应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

第一章习题解答
1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k === 。

求X 的特征函
数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解 0
()()jtx
jtk
k X k f t E e
e
pq ∞
===
∑
()k jtk
k p q e
∞
==∑ =0
()1jt k
jt
k p
p qe qe ∞
==
-∑
又200
()k
k
k k q q
E X kpq p kq p p p ∞∞
======∑∑
222
()()[()]q D X E X E X P =-=
（其中 00
(1)n
n
n n n n nx
n x x ∞
∞
∞
====+-∑∑∑）
令 0
()(1)n n S x n x ∞
==+∑
则 1000
()(1)1x
x
n
n k n x
S t dt n t dt x x
∞
∞
+===
+=
=
-∑∑⎰⎰
20
220
1
()()(1)11(1)1(1)x
n n d
S x S t dt dx
x x
nx x x x ∞
=∴=
=-∴=-=
---⎰∑
同理 2
(1)2k
k
k
k k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞
=====+--∑∑∑∑
令20
()(1)k k S x k x ∞
==+∑ 则
21
1
()(1)(1)x
k
k k k k k S t dt k t dt k x
kx ∞∞
∞
+====+=+=∑∑∑⎰）
2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为
1,0()0,0()
0,0p p bx
b x e x p x b p p x --⎧>⎪
=>>Γ⎨⎪≤⎩
（2） 其期望和方差；
（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则
10
()()
p jtx
p bx
X b f t e
x e dx p ∞
--=Γ⎰ 1()0
()p p jt b x b x e dx p ∞
--=Γ⎰
101
()()()()(1)
p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b
∞
----==Γ---⎰ 1
(())x p p e x dx ∞
--Γ=
⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b
∴=
= 2''22
1(1)
()(0)X p p E X f j b +=
= 2
2
2()()()P
D X
E X E X b
∴===
（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则
121212()
()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b
-++==-
1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+
同理可得：
()()i
i
P X b f t b jt
∑=∑-
3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量
的特征函数。

（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）ln (),()(k Z F X E Z k =并求是常数）。

解 （1）11{()}{()}[()]P F x y P x F y F F y y --<=<== （01y ≤≤）
∴ 0
()0111
y F y y
y y <⎧⎪
=≤≤⎨⎪>⎩
∴()F x 在区间[0，1]上服从均匀分布
()F x ∴的特征函数为1
1
00
1()(1)jtx jtx jt X e f t e dx e jt jt ===-⎰ 1()()(1)
jbt jbt jta Y X f t e f at e e jat
==- （2）ln ()
()()[]jtz jt F x Z f t E e E e
== =1
ln 0
1jt y
e dy ⋅⎰
=1
1
1jt
y dy jt =+⎰
'2()(1)(1)Z f t j jt -∴=-⋅⋅+
''23()(1)(2)(1)Z f t j jt -=--⋅⋅+
()(1)
()(1)!(1)
k k k k Z f t k j jt -+=-⋅⋅+
()1()(0)(1)!k k k
Z k E Z f k j
∴=
=- 4、设12n X X X ，，相互独立，且有相同的几何分布，试求1
n
k k X =∑的分布。

解
1
1
()()n
k
k n
k
k jt
x X f
t E e
==∑=∑
=1
()k
n
jtx k E e =∏
=11n
jt
k p
qe
=-∏
=(1)n jt n p qe - =0()k n k jtk n k C p q e ∞
=-∑
∴1
{}()n
k n k k n k P x n k C p q ==+=-∑
5、 试证函数(1)
()(1)
jt jt jt e e f t n e -=-为一特征函数，并求它所对应的随机变量
的分布。

证 （1）000(1)1(1)
lim ()lim lim 1(1)1jt jnt jt jt jt
jt
t t t e e e e f t n e n e +++→→→--===-- 0000(1)1(1)lim ()lim lim lim 1(1)1jt jnt jt jt jt jt t t t t e e e f t e n e n e
----
→→→→--===-- (0)1f ∴=
lim ()1t f t →= ∴ ()f t 为连续函数
11
11
{1()}()(1)
i i k
k i
k jt jt n
n n
n n
jt jt i
k i k i k
jt i k i k jt e e e e f t
t e
n e
λλλλ====--=-∑∑∑∑
=11{1()(1)}(1)
i i i
k
k k i
k jt jt jt n n jt jt jt i k jt i k jt e e e e e e e
n e
λλ==-++-∑∑ =()111
1[]i k n n n j t t l
i k
i k l e n λλ-===∑∑∑
=1111i
k jlt n n n
i k jlt i k l e
n e
λλ===∑∑∑
=1111
1i k
n n n n jlt jlt i k i l k l e e
n λλ-====∑∑∑∑ 11
()0n n
i
k
i
k
i k f t t λλ
==∴
-≥∑∑
∴非负定
（2）(1)
()(1)
jt jnt jt e e f t n e -=-
=2(1)(1)(1)
(1)
jt jt jt jt n tj jt
e e e e e n e --+++- =1
1n jtk
k e n =∑
∴1{}k P x k n
≤= （0,2,k n = ）
6、证函数2
1
()1f t t =
+为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

解 （1）
11
()n
n
i
k
i k
i k f t t λλ
==-∑∑
=2
2
1
11
101()
1n n
n n
i k
i k
i k i k i k t t M
λλλλ====≥≥+-+∑∑
∑∑
（1,max{}i k i j n
M t t ≤≤=-）
且()f t 连续(0)1f = ∴()f t 为特征函数 （2）2211111
()[]11()211f t t jt jt jt
=
==++--+ =(1)(1)0
1[]2jt x
jt x e
dx e dx ∞
∞
+---⎰⎰ =12jtx x
e
dx ∞
--∞
⎰ =12x
jtx e e dx ∞
--∞
⎰ ∴1()2
x P x e -=
7、设12n X X X ，，相互独立同服从正态分布2(,)N αδ，试求n 维随机向量
12(,,)n X X X 的分布，
并求出其均值向量和协方差矩阵，再求X 1
1n
i i X n ==∑的率密度函数。

