2023-2024学年四川省成都市高一下学期期中考试数学试题

2023-2024学年四川省成都市高一下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若函数2sin y x a =+的最大值为－2，则a 的值等于（）
A ．2
B ．－2
C ．0
D ．－4
2．sin 40cos50cos40sin50︒︒+︒︒=（）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．cos10︒
3．设P 是ABC △所在平面内的一点，()
12
BP BC BA =+
，则（
）
A ．0PA P
B += B ．0PA P
C += C ．0PC PB +=
D ．0
PA PB PC ++= 4．函数()πcos 26f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的最小值和最小正周期分别是（）
A
．，πB ．－1，πC
．，2π
D ．－1，2π
5．函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，0πϕ<<）的图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（
）
A ．2，
π
3
B ．2，
π6
C ．1，
π6
D ．1，π3
6．已知1
sin 3α=，则cos2α=（）
A ．
429
B ．
29
C ．
79
D ．29
-
7．已知点O 是ABC △内部一点，并且满足20OA OB OC ++=
，AOC △的面积为1S ，BOC △的
面积为2S ，则1
2
S S =（）
A ．2
B ．3
C ．
13
D ．
12
8．在梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，22AD AB DC =
==，E 为BC 的中点，F 为AE
的中点，则CF DF ⋅=
（
）
A ．
3116B ．3316C ．3516D ．37
16
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．关于平面向量a ，b ，c
，下列说法中错误的是（
）
A ．若a ，b 为非零向量且0a b ⋅<
且a 与b 不共线，则a ，b 的夹角为钝角
B ．若a 为非零向量，则a
a
表示为与a 同方向的单位向量
C ．若a b a c ⋅=⋅
，则b c = D ．若a b ∥ ，b c ∥
，则a c
∥ 10．下列等式成立的是（）
A
．2
2
cos 15sin 152
-︒=
︒B
．ππsin
cos 882
=C ．
13
sin 40cos 40sin 7022
︒+︒=︒D
．tan152=︒11．已知函数()π
πtan 23f x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，则下列描述中正确的是（
）．
A ．函数()f x 的图象关于点1,03
⎛⎫- ⎪⎝⎭
成中心对称B ．函数()f x 的最小正周期为2C ．函数()f x 的单调增区间为514,433k k ⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭
，k ∈Z
D ．函数()f x 的图象没有对称轴
12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，O 为平面内一点，下列说法正确的有（）
A ．若ABC △为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A
B
C A B C
++=B ．若0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=
，则O 为ABC △的内心
C ．已知ABC △中，60A ∠=︒，6c =，4b =，O 为ABC △的外心，若AO AB AC λμ=+
，则
λμ+的值为
13
D ．在ABC △中，1a b ==，π
4C ∠=，若CP 与线段AB 交于点Q ，且满足CP CA CB λμ=+ ，
2CP = ，则λμ+的最大值为
433
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若1a = ，2b = ，且a 与b 的夹角为2π
3
，则a b ⋅= ______．
14．如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角60α=︒，在塔底C 处测得点A 的俯角45β=︒，
已知铁塔BC 部分高32米，山高CD =______米．
15．已知向量()1,0a =
，)
b =
，则b 在a
方向上的投影向量坐标为______．
16．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若30C =︒，4c =的ABC △恰有一个，则实数b 的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知平面向量()4,3a =-
，()5,0b = ．
（1）求a 与b
的夹角的余弦值；
（2）若向量a kb + 与a kb -
互相垂直，求实数k 的值；
18．（本小题满分12分）已知π,02θ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，且23tan 8tan 30θθ--=，求下列各式的值．（1）
sin 2cos sin 5cos θθ
θθ
+-；（2）1sin 2θ+．
19．（本小题满分12分）在
2cos 2a C c b +=，2
3
cos cos cos 24
B C B C --=
，③()
2
sin sin B C +=2sin 3sin sin A B C +，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解
答．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且______．（1）求角A 的大小；
（2）若a =ABC △的面积为
3
2
，求ABC △的周长．20．（本小题满分12分）已知α，β均为锐角，且3sin 5α=，()5sin 13
αβ-=-．（1）求cos β的值；（2）求()sin αβ+的值．
21．（本小题满分12分）已知在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，
sin c
C
=
．（1）求B 的大小；
（2）若6b =，求a c +的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知向量2πsin ,cos 6a x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()cos ,1b x =- ．
设函数()1
22
f x a b =⋅+ ，x ∈R ．
（1）求函数()f x 的解析式及其单调减区间；（2）若将()y f x =的图像上的所有点向左平移
π
4
个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()h x 的图像．当π,2x m m ⎡⎤∈+
⎢⎥⎣
⎦（其中π0,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
）时，记函数()h x 的最大值与最小值分别为()max h x 与()min h x ，设()()()max min m h x h x ϕ=-，且使对
π0,2m ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
都有()k m ϕ≥成立，求实数k 的最小值．
考试答案
一、单选题：1～4DCBD 5～8ACAB
二、多选题：9．CD
10．AD 11．BD 12．AB
三、填空题：13．－114
．)
161+米
15
．
)
16．(]{}0,48⋃四、解答题
17．解（1）∵()4,3a =-
，()5,0b =
，
∴()453020a b ⋅=⨯+-⨯= ，
5a == ，5b = ，
∴204cos ,555
