一元二次方程的公共根与整数根(讲义)

一元二次方程的公共根与整数根
一、公共根问题
二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．
二、整数根问题
对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．
方程有整数根的条件：
如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：
⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；
⑵
2b ak -=
或2b ak -=，其中k 为整数．
以上两个条件必须同时满足，缺一不可．
另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)
三、方程根的取值范围问题
先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．
一、一元二次方程的公共根
【例1】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．
【例2】 设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC
∆一定是直角三角形．
【例3】 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．
⑴ 求证：0a b c ++=；
⑵ 求333
a b c abc
++的值．
【例4】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相
异根．
知识点睛
例题精讲
【例5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和
222
(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b a
b a a b a b --++的值．
二、一元二次方程的整数根
【例6】 k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数？
【例7】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．
【例8】 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及
方程的整数根．
【例9】 若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．
【例10】 关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实
数k 的值．
【例11】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．
【例12】 已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个
方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．
【例13】 求所有有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数．
【例14】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．
【例15】 已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．
【例16】 已知p 为质数，二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，请求出p 的所有可能的值．
【例17】 已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．
【例18】 若一直角三角形两直角边的长，a 、b ()a b ≠均为整数，且满足24a b m ab m +=+⎧⎨=⎩
．试求这个直角三角形的三边长．
【例19】 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值．
【例20】 已知方程()
22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么
a = ．
【例21】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都
是整数．
【例22】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及
方程的根．
【例23】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．
【例24】 已知方程()
22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么
a = ．
【例25】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．
【例26】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．
【例27】 已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，
求a 的值．
【例28】 已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，
求a 的值．
【例29】 已知b ，c 为整数，方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．
【例30】 已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02
x abx a b -+
+=是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．
【例31】 已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12
,x x ''，且120x x >，12
0x x ''>． ⑴ 求证：10x <，20x <，10x '<，2
0x '<； ⑵ 求证：11b c b -+≤≤；
⑶ 求,b c 所有可能的值．
【例32】 设p q 、是两个奇整数，试证方程2220x px q ++=不可能有有理根．
【例33】 试证不论n 是什么整数，方程21670s x nx -+=没有整数解，方程中的s 是任何正的奇数．
【例34】 求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解．
【例35】 已知a 为整数，关于,x y 的方程组23(2)(1)22
x y a x xy a x a +=+⎧⎨=+-+⎩的所有解均为整数解，求a 的值．
【例36】 求方程
2237
x y x xy y +=-+的所有正整数解．
【例37】 求所有的整数对(,)x y ，使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++．
【例38】 设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根，求m 的值．
【例39】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都
是整数．
【例40】
a 是正整数，关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．
【例41】 已知,a b 是实数，关于,x y 的方程组
32y x ax bx y ax b
⎧=--⎨=+⎩有整数解(,)x y ，求,a b 满足的关系式．
【例42】 已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值．
【例43】 设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有
实数k 的值．
【例44】 b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数
根？
【例45】 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________
个．
【例46】 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根．
【例47】 方程()(8)10x a x ---=有两个整数根，求a 的值．
【例48】 求所有的正整数a ，b ，c 使得关于x 的方程
222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=的所有的根都是正整数．
【例49】
n 为正整数，方程21)60x x -++-=有一个整数根，则n =__________．
【例50】 求出所有正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根．
【例51】 已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，则整数a 的值是__________．
【例52】 不解方程，证明方程2199719970x x -+=无整数根
【例53】 已知方程219990x x a -+=有两个质数根，则常数a =________．
【例54】 已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根，求m 的值．
【例55】 当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数？
【例56】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．
【例57】 已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及
方程的整数根．
【例58】 若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．
【例59】 设a 为质数，b c ，为正整数，且满足
()()2922509410225112
a b c a b c b c ⎧+-=+-⎪⎨-=⎪⎩ 求()a b c +的值．。