解 121
(,,)()i
n
n x i i P x x x P
x ==
∏
2
1
2
2
()
1exp{}2(2)n
i i n n
x a σ
πσ=-=
-
∑
又 i X 的特征函数为：221
2
()exp{}i X f t jat t σ=- 12221
,12
21
1
(,)()exp{()}n n
n
X X X n i i i i i f t t t f t jat t σ====-∑∏ ∴ 均值向量为{,,}αααα=
∴ 协方差矩阵为222(,,)B diag σσσ=
又
22121
()(,,)()exp{]n
t t t t
n n n n n X i f t f f jat t σ====-∏
8、设X ．Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(,)m p 及(,)n p 分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b Γ的分布。

求X+Y 的分布。

解（1）0
()k
n
jtx jtx x x n x X k n k
x f t e
P e C p q --===∑∑
=0
()n
it x x n x n x pe C q --=∑
=0
(
)n
p n
jt x
x n q x q
e C -=∑
=(1)p n jt n
q e -+
=()jt n q pe -+
则 12,1,2()()()jt jt m n
X Y f t t pe q pe q =++
∴
()()()()jt m n X Y X Y f t f t f t pe q ++==+
∴(,)X Y b m n p ++
（2）
1
12()
12()(1)
()(1)
(,)
p X p p X Y jt f t b
jt f t b
X Y p p b --++=-∴=-∴+Γ+ 9、已知随机向量（X 、Y ）的概率密度函数为
22
1
4[1()],1,1(,)0,xy x y x y p x y ⎧+--<<=⎨⎩
其他
求其特征函数。

解
12()12(,){}j t x t y f t t E e +=
＝1211
()3314
11(1)j x t y e x y xy dy +--⋅+-⎰⎰ ＝11
1
331
2221
[cos ()sin ]jt x e dx t y j x y xy t y dy -+-⎰⎰
＝1212
1
sin sin t t t t 10、已知四维随机向量1234(,,,)X X X X 服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为44,()kl B E δ⨯=1234求（X X X X ）。

解 144
4
14140
14(,)(,)()[
](,)
t t f t t E X X j t t -==∂=∂
又 '
1142(,)exp[]
f t t tBt =- ＝4
4
12
11
exp{}k
l k l
k l t t σσ==-
∑∑
其中11
12131421
2223243132333441
4243
44B σσσσσ
σσσσσσσσσσσ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
cov(,)kl k l
X X σ= (,1,2,k l =
∴
123
4
13
24
E σσσσσ
σ++1234（X X X X ）= 11、设12
3X X X ，和相互独立，且都服从N （0，1），试求随机变量112212Y X X Y X X =+=+和组成的随机向量12（Y，Y）的特征函数。

解 12,33
,1231
(,,)exp{}X X X k k
k f t t t j
t x
==∑
＝3
3
21
21
1
exp{}k k jt x k k k e t ===-∑∏
＝123,,1234(,,)X X X f u u u u +
＝222
112122exp{[(())]}u u u u +++
12、设123X X X ，和相互独立，都服正态分布δ2N （0，），试求：
（1） 随机向量123（X ，X ，X ）
的特征函数。

（2） 设112123123,,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量123(,,)S S S 的特征函数。

（3） 121232Y X X Y X X =-=-和组成的随机向量12（Y，Y）的特征函数。

解（１）1
23
222
,,1232331232331(,,)exp{[()()]}2
X X
X f t t t t t t t t t t t t σ+++=-+++++ （２）1
2,3
,123112233(,,){exp[()]}S S S f t t t E j t s t s t s =++
＝123123233{exp[(()()]}E j t t t x t t x t x +++++ ＝1
2
3
,,123233(,,)X X X f t t t t t t +++
＝2221232331exp{[()()]}2
t t t t t t σ-+++++ （３）112212()
,12(,){}j t y t y Y Y f t t E e
+∴=
＝1112223{exp[(()]}E j t x t t x t x -+-+
＝2222
111222
exp[(()]}t t t t σ-+-+ 13、设123（X，X ，X）服从三维正态分布N （0，B），其中协方差矩阵为,ld δ⨯33B=（），且
2112233.δδδδ===试求。

解222222123[()()()]E X X X δδδ---
＝2222222224261231213231[][]3[]E X X X E X X X X X X E X σσ-+++-
又'12()exp{}
f t tBt =- 123
442
1222
12
2t t t f b t t σ===∂∴=+∂ 同理可得 22
41313()2E X X b σ=+ 22422323()2E X X b σ=+
222622221231213122313()228E X X X b b b b b σσσ=+++ ∴22
22
22
12
3
122313
[()()()]8E X X X b b b
δ
δδ---= 14、设12n X X X ，，相互独立同服从分布δ2
N （0，）。

试求21
exp()n
n i i Y X ==-∑的期望。

解2(0,)k X N σ (1,2,k n =
令12(,,)n X x x x = 12(,,)n t t t t = 则
222'
221
11()exp{(,,)}exp{}22n X k k f t tdiag t t σσσσ==-=-∑
2
1(){exp()}n
n k k E Y E t =∴=-∑
22
2211
k
k x n
x k k d x σ+∞
--=-∞
=
∏⎰
12
2
2
1(
1)2n k
y x σ
=+
21221
1
((1))2k n
y k k e dy σ+∞
--=-∞
+⎰
＝21
1
(1)2n
k σ
=+ ＝2
2
(12)n σ-+
15、设X ．Y 相互独立同分布的(0,1)N 随机变量，讨论22X
U X Y V Y
=+=
和的独立性。

