第六章：离散系统的z域分析

为了简便,序列仍用f(k)表示:
f ( k ) = f ( k T ) = f (t )
t = kT
T为取样周期
二、 Z变换 Z变换的定义:
双边z变换:
F ( z) =
k =−∞
∑
∞
∞
f (k ) z − k
( k = 0, ±1, ±2,.....)
单边z变换:
F ( z ) = ∑ f [k ]z − k
山东科技大学精品课程
信号与系统
Signals&Systems
主讲人：郭银景
第六章 离散系统的z域分析
目录
6.1 z变换 6.2 z变换的性质 6.3 逆z变换 6.4 z域分析
§6.1 z 变换
一.
从拉普拉斯变换到Z变换
f s ( t ) = f ( t )δ T ( t ) = f ( t )
Im[z] Im[z] Im[z]
0
Re[z]
0
Re[z]
0
Re[z]
因果序列的收敛域 反因果序列的收敛域 双边序列的收敛域
§6.2
一、线性
z变换的性质
f1 ( k ) ↔ F1 ( z ), a1 < z < β1 ⎫ ⎪ ⎬ f 2 ( k ) ↔ F2 ( z ), a2 < z < β 2 ⎪ ⎭
1 + z + 3 z + 5 z + ... 2 2 z −z−2 z
长 除 法
−1
−2
−3
z2 − z − 2 z+2 z − 1 − 2 z −1 3 + 2 z −1 . . ......
即:
z F ( z) = 2 = 1 + z −1 + 3z −2 + 5z −3 + ... z − z −2
二、移位(移序)特性 1. 双边z变换的移位
若
f (k ) ↔ F ( z ) ,a < z < β f ( k ± m ) ↔ z ± m F(z) , a < z < β
且有整数m>0,则
2. 单边z变换的移位
若 f (k ) ↔ F ( z ) , z > α
且有整数m>0,则
和
⎫ −2 −1 ⎪ f ( k − 2) ↔ z F(z)+ f (-2)+ f (-1) z ⎪ ⎪ ⎬ ...... ⎪ m −1 f ( k − m ) ↔ z − m F(z)+ ∑ f (k-m) z − k ⎪ ⎪ k =0 ⎭ f (k + 1) ↔ zF(z)-f (0)z ⎫ ⎪ 2 2 f (k + 2) ↔ z F(z)+f (0)z + f (-1)z ⎪ ⎪ ...... ⎬ ⎪ m−1 f (k + m) ↔ z mF(z)-∑ f (f -m)z m−k ⎪ ⎪ k =0 ⎭ f ( k − 1) ↔ z − 1F(z)+ f (-1)
k = −∞
对f(t)进行取样
∑
∞
f ( kT )δ ( t − kT )
取双边拉氏变换
F (s) =
k = −∞
∑
∞
∞
f ( kT )e − kTs
令 z = e sT , 得
F (z) =
k = −∞
∑
f ( kT ) z − k
上式就称为序列 f (kT ) 的双边z变换
⎧ z = e sT ⎪ 复 变 量 z 与 s的 关 系 是 ⎨ 1 ⎪ s = ln z ⎩ T
−k
1 z
1 − z z a − k −1ε ( − k − 1) ↔ = a 1 − az z − 1 a 齐次性
左移1个单位
−z 1 a ε (− k − 1) ↔ ,z < 1 α z− a
−k
八、部分和
若
则
f (k ) ↔ F ( z )
α< z <β
g (k ) = ∑
i =1
k i =0
七、k域反转
若
则
f (k ) ↔ F ( z) α < z < β
f (−k ) ↔ F ( z ),
−1
1
β
<z <
1
α
例:已知
z , z >a a ε (k ) ↔ z−a
k
求
a − k ε (− k − 1)
的z变换
由已知:
1 1 a ε (− k ) ↔ = , z < 1 α − a 1 − az z
三.
