中考数学真题分类汇编专题复习考试(七)几何综合题(答案不全)

专题复习（七）几何综合题
类型1 类比探究的几何综合题
类型2 与图形变换有关的几何综合题
类型3 与动点有关的几何综合题
类型4 与实际操作有关的几何综合题
类型5 其他类型的几何综合题
类型1 类比探究的几何综合题
（2018苏州）
（2018烟台）
（2018东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
3，BO：CO=1:3，求AB的长．如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=3
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB= °，AB= ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
D
C
A
B
O
D
A
C
B
O
C
A
如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥AD ，
AO =33，∠ABC =∠ACB =75°， BO ：OD =1:3，求DC 的长．
（2018长春）
（2018陕西）
(第24题图1)
(第24题图2)
(第24题图3)
（2018齐齐哈尔）
（2018河南）
（2018仙桃）
问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．
（2018襄阳）如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
(1)证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：AG
BE
的值为；
(2)探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数量关
系，并说明理由；
(3)拓展与运用
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=22，则BC= ．
（2018淮安）
（2018咸宁）
（2018黄石）在△ABC 中，E 、F 分别为线段AB 、AC 上的点（不与A 、B 、C 重合）. （1）如图1，若EF ∥BC ，求证：
AEF ABC S AE AF
S AB AC
∆∆=g g （2）如图2，若EF 不与BC 平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若EF 上一点G 恰为△ABC 的重心，
3
4
AE AB =,求AEF ABC S S ∆∆的值.
F
E
B
C B C E
F
F
G
B
C
E
（2018山西）
（2018盐城）【发现】如图①，已知等边ABC ，将直角三角形的60o
角顶点D 任意放在BC 边上（点D 不与点B 、C 重合）
，使两边分别交线段AB 、AC 于点E 、F .
（1）若6AB =，4AE =，2BD =，则CF =_______； （2）求证：EBD DCF ∆∆:.
【思考】若将图①中的三角板的顶点D 在BC 边上移动，保持三角板与AB 、AC 的两个交点E 、F 都存在，连接EF ，如图②所示.问点D 是否存在某一位置，使ED 平分BEF ∠且FD 平分CFE ∠？若存在，求出BD
BC
的值；若不存在，请说明理由.
【探索】如图③，在等腰ABC ∆中，AB AC =，点O 为BC 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O 处（其中MON B ∠=∠），使两条边分别交边AB 、AC 于点E 、F （点E 、F 均不与ABC ∆的顶点重合），连接EF .设B α∠=，则AEF ∆与ABC ∆的周长之比为________（用含α的表达式表示）.
（2018绍兴）
（2018达州）
（2018菏泽）
（2018扬州）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D 、N 和E 、C ，DN 与EC 相交于点P ，求tan CPN ∠的值. 方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中CPN ∠不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点M 、N ，可得//MN EC ，则
DNM CPN ∠=∠，连接DM ，那么CPN ∠就变换到中Rt DMN ∆.
问题解决
（1）直接写出图1中tan CPN ∠的值为_________；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN 与CM 相交于点P ，求cos CPN ∠的值； 思维拓展
（3）如图3，AB BC ⊥，4AB BC =，点M 在AB 上，且AM BC =，延长CB 到N ，使2BN BC =，连接AN
交CM 的延长线于点P ，用上述方法构造网格求CPN ∠的度数.
（2018常德）已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于O 点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC 于E ,过D 作DH AE ⊥于H ,设直线DH 交AC 于N .
（1）如图14，当M 在线段BO 上时，求证：MO NO =；
（2）如图15，当M 在线段OD 上，连接NE ,当//EN BD 时，求证：BM AB =； （3）在图16，当M 在线段OD 上，连接NE ,当NE EC ⊥时，求证：2
AN NC AC =⋅.
（2018滨州）
（2018湖州）
（2018自贡）如图，已知AOB 60∠=o ,在AOB ∠的平分线OM 上有一点C ,将一个120°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA OB 、相交于点D E 、 . ⑴当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），请猜想OE OD +与OC 的数量关系，并说明理由； ⑵当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，⑴中的结论是否成立？并说明理由； ⑶当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD OE 、与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
（2018嘉兴、舟山）
A
O B
M
C
图3
D
E A
O B
M
C D
E
A
O M
C
.（2018淄博）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC ，其中AB AC =，在ABC ∆的外侧分别以
,AB AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD ACE ，，分别取,BD CE ，BC 的中点,,M N G ，连接,GM GN .小
明发现了：线段GM 与GN 的数量关系是 ；位置关系是 . （2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三角形，其中AB AC >，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由. （3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究.向ABC ∆的内侧分别作等腰直角三角形,ABD ACE ，其它条件不变，试判断GMN ∆的形状，并给与证明.