解 22
12Z X Y X
Z Y
⎧=+⎪
⎨=⎪⎩ ∴有
2
2
12x z x y x z y y ⎧=⎪⎧=+⎪⎪⇒⎨⎨
=⎪⎪=⎩⎪⎩
或x y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩ 则21
2
22122222(1)x y
y
x
y
x J
z y
--=
=--=-+
又222
1(,)2x y X Y R x y e π
+-⋅=
2(,)x y R ∈
11212,121222211(,)[](0,)2(1)
z Z Z P z z e z z R z π-∴=->∈+
1
1211()2
z Z P z e -= 1(0)z >
2222
11()21Z P z z π=⋅+ 2z R ∈ ∴1Z 服从指数分布，
2Z 服从柯西分布，且
对21,2(),z z R ∀∈有
1212,1212(,)()()Z Z Z Z P z z P z p z =⋅ ∴12,Z Z 相互独立。

16、设X ． Y 相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论
X
U X Y V X Y
=+=
+和的独立性。

解（1）0
()0
0x X x e P x x -≥⎧=⎨<⎩
(),0,0
(,)0x y X Y x y e P x y -+≥≥⎧=⎨⎩
其它
(2) 0010
u U V
u v ue P u -≤≤<⎧=⎨⎩ -[u(1-v)+uv]
（u,v）=e 其它
(3) 00
()(,)0U U V u
u P u P u v dv ue u +∞
--∞
<⎧==⎨≥⎩⎰ 0
001()101V u v v P v ue du v +∞-⎧
<≥⎪
=⎨=≤<⎪⎩⎰或
∴ (,)()()U V U V P u v P u P v = 对2(,)u v R ∀∈均成立
∴,U V 相互独立
17、设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数分别如下，试求)Y y =E （X
（1）1,0,0(,),0
x
y y
x y e
p x y y --⎧>>⎪=⎨⎪⎩
其它
（2）2,0(,),0
x y x
e p x y λλ-<<⎧=⎨⎩其它
证 （1）{}()X Y E X Y y xP x y dx +∞
-∞
==⎰
=
11x y
x y
y y x e dx y y
e dx y
+∞
--+∞
--⋅=⎰
⎰
（2）221()
x y x y
x e dx
y
E X Y Y e dx λλλλλ
λ+∞
-+∞
-+==⎰
⎰
18、设X 、Y 是两个相互独立同分布的随机变量，X 服从区间[0，1]上的均匀分布，Y 服从参数为λ的指数分布。

试求（1）X 与X+Y 的联合概率密度；（2）().D X Y y =
解 1(0,1)
()0X x P x ∈⎧=⎨
⎩ 其它
()0
y Y e P y λλ-≥⎧=⎨⎩y 0
y<0
∴,01(,)0
y X Y x e P x y λλ-≤≤≥⎧=⎨⎩y 0
其它y<0
令U X V X Y =⎧⎨
=+⎩ 则10J =≠ x u
y v u
=⎧⎨=-⎩
∴(),,01(,)(,)0
v u X X Y X Y u v u e P u v P u v u J λλ--+≤≤≥⎧=-=⎨⎩ 其它
（2）111
3412()()D X Y y D x ===-=
19、设,0,1,2,n X n =±± 是一列随机变量，且01211n k k
k n n X n n n ⎛⎫
⎪-
⎪
=
⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
，其中K 是正常数。

试证：
（1） 当1n k X >时，几乎收敛于0。

（2） 当2n k X >时，均方收敛于0； （3） 当20n k X ≤时，不均方收敛于。

证 令0X =
k P 1k n
2
1k
n
- 1k n
n X
n - 0 n
k P 2
1k
n
- 2
k
n
∴
2n X 0 2n
∴{lim
0}1n n P X →∞== ( 当1k >，2
lim 0k n n
→∞
=) n X 几乎肯定 收敛于0
2
22{}{}2k n n E X X E X n --==
当2
22lim {}lim 20k n n n k E X X n -→∞→∞
>-== 时， ∴n X 均方收敛于0
当2k ≤时，2
lim {}0n n E X X →∞
-≠ 即0n X 不均方收敛于。