若
序列乘
α
k
(Z域尺度变换)
f (k ) ↔ F(z) , α< z <β z a aα< z <β a
且 有 常数 a ≠ 0, 则
α k f (k ) ↔ F( )
例:
z sin( β ) sin( β k )ε (k ) ↔ 2 , z >1 z − 2 zco s( β ) + 1
z sin(β ) az sin(β ) k a = 2 α sin(βk)ε (k) ↔ 2 , z >a 2 z − 2azcos(β ) + a ⎛z⎞ ⎛z⎞ ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ cos(β ) +1 ⎝a⎠ ⎝a⎠
F(z)的分母多项式为A(z), A(z)=0有n个根 z1, z2 ,..., zn 他们称为F(z)的极点.
,
1. F(z)为单极点
F ( z) = K0 + ∑
i =1
n
Ki z z − zi
求法: 根据已知的收敛域,将上式划分为F1 ( z )( z > a ) 和 F2 ( z )( z < β ) 两部分,根据已知的变换对,如:
a1 f1 (k ) + a2 f 2 (k ) ↔ a1 F1 ( z ) + a2 F2 ( z )
根 据 线 性 性 质 可 求 出 c o s ( β k )ε ( k )和 s in ( β k ) ε ( k )的 z 变 换
1 jβ k ⎫ − jβ k cos( β k ) = (e + e ) ⎪ 2 ⎪ 1 jβ k − jβ k ⎬ sin( β k ) = (e − e ) ⎪ 2j ⎪ ⎭
−1
六、序列除(k+m)(z域积分)
若
f (k ) ↔ F ( z )
, α< z <β
设有整数m,且k+m>0,则
∞ F (η ) f (k ) m ↔ z ∫ m +1 dη , α < z < β z η k+m
若m=0且k>0,则
∞ F (η ) f (k ) ↔∫ dη , α < z < β z η k
2
二、部分分式展开法 如果象函数是z的有理分式,可以写成:
F ( z ) B( z ) B( z ) = = z zA( z ) z ( z n + an −1 z n −1 + L + a1 z + a0 )
m≤n
F ( z) B( z) B( z) = = z zA( z) z ( z n + an−1 z n−1 + L + a1 z + a0 )
k
1 f (i ) ↔ F ( z ), max(a,1) z < β z −1
例:
i a 求序列 ∑ (a为实数)的z变换
z ,z >a a ε (k ) ↔ z−a
k
z z a ↔ ∑ z −1 z − a i =−∞
i
k
z > max( a ,1)
九、初值定理和终值定理 1. 初值定理 如果序列在k<M时,f(k)=0,它与象限的关系为
k =0
( k = 0,1, 2,.....)
f ( k )与 F ( z ) 之 间 的 关 系 简 记 为
f (k ) ↔ F ( z )
三.收敛域
可和条件 → F ( z ) =
k =−∞
∑
∞
f (k ) z − k < ∞
(Z变换存在的充要条件)
⎧1 例 如 ： f [k ] = ⎨ ⎩0 F (z) =
1 例：求序列 ε ( k )的Z变换 k +1
1 Q ε (k ) ↔ z −1
由z域积分性质,得:
∞ 1 η ⎛ 1 ⎞ ε (k ) ↔ z ∫ dη = ln ⎜ ⎟ 2 z η −1 η 1 − k +1 z ( ) ⎝ ⎠
1 ⎛ 1 ⎞ ∴ ε (k ) ↔ z ln ⎜ ⎟, z >1 k +1 ⎝ z −1 ⎠
0 ≤ k ≤ N −1 其它
的 z变 换 为
∑
N −1 k =0
z −k
1− z−N = ,收 敛 域 为 z > 0 −1 1− z
几种常见序列的z变换:
z z jβ k ε(k) ↔ , z >1 , z >1 e ε(k) ↔ jβ z −1 z −e z z − jβ k k , z >a , z >1 a ε(k) ↔ e ε(k) ↔ jβ z−a z+e −z z k k , z > a b ε(-k-1) ↔ , z >b ( −a ) ε(k) ↔ z+a z −b −z −z k ε(-k-1) ↔ , z >1 , z <b −b ε(-k-1) ↔ z −1 z +b
