x <⎧⎨-+->⎩或15156x x x ≤≤⎧⎨-+->⎩或5
156x x x >⎧⎨
-+->⎩，
解得0x <或6x >．
综上所述，不等式()6f x >的解集为 ()(),06,-∞⋃+∞……………5分 （Ⅱ）由()()15154f x x x x x =-+-≥---=（3x =时取等号）
min ()
4f x ∴=. 即4m =，从而
111
123a b c
++=，
111232323()(23)3()()()9.232332a b a c b c
a b c a b c a b c b a c a c b
++=++++=++++++≥………10分。