20、设,,.P P P
n n n n X a Y b X Y a b −−→−−→±−−→+试证
证0ε∀>
{()()}n n x y a b ε±-±≥={()()}n n x a y b ε-±-≥
{}{}2
2
n n x a y b εε
⊂-≥-≥
∴0{()()}n n P x y a b ε≤±-±≥
{}{}02
2
n n P x a P y b εε
≤-≥+-≥→ ()n →∞
∴ P
n n x y a b ±−−→±
第二章习题解答
1.设(1,2,)X i = 是独立的随机变量列，且有相同的两点分布112211-⎛⎫
⎪
⎝⎭
，令1(0)0,()n
i i Y Y n X ===∑，试求：
（1） 随机过程{(),0,1,2,}Y n n = 的一个样本函数； （2） [(1)]P Y k =及P[Y(n)=k]之值； （3） [()]P Y n k =； （4） 均值函数； （5） 协方差函数；
解： （1）当1i X = 时，(1,2,)i = ，()y n n =
（2）1
2111{(1)}{}0
k P y k P X k =-⎧====⎨⎩或其它
12X X + 2 0 -2
k P
14 12 1
4
1412
121
20
{(2)}{}20
k k p Y k P X X k k =⎧⎪=⎪==+==⎨=-⎪⎪⎩其它
当n 为奇数时
Y （n） n -
2n -+ 1- 1 2n - n
k P
2
n n
C 12n n
C
122n n n
C -
122
n n n
C + 12n n n C - 2
n
n n C
当n 为偶数时
Y （n） n -
2n -+ 2- ０ 2 2n - n
k P
2
n n
C 12n n
C
[
]1
2
2n n n C -
[]122
n n n
C + 12n n n C - 2
n n n C
（４）1
1
[()][]()n n
i i i i E Y n E x E x ====∑∑
而()0i E x =
[()]E Y n
∴= （５）1
1
[(),()]{]n n
i j i j Cov Y n Y m E x x ===∑∑
m n ≤若 2
21
1
{}{}n n
k k k k E x E x m ====∑∑
∴ 若n m <，则有Cov[Y(n),Y(m)]=n 即有Cov[Y(n),Y(m)]=min(n,m)
2.设X(t)cos sin A t B t ωω=-，其中A 、B 是相互独立且有相同的2(0,)N σ分布的随机变量，ω是常数，(,)t ∈-∞+∞，试求： （1）X （t ）的一个样本函数； （2）X （t ）的一维概率密度函数； （3）均值函数和协方差函数。

解：（1）当A=B=1时，X(t)cos sin t t ωω=-
（2）cos ()(,)sin t X t A B t ωω⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 1(,)~(0,)A B N B 21200B σσ⎛⎫= ⎪⎝⎭
()X t ∴ ～2
(0,)N σ
22
2()(,)x X p x x σ-
∴=
∈-∞+∞
（3）[()]0E X t =
cov[(),()]{(cos sin )(cos sin )}X s X t E A s B s A t B t ωωωω=--
2cos ()s t σω=-
3.设随机过程1()(cos sin ),0n
k k k k k X t Y t Z t t ωω==+≥∑。

其中1212,,,,,,n n Y Y Y Z Z Z 是相互独
立的随机变量，且,k k Y Z ～2(0,),1,2,k N k n σ= 。

（1）求{X(t)}的均值函数和相关函数； （2）证明{X(t)}是正态过程。

解：（1）1[()][()cos ()sin ]0n
k k k k k E X t E Y t E Z t ωω==+=∑
(,)[()[]]X R s t E X s X t =
1
1
2212
1
{[(cos sin )][(cos sin )]}
[(cos cos sin sin )]
cos ()
n n
k k k k k k k k k k n
k k k k k k k n
k
k E Y s Z s Y t Z t E Y s t Z s t s t ωωωωωωωωσ
ω=====++=+=-∑∑∑∑
（2）121212((),(),,())(,,,,,,,)n n n X t X t X t Y Y Y Z Z Z A =
1212(,,,,,,,)~(0,)n n Y Y Y Z Z Z N B 其中1112112
1112112cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin n n n n n n n n n n t t t t t t A t t t t t
t ωωωωωωωωωωωω⎛⎫
⎪ ⎪
⎪=
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪⎝
⎭
，222222
1212(,,,,,)k k B diag σσσσσσ=
由n 维正态分布的线性性质得
12((),(),,())n X t X t X t ～'(0,)N A BA
因此X(t)是正态过程。

4.设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的均值函数和相关函数： （1）2()(),0;X t W t t =≥ （2）1
()(),0X t tW t t
=> （3）12()(),0X t c W c t t -=≥ （4）()()(),01X t W t tW t t =-≤≤ 解：（1）22()[()][()]X m t E X t E W t t σ===
22222(,)[()()][()][()]2{[()()]}X R s t E W s W t E W s E W t E W s W t ==⋅+⋅
4422min (,)st s t σσ=+
（2）1
()[()]0X m t E tW t
==
1111
(,)[()()][()()]X R s t E sW tW stE W W s t s t
=⋅=⋅
2211
min(,)
min(,)
st s t s t σσ==
（3）1212()[()][()][()]0X m t E X t E c W c t c E W c t --====
1212(,)[()()][()()]X R s t E X s X s E c W c s c W c t --=⋅=⋅
2222222[()()]min(,)min(,)
c E W c s W c t c c s t s t σσ--=⋅=⋅⋅=
（4）()[()][()()]0X m t E X t E W t tW t ==-=
(,)[()()]X R s t E X s X t =
[]
2{[()()][()()]}
(1)(1)()()(1)(1)min(,)
E W s sW s W t tW t s t E W s W t s t s t σ=--=--=--
5.设到达某商店的顾客组成强度为λ的Poisson 流，每个顾客购买商品的概率为p,且与其他顾客是否购买商品无关，若{(),0}Y t t ≥是购买商品的顾客流，证明
{(),0}Y t t ≥是强度为p λ的Poisson 流。

证：令n X 表示“第n 个顾客购买商品”，则(1),(0)1n n P X p P X p q ====-=且
()
1()N t n n Y t X ==∑。

其中()N t 为[0,]t 时间段内到达商店的顾客人数，则()Y t 的特征函数
为
()(){exp[()]}Y t f u E juY t =
()
1
()
01
(1)
{exp[]}
{exp[]()}{()}
()
[]!ju N t n n N t k n k n
ju n t
n p t e E ju X E ju X N t n P N t n t pe q e n e
λλλ=∞==∞
-=-===⋅==+=∑∑∑∑
∴{(),0}Y t t ≥是强度为p λ的Poisson 流。