Z [ cos( β k )ε (k ) ] 1 1 jβ k − jβ k ⎤ ⎡ ( ) = Z⎡ + e ε k Z e ε (来自百度文库 ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2
z 2 − z cos β cos( β k )ε ( k ) ↔ 2 , z >1 z − 2 z cos β + 1 z sin β sin( β k )ε ( k ) ↔ 2 , z >1 z − 2 z cos β + 1
四、卷积定理:
若
f1 (k ) ↔ F1 ( z ) f 2 (k ) ↔ F2 ( z )
, α1 < z < β1 , α 2 < z < β2
则
f1 (k ) * f 2 (k ) ↔ F1 ( z ) F2 ( z )
五、序列乘 k (Z域微分):
若
f (k ) ↔ F ( z )
, α< z <β
2. 终值定理 如果序列在k<M时,f(k)=0,设
f (k ) ↔ F ( z ), α < z < ∞
且
0 ≤ z < 1 ,则序列的终值为:
z −1 f (∞) = lim f (k ) = lim F ( z) k →∞ z →1 z
或写为
f (∞) = lim( z − 1) f ( z )
F2 ( z ) =
k =0 −1 k =−∞
∑
f (k ) z− k , z <β
一、幂级数展开法 已知象函数:
z2 F ( z) = = 2 , z >2 ( z + 1)( z + 2 ) z − z − 2
z2
求其对应的原序列. 分析:由于F(z)的收敛域为 z > 2 即半径为2的圆外域, 故f(k)为因果序列. 用长除法将F(z)(其分子,分母按z的降幂排 −1 列)展开为z 的幂级数如下:
则:
d kf (k ) ↔ − z F ( z ) dz d k f (k ) ↔ − z dz
2
⎡ d ⎤ ⎢− z F ( z)⎥ ⎣ dz ⎦
m
...... ⎡ d⎤ k f (k ) ↔ ⎢ − z ⎥ F ( z ), α < z < β ⎣ dz ⎦
m
⎡ d⎤ ⎞⎞ ⎞ d⎛ ⎛ d⎛ d 注: ⎢− z ⎥ F ( z) = − z ⎜ ... ⎜ ⎟ ⎜ − z ⎜ − z F ( z) ⎟ ⎟ ⎟ ... ⎟ ⎜ dz ⎝ ⎝ dz ⎝ dz ⎣ dz ⎦ ⎠⎠ ⎠
f (k ) ↔ F ( z ), α < z < ∞
则序列的初值为
⎧ f ( M ) = lim z M F ( z ) z →∞ ⎪ ⎪ M +1 ⎡ f ( M 1) lim z F ( z ) − zF ( M ) ⎤ + = ⎨ ⎣ ⎦ z →∞ ⎪ M +2 2 z F ( z ) z F ( M ) − zF ( M + 1) ⎤ − ⎪ f ( M + 2) = lim ⎡ ⎣ ⎦ z →∞ ⎩
z →1
例 ：某因果序列的z变换为(设a为实数)
z F ( z) = ,z > a z−a
求 f (0), f ( ∞ )
z 解 ： f (0) = lim =1 z−a ⎧0, a <1 ⎪ (z −1) z (z −1) z ⎪1, a =1 a < 1 lim =⎨ f ( ) lim 0 ∞ = = z→ 1 z→1 z z − a ⎪0, a = −1 z = 1 z z −a ⎪0, a >1 ⎩
m
例:
求F ( z ) = ln(1 + az )的反 变 换 f (n) az −1 k −1 ( ) ↔ − ε (k − 1) a a Q kf (k ) ↔ − zF '( z ) = −1 1 + az k −1 k a (− a ) ε (k − 1) (− a ) ε (k − 1) ∴ f (k ) = = k k
§6.3
逆 z 变 换
非因果序列 因果序列
f (k ) = f1 (k ) + f 2 (k ) = f (k )ε (− k − 1) + f (k )ε (k ) 14 4 244 3 1 4 24 3
F ( z ) = F2 ( z ) + F1 ( z ) , α < z < β 14 4 244 3 ∞ F1 ( z ) = ∑ f ( k ) z − k , z > a