类型2 与图形变换有关的几何综合题
（2018宜昌）在矩形ABCD 中，12AB =，P 是边AB 上一点，把PBC V 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是点
G ，过点B 作BE CG ⊥，垂足为E 且在AD 上，BE 交PC 于点F .
(1)如图1，若点E 是AD 的中点，求证:AEB DEC ∆∆≌； (2) 如图2，①求证: BP BF =；
②当AD 25=，且AE DE <时，求cos PCB ∠的值； ③当BP 9=时，求BE EF g 的值.
图1 图2 图2备用图 23.(1)证明：在矩形ABCD 中，90,A D AB DC ∠=∠==o
, 如图1，又AE DE =Q ，
图1
ABE DCE ∆≅∆,
(2)如图2，
图2
①在矩形ABCD 中，90ABC ∠=o ,
BPC ∆Q 沿PC 折叠得到GPC ∆
90PGC PBC ∴∠=∠=o ,BPC GPC ∠=∠
BE CG ⊥Q //BE PG ∴, GPF PFB ∴∠=∠
BPF BFP ∴∠=∠ BP BF ∴=
②当25AD =时，
90BEC ∠=o Q
90AEB CED ∴∠+∠=o , 90AEB ABE ∠+∠=o Q ,
CED ABE ∴∠=∠
又90A D ∠=∠=o Q ,
ABE DEC ∴∆∆∽
AB DE
AE CD ∴
=
∴设AE x =，则25DE x =-，
122512
x
x -∴
=
， 解得19x =，216x =
AE DE <Q 9,16AE DE ∴==, 20,15CE BE ∴==,
由折叠得BP PG =，
BP BF PG ∴==, //BE PG Q , ECF GCP ∴∆∆∽
EF CE
PG CG
∴
=
设BP BF PG y
===，
1520
25
y y -∴
= 253y ∴=
则25
3
BP = 在Rt PBC ∆中，25103PC =
,310
cos 25103
BC PCB PC ∠=== ③若9BP =,
解法一：连接GF ，（如图3）
90GEF BAE ∠=∠=o Q , //,BF PG BF PG =Q
∴四边形BPGF 是平行四边形
BP BF =Q ,
∴平行四边形BPGF 是菱形
//BP GF ∴, GFE ABE ∴∠=∠, GEF EAB ∴∆∆∽
EF AB
GF BE
∴
=
129108BE EF AB GF ∴==⨯=g g
解法二：如图2，
90FEC PBC ∠=∠=o Q ,
EFC PFB BPF ∠=∠=∠, EFC BPC ∴∆∆∽
EF CE
BP CB
∴
=
又90BEC A ∠=∠=o Q , 由//AD BC 得AEB EBC ∠=∠,
AEB EBC ∴∆∆∽
AB CE
BE CB ∴
=
AE EF
BE BP ∴=
129108BE EF AE BP ∴==⨯=g g
解法三：（如图4）过点F 作FH BC ⊥，垂足为H
BPF PFEG
S BF BF
S EF PG BE
∆=
=+四边形
图4
1212
BFC BEC S BF EF BC EF
BE S BC ∆∆⋅===⨯ 912
EF
BE ∴
=
129108BE EF ∴=⨯=g
（2018邵阳）
（2018永州）
（2018无锡）
（2018包头）
（2018赤峰）
（2018昆明）
（2018岳阳）
（2018宿迁）
（2018绵阳）
（2018南充）
（2018徐州）
类型3 与动点有关的几何综合题（2018吉林）
（2018黑龙江龙东）
（2018黑龙江龙东）
（2018广东）已知Rt△OAB，∠OAB=90o，∠ABO=30o，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60o，如图25-1图，连接BC.
（1）填空：∠OBC=_______o；
（2）如图25-1图，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
（3）如图25-2图，点M、N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？（结果可保留根号）
（2018衡阳）
（2018黔东南）如图1，已知矩形AOCB ，6AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 出发，以3/cm s 的速度向点O 运动，直到点O 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2/cm s 的速度向点B 运动，与点P 同时结束运动.