6.在题5中，进一步设{(),0}Z t t ≥是不购买商品的顾客流，试证明{(),0}Y t t ≥与
{(),0}Z t t ≥是强度分别为p λ和(1)p λ-的相互独立的Poisson 流。

证：（1）()()()N t Z t Y t =+
∴ ()
()
1
(){exp[()]}N t Z t i i f
u E ju N X ==-∑
01
0()(1)(1)
(){exp[()]}!1
[()]!
ju ju n n
t
i n i n
ju ju t
n t p qe t t p e t E ju n X e
n te pe q e n e e
λλλλλλλ∞
-==∞
-=+---=-⋅=+==∑∑∑
(){exp[()]}N f u E juN t =
(1)
()!ju k juk
t k t e t e
e k e
λλλ∞
-=-=⋅=∑
∴()()()N
Y Z f
u f u f u =⋅
∴{(),0}Z t t ≥与{(),0}Y t t ≥独立且强度为(1)p λ-的Poisson 流。

7.设1{(),0}N t t ≥和2{(),0}N t t ≥分别是强度为1λ和2λ的独立Poisson 流。

试证明： （1）12{()(),0}N t N t t +≥是强度为12λλ+的Poisson 流；
（2）在1{(),0}N t t ≥的任一到达时间间隔内，2{(),0}N t t ≥恰有k 个时间发生的概率为
1
2
1212
.(
),0,1,2,k k p k λλλλλλ=
=++
证：（1） 1212()
()()(){}ju N N N t N t f t E e ++=
121212(1)
(1)
()(1)
{}{}ju ju ju
juN juN e e e
E e E e e
e
e λλλλ--+-=⋅=⋅=
∴ {(),0}N t t ≥是强度为12λλ+的Poisson 流。

（2）令T 表示过程12{()(),0}N t N t t +≥任两质点到达的时间间隔。

A 表示2{(),0}
N t t ≥恰有1个事件发生在1{(),0}N t t ≥的任一到达时间间隔内，则
2121210
(){}x y x
P A P T T e dx e dy λλλλ∞∞
--=<=⎰⎰
8.设{(),0}N t t ≥是Poisson 过程，n τ和n T 分别是{(),0}N t t ≥的第n 个事件的到达时间和点间间隔。

试证明： （1）()(),1,2,n n E nE T n τ== ； （2）()(),1,2,n n D nD T n τ== 。

证：2
2
1
1
(),(),(),()n n n n n
n
E T E D T D ττλ
λ
λ
λ
===
=
∴()(),1,2,n
n E nE T n τ
== ()(),1,2,n n D nD T n τ==
9.设某电报局接收的电报数()N t 组成Poisson 流，平均每小时接到3次电报，求：（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率； （2）下午第一个电报的到达时间的分布。

解：
10.设1{(),0}N t t ≥和2{(),0}N t t ≥分别是强度为1λ和2λ的独立Poisson 过程，令
12()()(),0X t N t N t t =+≥，求{(),0}X t t ≥的均值函数与相关函数。

解：121212[()][()()][()][()]()E X t E N t N t E N t E N t t λλ=-=-=-
1212(,)[()()]{[()()][()()]}X R s t E X s X t E N s N s N t N t ==--
111221222211122221212[()()()()()()()()]
min(,)2min(,)
()()min(,)
E N s N t N s N t N s N t N s N t st s t st st s t st s t λλλλλλλλλλ--+=+-++=-++
11.设{(),0}X t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，T 是服从参数为γ的指数分布的随机变量，且与{()}X t 独立，求[0,]T 内事件数N 的分布律。

解：由[0,]T 内N 的分布律为：
()(())()!
k x
T x P N T k e p x dx k λλ∞
--∞
==⎰
()0
1
1
!!
!()()k
k x k
k k k x e dx
k k k λγλγγλλγλγλγ∞
-+++==
⋅
+=
+⎰
0,1k =
第三章习题解答
1．证明Poisson 随机变量序列的均方极限是Poisson 随机变量。

证：令{,}n X n N ∈是Poisson 随机变量序列，则对n N ∀∈ {}0,1!
n
k n n p X k e k k λλ-===
又2
2
22lim {}lim()()n n n E X E X λλλλ→∞→∞
=+=+= ，其中X 为Poisson 随机变量。

2．设,1,2n X n = ，是独立同分布的随机变量序列，均值为μ，方差为1，定义
11n
n i i Y X n ==∑，证明l.i.m n n X μ→∞=。

证：2
2
1
1
11[()]n
n
k k k k k X X E X n n μ
==-=-∑∑ 2
1
211
2
1
1
211{[()]}
1
{[()][()]}1
cov(,)
1()()1
0()n
k k k n n
k k l l k l n n
k
l k l n
k n k E X E X n E X E X X E X n X
X n
D X X n n n
=======-=--===→→∞∑∑∑∑∑∑的独立性
l.i.m n n Y μ→∞
∴=。

3．研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。

（1）()X t At B =+，其中A 、B 是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a 、b ，方
差为22
12σσ、；
（2）2()X t At Bt C =++，其中A 、B 、C 是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a 、
b 、
c ，方差为222123σσσ、、； （3）{(),}N t t o ≥是Poisson 过程； （4）{(),}W t t o ≥是Wiener 过程。

解：（1）[()][]E X t E At B ta b =+=+
(,){()()}{()()}X R s t E X s X t E As B At B ==++
22
2
22
1
2
()()()()()stE A sE AB tE AB E BB st a sab tab b
σσ=+++=+++++
是关于s, t 的多项式函数
∴存在任意阶的偏导数
∴过程是均方连续，均方可导，均方可积。

