深圳市布吉高级中学2014届高三第一次月考(文数)

深圳市布吉高级中学2014届高三第一次月考
数学试卷（文科）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1．全集U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，3}，则图中阴影部分表示的集合为（）
A．{2} B．{3} C．{1，4} D．{1，2，3，4}
答案：B
2．已知i是虚数单位，则复数1﹣2i的虚部为（）
A．2B．1C．﹣1 D．﹣2
答案：D
3．已知曲线y=x2的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）
A．4B．3C．2D．
答案：C
4．函数的定义域是（）
A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）答案：C
5．已知，那么sinα=（）
A．B．C．D．
答案：B
6．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出s的值是（）
A．10 B．15 C．20 D．30
答案：C
7．将函数y=sinx图象上所有的点向左平移个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标
伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．
答案：A
8．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值，则a+b等于（）A．2B．3C．6D．9
解答：解：a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值，可知f′（1）=0，而f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b
故12﹣2a﹣2b=0
故a+b=6
故选C
9．已知函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2
解答：
解：由函数f（x）=，
因为﹣1＜0，所以f（﹣1）=，
所以f[f（﹣1）]=f（）=．
故选B．
10．（2013•广州一模）设函数f（x）的定义域为D．如果∀x∈D，∃y∈D，使
（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C，给出下列四个函数
①y=x3；
②；
③y=lnx；
④y=2sinx+1，
则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
解答：
解：①对于函数y=x3，定义域为R，设x∈R，由，得y3=2﹣x3，所以
∈R，所以函数y=x3是定义域上均值为1的函数；
②对于，定义域为R，设x∈R，由，得
，当x=﹣2时，，不存在实数y的值，使，所以该函数不是定义域上均值为1的函数；
③对于函数y=lnx，定义域是（0，+∞），设x∈（0，+∞），由，得lny=2
﹣lnx，则
y=e2﹣lnx∈R，所以该函数是定义域上均值为1的函数；
④对于函数y=2sinx+1，定义域是R，设x∈R，由，得siny=
﹣sinx，因为﹣sinx∈[﹣1，1]，
所以存在实数y，使得siny=﹣sinx，所以函数y=2sinx+1是定义域上均值为1的函数．所以满足在其定义域上均值为1的函数的个数是3．
故选C．
二、填空题：（本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）
11．=．
12．cos25°cos35°﹣sin25°sin35°=．
13．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为y=ex﹣e，则f′（1）=e．
14．（坐标系与参数方程选做题）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为
．
15．（几何证明选讲选做题）已知PA是⊙O的切线，切点为A，直线PO交⊙O于B、C两点，AC=2，∠PAB=120°，则⊙O的面积为4π．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（12分）已知，．试求：
（1）tanα的值；
（2）sin2α的值．
解答：
解：（1）∵，
∴cosα=﹣=﹣
∴tanα===﹣
（2）sin2α=2sinαcosα=2××=﹣
17．（12分）（2013•广东）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）
频数（个） 5 10 20 15
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．
解答：
解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．
（2）重量在[80，85）的有个．
（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：
（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．
设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，
所以．
18．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．
（I）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解答：解：（I）f′（x）=﹣3x2+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，
所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．
（II）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，
所以f（2）＞f（﹣2）．
因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，
又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，
因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．
故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，
即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．
19．（14分）（2013•广东）已知函数．
（1）求的值；
（2）若，求．
解
解：（1）
答：
（2）∵，，
∴
．
20．（14分）（2013•佛山一模）数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2，数列{b n}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{a n}与{b n}的通项公式；
（3）求证：＜5．
解答：（本题满分14分）
解：（1）∵S n=2a n﹣2，
∴当=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2；
当n=2时，S2=2+a2=2a2﹣2，解得a2=4；
当n=3时，s3=a1+a2+a3=2a3﹣2，解得a3=8．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
（2）当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣（5分）得a n=2a n﹣1又，a1=2，
∴数列{a n}是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以数列{a n}的通项公式为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
b1=a1=2，设公差为d，则由且b1，b3，b11成等比数列
得（2+2d）2=2（2+10d），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
解得d=0（舍去）或d=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∴b n=3n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
（3）令T n=
=，
∴2T n=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
两式式相减得=2+
=5﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
又＞0，故：＜5．．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14）
21．（14分）（2012•惠州模拟）已知函数x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）=﹣9，求a的最大值；
（Ⅲ）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．
解答：
解：，f'（x）=x2﹣（a+1）x+b
由f'（0）=0得b=0，f'（x）=x（x﹣a﹣1）．
（Ⅰ）当a=1时，，f'（x）=x（x﹣2），f（3）=1，f'（3）=3 所以函数f（x）的图象在x=3处的切线方程为y﹣1=3（x﹣3），即3x﹣y﹣8=0；
（Ⅱ）存在x＜0，使得f'（x）=x（x﹣a﹣1）=﹣9，
，a≤﹣7，当且仅当x=﹣3时，a=﹣7，所以a的最大值为﹣7；
（Ⅲ）当a＞0时，x，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
f（x）的极大值f（0）=a＞0，
f（x）的极小值
又，，
．
所以函数f（x）在区间内各有一个零点，
故函数f（x）共有三个零点．
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