（1）点P 到达终点O 的运动时间是________s ，此时点Q 的运动距离是________cm ； （2）当运动时间为2s 时，P 、Q 两点的距离为________cm ； （3）请你计算出发多久时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ；
（4）如图2，以点O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC ，与PQ 相交于点D ，若双曲线k
y x
=过点D ，问k 的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k 的值.
（2018青岛）已知：如图，四边形ABCD ，//,AB DC CB AB ⊥，16,6,8AB cm BC cm CD cm ===，动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2/cm s .点P 和点Q 同时出发，以QA QP 、为边作平行四边形AQPE ，设运动的时间为()t s ，05t <<.
根据题意解答下列问题： （1）用含t 的代数式表示AP ；
（2）设四边形CPQB 的面积为()
2S cm ，求S 与t 的函数关系式；
（3）当QP BD ⊥时，求t 的值；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点E 在ABD ∠的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.
（2018广州）如图12，在四边形ABCD 中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC. (1)求∠A+∠C 的度数
（2）连接BD,探究AD,BD,CD 三者之间的数量关系，并说明理由。

（3）若AB=1，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足2
2
2
+CE AE BE =,求点E 运动路径的长度。

（2018温州）
（2018江西）
（2018潍坊）
类型4 与实际操作有关的几何综合题
（2018徐州）如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板
．．．．DEF
．．．绕点
．．E．旋转
．．，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q
【探究一】在旋转过程中，
（1）如图2，当CE
1
EA
＝时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.
（2）如图3，当CE
2
EA
＝时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.
（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CE
EA
＝m时，EP与EQ满足的数量关系式
为_________,其中m的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)
【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：
（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. （2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.
（2018成都）
（2018枣庄）
（2018德州）
类型5 其他类型的几何综合题（2018宁波）
（2018安徽）如图1,Rt △ABC 中,∠ACB =90°，点D 为边AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，点M 为BD 中点，CM 的延长线交AB 于点F. （1）求证:CM=EM ；
（2）若∠BAC =50°,求∠EMF 的大小；
（3）如图2,若△DAE ≌△CEM ,点N 为CM 的中点,求证:AN ∥EM.
17. （1）证明：∵M 为BD 中点 Rt △DCB 中，MC=
2
1BD Rt △DEB 中，EM=21
BD
∴MC=ME
（2）∵∠BAC=50° ∴∠ADE=40° ∵CM=MB ∴∠MCB=∠CBM
∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM 同理，∠DME=2∠EBM ∴∠CME=2∠CBA=80° ∴∠EMF=180°-80°=100° （3）同（2）中理可得∠CBA=45° ∴∠CAB=∠ADE=45° ∵△DAE ≌△CEM
∴DE=CM=ME=21
BD=DM ，∠ECM=45°
∴△DEM 等边 ∴∠EDM=60° ∴∠MBE=30° ∵∠MCB+∠ACE=45° ∠CBM+∠MBE=45°
∴∠ACE=∠MBE=30° ∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75° 连接AM ，∵AE=EM=MB ∴∠MEB=∠EBM=30°
∠AME=21
∠MEB=15°
∵∠CME=90°
∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM ∴AC=AM ∵N 为CM 中点 ∴AN ⊥CM ∵CM ⊥EM ∴AN ∥CM
（2018金华、丽水）在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AC =12.点D 在直线CB 上，以CA,CD 为边作矩形ACDE ,直线AB 与直线CE ,DE 的交点分别为F,G .
（1）如图，点D 在线段CB 上，四边形ACDE 是正方形.
①若点G 为DE 中点，求FG 的长. ②若DG=GF ，求BC 的长.
（2）已知BC =9，是否存在点D ,使得△DFG 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.
（2018金华（丽水））在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AC =12.点D 在直线CB 上，以CA,CD 为边作矩形ACDE ,直线AB 与直线CE ,DE 的交点分别为F,G .
（1）如图，点D 在线段CB 上，四边形ACDE 是正方形.
①若点G 为DE 中点，求FG 的长. ②若DG=GF ，求BC 的长.
（2）已知BC =9，是否存在点D ,使得△DFG 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.
A
B
D
C
F
G E
第24题图
(2018眉山）如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
(2018泰安)。