(2) []22
()E X T E At Bt C at bt c ⎡⎤=++=++⎣⎦
{}
{}
22222222222222
123
(,)()()()()()()X R s t E X s X t E As Bs C At Bt C s t a s tab s ac st ab st b t ac tbc c σσσ==++++=++++++++++
（3）由2(,)min(,)N R s t st s t λλ=+知Poisson 过程{(),}N t t o ≥是均方连续，均方可积的。

22220020(,)(,)()()lim lim (,)(,)lim N N s s N N s R t s t R t t t s t t t t t
s s R t s t R t t t s
λλλλλλλ+-∆→∆→∆→+∆-+∆+-+==∆∆+∆-=+∆
∴''
(,)N
R t t 不存在，即均方不可导。

（4）由2(,)min(,)W R s t s t σ=知Wiener 过程{(),}W t t o ≥是均方连续，均方可积的。

0020(,)(,)0
lim lim 0(,)(,)lim W W t t W W t R t t t R t t t
t R t t t R t t t
σ+
-∆→∆→∆→+∆-==∆∆+∆-=∆
∴''
(,)W
R t t 不存在，即均方不可导。

4．试研究上题中过程的均方可导性，当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。

解：（1）均方可导
'()X m t a =
'''
221(,)(,)st X R s t R s t a σ==+
又222
212(,)()()X R s t st a ab s t b σσ=+++++
00222
2
1200
222
21222221211
lim {(,)(,)(,)(,)}
1lim
{()()()()()[()()()][()()()][(X X X X t s t s R s s t t R s s t R s t t R s t t s s s t t a ab s s t t b t s s s t a ab s s t b s t t a ab s t t b st σσσσσσσ∆→∆→∆→∆→+∆+∆-+∆-+∆+∆∆=+∆+∆+++∆+∆++∆∆-+∆+++∆+++-+∆++++∆+++2222222221100
)()]}
1
lim
{()}t s a ab s t b a s t a t s σσσ∆→∆→+++++=+∆∆=+<∞
∆∆
∴T X 均方可微。

（2）均方可导，且
'''''22
2
2
2'1
2
[()]()2(,)(,)[()22()20]
X ts
s
X E X t m t at b
R s t R s t a s t abs abs t b s ac bc σσ==+==+⋅++⋅+++⋅++
2222
122
2
2
21
2
4()220
4()2()a st abs abt b a st ab s t b σσσσ
=++++++=+++++
（3）Poisson 过程{(),}N t t o ≥均方不可导。

（4）Wiener 过程{(),}W t t o ≥均方不可导。

5．求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判断其均方连续性和均方可微性。

（1）()cos()X t t ω=+Θ，其中ω是常数，θ服从[0,2]π上的均匀分布； （2）1()(),0X t tW t t
=>，其中()W t 参数为1的Wiener 过程；
（3）2()(),0X t W t t =≥，其中()W t 参数为2σ的Wiener 过程。

解：（1）20
21
1
{()}cos()sin()0022E X t t d t π
πωθθωθπ
π
=
+=
+=⎰。

(,){()()}{cos()cos()}X R s t E X s X t E s t ωω==+Θ+Θ
20
1[cos(()2)cos(())]41
cos ()2
t s t s d t s π
θωθπω=+++-=-⎰
（2）1{()}{()}0E X t E tW t
==
当s t <，111111(,){()()}{[()()()]()}X R s t E tsW W stE W W W W s
t
s
t
t
t
==-+ 2111{()}min(,)stE W st s t
s t
==⋅=
∴(,)min(,)min(,)X R s t s t s t ==
∴均方连续，但均方不可微，均方可积。

（3）22{()}{()}E X t E W t t σ==
42
2
4(2)(,){()()}(2)X s t s R s t E W s W t t s t s
σσ⎧+==⎨+⎩s t
s t <≥
∴均方连续，但均方不可微，均方可积。

6．均值函数为()5sin X m t t =、相关函数为0.5()2(,)3t s X R s t e --=的随机过程()X t 输入
微分电路，该电路输出随机过程'()()Y t X t =，试求()Y t 的均值函数和相关函数、
()X t 和()Y t 的互相关函数。

解：'
''[()][()]()(5sin )5cos t X E Y t E X t m t t t ====
''(,)[()()][()()]Y R s t E Y s Y t E X s X t ==
22
20.5()'20.5()(,)(3())3[1()]t s t s X t R s t e t s t s e s t
----∂==⋅-=--⋅∂∂ 2
'0.5()(,)[()()][()()]3()t s XY R s t E X s Y t E X s X t t s e --===--
7．试求第3题中可积过程的如下积分：
01()()t Y t X u du t =⎰ 1()()t L
t
Z t X u du L +=⎰
的均值函数和相关函数。