a b a b a b ⋅==
=⨯⋅ ，即a 与b 的夹角的余弦值为4
5．（2）∵向量a kb + 与a kb -
互相垂直，
∴()()
222
0a kb a kb a k b +⋅-=-= ．
∵2225a b == ，∴2
25250k -=，∴1k =±．
18．解（1）由2
3tan 8tan 30θθ--=，解得1tan 3
θ=-或tan 3θ=，
又因为π,02θ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，1tan 3θ=-．
则
12
sin 2cos tan 25
31sin 5cos tan 516
53
θθθθθθ-+++===-----．（2）2222
sin cos 2sin cos 12sin cos sin cos θθθθ
θθθθ
+++=+．2
2121tan 12tan 2931tan 1519
θθθ+-
++==
=++．19．解：（1）选①，由正弦定理得
()()2sin cos sin 2sin 2sin 2sin cos cos sin A C C B A C A C A C +==+=+，
即()sin 2cos 10C A -=．
因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1
cos 2
A =
．
又()0,πA ∈，从而得π3
A =
．选②，因为()2
1cos cos cos cos cos cos 22B C B C
B C B C
+---=-()1cos 1cos cos sin sin 3
224
B C B C B C -+-+=
==，
所以()1cos 2B C +=-
，()1
cos cos 2
A B C =-+=．又因为()0,πA ∈，所以π
3
A =．
选③，因为()2
2
sin sin sin 3sin sin B C A B C +=+，
所以，222
sin sin 2sin sin sin 3sin sin B C B C A B C ++=+，即2
2
2
sin sin sin sin sin B C A B C +-=，所以2
2
2
b c a bc +-=，
2221cos 22
b c a A bc +-==．因为()0,πA ∈，所以π
3A =．
（2）由余弦定理2
2
2
2cos a b c bc A =+-，得2
2
3b c bc +-=，由1
sin 2
ABC S bc A =
△，得2bc =，则2235b c bc +=+=．所以()2
2
2
25229b c b c bc +=++=+⨯=，3b c +=，
所以3a b c ++=
故ABC △的周长为3．20．解（1）由3sin 5α=
，得3cos 5
α=，()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦412353351351365
⎛⎫=
⋅+⋅-=
⎪⎝⎭．（2）由3sin 5α=
，得4cos 5α=，从而3424sin 225525
α=⨯⨯=又因为27
cos 212sin 25
αα=-=，
()()()()sin sin 2sin 2cos cos 2sin αβααβααβααβ⎡⎤+=--=---⎣⎦241275323
25132513325
=
⨯+⨯=
．21．解：（1
sin c C =
sin sin C C =，
整理得tan B =，又()0,πB ∈，所以π3B =；即B 的大小为π
3
．（2
）因为
sin sin sin a c b A C B ===
所以a A =
，c C =，又πA B C ++=，所以2π
3
C A =-；
所以2sin sin π3a c A C A A ⎡⎤⎛⎫+=+=+-
⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
223sin cos sin πsin cos πsin cos 3322A A A A A ⎫⎫=+-=+⎪⎪⎪⎭⎭
π12sin 6A ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
又因为2π
03
A <<，则
ππ5π666A <+<
，所以1πsin 126A ⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭（当且仅当π3A =时，等号成立），可得(]π12sin 6,126a c A ⎛
⎫
+=+
∈ ⎪⎝
⎭
，即a c +的取值范围是(]6,12．22．解：（1）由题意可知(
)2
112cos sin cos 2cos 222f x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭
()21311
cos cos sin 21cos 22222
x x x x x =-+
=-+
+1sin 2cos 2sin 2226x x x π⎛
⎫=
-=- ⎪⎝
⎭，∴()πsin 26f x x ⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭
．
由
ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+，k ∈Z ，可得π5πππ36
k x k +≤≤+，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调减区间为π5ππ,π36k k ⎡⎤
++⎢
⎥⎣⎦
，
（k ∈Z ）．（2）将()y f x =的图像上的所有的点向左平移π
4
个单位，可得函数πππsin 2sin 2463y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()πsin 3y h x x ⎛⎫==+
⎪⎝
⎭
，∴()πsin 3h x x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
，∵π,2x m m ⎡⎤∈+
⎢⎥⎣
⎦，∴ππ5π,336x m m ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦
①若π06m ≤≤
，()max 1h x =，()min π5πsin 26h x h m m ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，此时()5π1sin 6m m ϕ⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭
；②若
ππ62m <≤，()()max πsin 3h x h m m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()min π5πsin 26h x h m m ⎛⎫⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
此时()π5πsin sin 36m m m ϕ⎛
⎫⎛⎫=+
-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭；∴综上()5ππ1sin ,066π5πππ
sin sin ,3662m m m m m m ϕ⎧⎛⎫-+≤≤ ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨
⎛⎫⎛⎫⎪+-+<≤ ⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎩当π06m ≤≤
时，()5π1sin 6m m ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π06m ≤≤的最大值为()max
π16m ϕϕ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，当
ππ62m <≤时，有(
)π5ππsin sin 3612m m m m ϕ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
所以()max 5π12m ϕϕ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
所以实数k ．。