解：（1）2
0111()()()02
2t t Au Y t Au B du Bu At B t t =+=+=+⎰
∴[()]2at
E Y t b =
+ 22111(,){()()}{}22422Y AB AB
R s t E As B At B E A st s t B =++=+++
2222121
()()()42
st a b ab s t σσ=+++++
又2
11()()()2
t L t t L Au Z t Au B Bu At AL B t L L ++=+=+=++⎰
∴[()]()E Z t a t L b =++
(,){[()][()]}Z R s t E A s L B A t L B =++++
222
212()()()()()()s L t L a b ab s L ab t L σσ=+++++++++
（2）3222
011()()()03232
t t Au Bu At Bt Y t Au Bu C du Cu C t t =++=++=++⎰
∴2[()]32
at bt
E Y t c =++ 22(,){()()}3232
Y As Bt At Bt
R s t E C C =++++
22222222111
{()()()()}36
342
ts st E A t s ts AB t s AC B t s BC C =+++++
+++
22222222
2123()()()()()()36342
ts abts ac st bc a t s t s b t s c σσσ=++
+++++++++ 2
3211()()()32
t L t t L A B Z t Au Bu C du u u Cu t L L ++=
++=++⎰ 22
()()32L L
A t tL
B t
C =+++++
22
[()]()()32
L L
E Z t a t tL b t c =+++++
222
2
(,){[()()][()()]}3232
Z L L L L R s t E A s sL B s C A t tL B t C =++++++++++
222
2
2
22
21
22222222
232222
()()()()()()
3322()[()()()()]3323
[()()[()()]]
3322
L L L L a s sL t tL b s t L L L L c ab s sL t tL s t tL L L L L ac s sL t tL bc s t σσσ=++++++++++++++++++++++++++++++
(3)01()()t Y t N u du t =
⎰ 1()()t L
t Z t N u du L
+=⎰ 20011[()][()]022
t t t u t
E Y t E N u du udu t t t λλλ====⎰⎰ 当s t <时 0
1
(,)[()()]
{()()}t
Y R s t E Y s Y t E N u N v d u d v
ts
=
=⎰
0000
2
11(,)[min(,)](3)46s t s t
N R u v dudv uv u v dudv ts ts st s t s t
λλλ==+=+-⎰⎰⎰⎰ ∴22
(3)46(,)(3)
4
6Y st s
t s t
R s t st t s t s λλλλ⎧+-⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩ s t s t <≥ 11[()][()](2)2
t L t L t t E Z t E N u du udu t L L L λ
λ++===+⎰⎰ 当o t s L <-≤
21
(,)[()()]{()()}
s L
t L
Z s
t
R s t E Z s Z t E N u N v dudv
L
++=
=⎰
⎰
2
23321
[min(,)]
()11()()[3()2()]
2226s L t L
s
t
uv u v dudv L
L L s t s t s L s L t L L
λ++=+-=++++++---⎰⎰
当0L t s -<-<时
23
32()11
(,)()()[3()2()]
2
226
Z L
L s t R s t s t
t L t L s
L L -=
++++++--- (4)01()()t Y t W u du t =⎰ 1()()t L
t Z t W u du L
+=⎰
01[()][()]0t
E Y t E W u du t ==⎰ [()]0E Z t =
2
000
1(,)(,)min(,)s t s t
Y W R s t R u v dudv u v dudv ts ts
σ==
⎰⎰⎰⎰
0000
00s u s t u t v t s
v du vdv udu dv dv udu vdv du
⎧+⎪=⎨⎪+⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
22(3)6(3)
6s
t s t
t s t s σσ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ s t s t <≥
2
2
2
1
(,)(,)min(,)s L t L
s L t L
Z W s
t
s
t
R s t R u v dudv u v dudv L
L
σ++++==
⎰⎰
⎰⎰
22222
222
22[](0)(0)()()2
()()2
s L
u s L t L s L u t t s t t t s L s s L t L s t du vdv udu vdv du vdv t s L L s t L L
L udu s s L t L L du vdv t t s L L σσσσσσ+++++++⎧+-<-≤⎪⎪
⎪
≤-≤⎪⎪=⎨⎪=++<⎪⎪⎪=+-<-⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 8．设随机过程3()cos2t X t Ve t =，其中V 是均值为5、方差为1的随机变量，试求随机过程0()()t
Y t X s ds =⎰的均值函数、相关函数、协方差函数与方差函数。

解:3305[()]5cos 2(2sin 23cos 23)13
t
t
s
e E Y t e sds t t ==+-⎰ 2()0
0(,)()cos 2cos 2s
t
u v Y R s t E v e u vdudv +=⋅⎰
⎰
330
333()26cos 2cos 226[(2sin 23cos 23)(2sin 23cos 23)]13132(2sin 23cos 23)(2sin 23cos 23)
13
s
t
u v s t
s t e udu e vdv
e e s s t t e s s t t +==+-⋅+-=+-+-⎰⎰
(,)(,)()()Y Y Y Y COV s t R s t m s m t =-⋅
3()
2(2sin 23cos 23)(2sin 23cos 23)13
s t e s s t t +=
+-+-
2[()](,)[()]Y Y D Y t R t t m t =-
6262
262225
(2sin 23cos 23)(2sin 23cos 23)1313
(2sin 23cos 23)169
t t t
e t t e t t e t t =
+--+-=+- 9．设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的Wiener 过程，求下列随机过程的均值函数和相关函数。

（1）0()(),0t
X t W s ds t =≥⎰； （2）0()(),0t X t sW s ds t =≥⎰； （3）1
()[()()],0t t X t W s W t ds t +=-≥⎰ 解：（1）0[()][()]0t
E X t E W s ds ==⎰
(,)min(,)s t
X R s t u v dudv =⎰
⎰
22
200022
[](3)6
(3)
6s u s t u s du vdv udu dv t s t s t σσσ⎧+=-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩
⎰⎰⎰⎰ s t s t <≥ （2）[()]0E X t =
0(,)min(,)s t
X R s t uv u v dudv =⎰
⎰
{
5235232
2
2
2
22
00023
22()(5)
1561030
(5)30
s
u
s
t
u s t s s s udu v dv u du vdv t s t
s t σσσσ+=+-=-=-⎰⎰⎰⎰ s t s t
<≥
（3）[()]0E X t =
11
(,){[()()][()()]}s t X s
t
R s t E W u W s W v W t dudv ++=--⎰
⎰
112
11
20min(,)min(,)t s t s s t s t
u s v t dudv u s v t dudv
σσ++++⎧
⎪
⎪=--⎨⎪⎪--⎩⎰⎰⎰⎰
1111s t s t s t s t s t +<>+<<+<<+或
3223
23223
20(1)(1)(1)[]
6226(1)(1)(1)[]6226s t s t s t t s t s t s σσ⎧⎪⎪+++⎪=-+-⎨⎪
⎪+++-+-⎪⎩
11
11
s t s t s t s t s t +<>+<<+<<+或 10．求一阶线性随机微分方程'0()()0
(0)(0)X t aX t a X X ⎧+=>⎨=⎩
的解及解的均值函数、相关
函数及解的一维概率密度函数，其中0X 是均值为0、方差为2σ的正态随机变量。

解：（1）dx
adt x
=-⎰
⎰ ∴ln ln x at c =-+ ()at X t ce -⇒= (0)
X c ⇒= ∴0()at X t X e -= 解过程为：0{,0}at X e t -≥
（2）0[()][]0at E X t E X e -==
()2()0(,){}a s t a s t X R s t E X e e σ-+-+==
000(){}{}{}()at at at X X F x P X x P X e x P X xe F xe ---=≥=≤=≤=
222
'
'2()()()at x e at
at
at
X X
X P x F x e F xe
e
σ--===
11．求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数。

（1）'0()(),[,](0)()Y t X t t a b a Y a Y ⎧=∈>⎨=⎩
，其中()X t 是一已知的二阶均方连续过程，0Y 是与
()X t 独立的均值为m 、方差为2σ的随机变量。

（2）'()()(),0
(0)(0)0Y t aY t X t t a Y ⎧+=≥>⎨=⎩
，其中()X t 是一已知的均值函数为()sin X m t t =、
相关函数为(,)(0)t s X R s t e λλ--=>的二阶均方连续过程。

解：（1）0
'
()()Y t
Y a Y t dt X u du =⎰⎰
0()()t
a Y t Y X u du -=⎰ ∴0()()t
a Y t Y X u du =+⎰
即方程的解为：0(){(),[,]}t
a Y t Y X u du t a
b =+∈⎰
00[()][()][][()]()t t t
X a a a E Y t E Y X u du E Y E X u du m m u du =+=+=+⎰⎰⎰ （2）均方解为：()0()()t
a t s Y t X s e ds --=⎰
∴()()2
001
[()]()sin (cos sin )1t
t
a t s a t s at X E Y t m s e ds s e ds e t a t a
-----==⋅=
-++⎰⎰ ()0
(,)s t
u v
a s t u v Y R s t e
e dudv λ---+--=⋅⎰
⎰
（当t s <时）
()
()()()0
00
()
()()()
()()0
()()()()()()()0[1][t
v
t s
v u a s t u v v u a s t u v v
t
v
t
s
a s t a v
a u
a s t a v
a u v
a s t a s t t a v a v a v a s a v dv e
e
du dv e e du
e
e
dv e
du e
e
dv e du
e e e e dv e e e a a λλλλλλλλλλλλλ---+-----+---+-+-++--+-+-++--=⋅+⋅=+=-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰0()()()2()()2()
()()()()22]111[(1)(1)][(1)(1)]221[(1)]t a s t a s t a s at a t a t at s t s t a s t t as at s dv e e e e e e e a a a a a a e e e e e a a a
λλλλλλλλλλλλλ-+-+--+-----+-+-+=---+---+--+=-++---⎰ 第四章习题解答
1.随机过程()cos()X t A wt =+Θ，其中A 具有Rayleigh 分布，即其概率密度函数为
2
22exp(),02()(0)0,0x x x P x x σσσ⎧-⎪>⎪⎪=>⎨⎪≤⎪⎪⎩
式中Θ服从区间[0,2]π上的均匀分布，且A 、Θ相互独立，试研究X 是否为平稳
过程。

解: [()]()[cos()]E X t E A E t ω=+Θ
222220
1exp()cos[]22x x dx t d π
ωθθσσπ+∞
=-⋅
+⎰⎰
0=
(,){cos()cos()}X R s t E A s t ωω=+Θ⋅+Θ
2
()[cos()cos()]E A E s t ωω=+Θ⋅+Θ
232220
1exp(){cos[2()]cos()}24x x dx t s t s d π
θωθσσπ+∞
=-⋅+++-⎰⎰222cos ()4t s π
σωπ
=⋅
-
2
cos ()t s σω=- {(),}X t t T ∴∈是平稳过程.
2、X 是一平稳过程，且满足，称X 为周期平稳过程，T 为其周期，试求X 的相关函数也是以T 为周期的周期函数。

解： 是平稳过程，
(),(,)(),(,)X E X m R s t R t s s t ττ∴===-<
又(){()()}{()()}()X X R T E X s X t T E X s X t R ττ+=+== ()X R τ∴以T 为周期.
3、设 X 、Y 是两个相互独立的实平稳过程，试证明()()()Z t X t Y t =+也是平稳过程。

解 [()][()()][()][()]X Y E Z t E X t Y t E X t E Y t m m =+=+=+ (,){()()}Z R s t E Z s Z t =
{[()()][()()]}E X s Y s X t Y t =+++
{()()()()()()()()}E X s X t X s Y t Y s X t Y s Y t =+++
()2()X X Y Y R m m R ττ=++
()Z t ∴也是平稳过程
4、设是n 阶均方可微的平稳过程，证明(){(),}n X t t -∞<<+∞是平稳过程，且
()(2)
()(1)()n n n X X R R ττ=-
解： ()(){()}()0n n X t E X t m ==。