湖北省丹江口市第一中学数学人教A版选修2-3导学案：3.1回归分析的基本思想及其初步应用含答案

3。

1回归分析的基本思想及其初步应用
【学习目标】
1.通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想，方法及初步应用.
2。

了解线性回归模型及函数模型的差异，了解判断模型拟合效果的方法:相关指数和残差分析.
3.体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。

重点难点
重点：了解线性回归模型及函数模型的差异，了解判断模型拟合效果的方法:相关指数和残差分析。

难点：体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.
【使用说明与学法指导】
1。

课前用10分钟预习课本P80～P90内容。

并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑。

【问题导学】
1.
回归分析
（1）回归分析：回归分析是对具有 的两个变量进行统计分析的一种常用方法。

（2）线性回归模型
1。

对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2)，….，（xn ，yn ），我们知道其回归直线
的截距和斜率的最小二乘估计分别为：
a y bx =-
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑
,其中11n
i i x x n ==∑
1
1n
i i y y n ==∑，
称为样本点的中心.
2。

线性回归模型 E （e ）为均值,D(e ）为方差，其中a 。

b 为模型的未知参数，e 是y 与
bx+a 之间的误差。

通常e 为随机变量，称为 2. 线性回归分析
(1)残差，对于样本点（x i ,y i )（i =1,2，…,n ）的随机误差的估计值
称为相应于点（x i ,y i ）的残差， 称为残差平方和。

(2）残差图：利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 ,横坐标可以选为 ，也可用其他测量值，这样做出的图称为残差图。

（3）2
R = ,2
R 月接近于 ，表示回归的效果越好。

【合作探究】
【问题1】：某公司利润Y与销售总额X(千万元)之间有如下对应数据：
⑴画出散点图
⑵求回归直线方程
⑶估计销售总额为24千万元时，利润为多少?
【问题1】：解：（1）散点图,略；
（2）借助计算器可得b=0。

104，a=－0.084
于是回归直线方程y=0。

104x－0。

084；
（3)当x=24时，y=2.412千万元，即销售总额为24千万元时
估计利润是2.412千万元。

【问题2】：某种图书每册的成本Y(元）与印刷册数X（千册）有关,经统计得到数据如下:
检验每册书的成本费Y 与印刷数1x
的倒数之间是否具有线性相
关
关
系，如果有，求出Y 对X 的回归方程。

【问题2】:解：令ｕ=1x ，则数据变成下表
据此求得：r=0。

9998，具有很强的线性相关性，由最小二乘法，求得：b =8
973. a =1.125
于是ｙ=8.973ｕ+1。

125，由于ｕ=1x
得ｙ= 8.973x
+1。

125为所求出的回归方
程.
【问题3】:检验下列x 与y 是否具有线性相关关系。

若有，并借助相关指数分析拟合效果。

【问题3】:解：由于x =4，y =5
51
()i
i x x =-⋅∑()i
y y -=(-2) ⨯(—2.8）+（-1) ⨯
（-1。

2)
+0⨯0。

5+1⨯1.5+2⨯2=12。

3
5
2
1()
i i x x =-∑=10,52
1
()i
i y y =-∑=15.78
那么
()()
0.98n
i i x x y y --=∑
显然,具有很强的相关性；由最小二乘法估计公式得b=1。

23，a=0.08．于是回归直线方程为: ˆy =1。

23x+0.08
因为1
y -1
ˆy =2.2—（1.23⨯2+0。

08)=—0。

34
2
y —2
ˆy
=3.8—（1.23⨯3+0。

08)=0。

03 3
y —3
ˆy
=5.5—(1。

23⨯4+0。

08)=0。

05 4
y —4
ˆy
=6.5-（1.23⨯5+0。

08)=0.27 5
y -5
ˆy
=7—（1.23⨯5+0.08）=—0.46 得42
1
ˆ()0.4035i
i
i y y
=-=∑
又由于:
5
21
252
1
ˆ()0.4035
110.974415.78
()i i i i i y y
R y y ==-=-=-
=-∑∑ 非常接近1,因而回归效果很好。

【深化提高】
（2006年十校联考题）在一段时间内，某种商品价格x （万元）和需求量y(吨)之间的一组数据为：
（1）画出散点图.
(2）求出y 对x 的回归直线方程，并在（1）的散点图中画出它的图象.
（3)若价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少（精确到万吨） 10．解:（1)散点图略
(2)采用列表的方法计算a 与回归系数b
11
9 1.8,377.455
x y =⨯==⨯=
2625 1.87.4ˆ11.5,16.65 1.8b
-⨯⨯=≈--⨯ ˆ7.411.5 1.828.1,a
=+⨯= y 对x 的回归直线方程为
ˆˆˆ28.111.5.y
a bx x =+=- (3)．当x=1。

9时,y=28.1—11。

5⨯11。

9=6。

25， 所以价格定为1。

9万元，需求量大约是6。

25吨。

【学习评价】
●自我评价你完成本节导学案的情况为( ）。

A。

很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
●当堂检测（3选2填或2选2填1解答)
A组(你一定行）：
1．对于线性相关系数r,叙述正确的序号是③。

①．()
r∈-∞+∞，
, r∈+∞，r越大,相关程度越大。

反之,相关程度越小;②．() 0,
r≤，且r越接近r越大，相关程度越大。

反之，相关程度越小；③．1
1，相关程度越大;r接近于0,相关程度越小。

2．如果下表中的x和y之间具有线性相关关系
则回归直线方程为y=0.3x+0。

6。

B组（你坚信你能行)：
3．关于两个变量X和Y的7组数据如下表所示：
已知：
()
_
n
i i y r y x x ⎛⎫
-- ⎪=
∑
n
i i nxy
y x -=
∑当r ＞0时，表明两个变量正相关 当r ＜0时，表明两个变量负相关
︱r ︱越接近于1,表明两个变量的线性相性越强
︱r ︱越接近于0，表明两个变量之间机会不存在线性相关关系 通常，当r 大于0.75时，我们认为两个变量存在着很强的线性相关关系,这时求回归直线方程有必要也有意义。

解：x -
＝17
×(21+23+25+27+29+32+35）≈27.4
y -
＝
17
×（7+11+21+24+66+115+325)≈81.3
7
2
2
2
2
2
2
2
2
1
5414
23252729323521i i x ==++++++=∑71
i i i y x =∑＝21×7+23×11+25×21+27×
24+29
×66+32×115+35×325＝18542
7
2
22222221124393
766115325112124i i y ==++++++=∑所以7
7r i i xy
y x -=
∑0.8375
≈
≈由于ｒ≈0.8375＞0。

75,所以X 与Y 具
有线性相关关系。

4．关于X 与Y 有如下数据：
有如下的两个线性模型: ⑴y =6。

5x+17。

5； ⑵y =7x+17
试比较哪一个拟合效果更好。

解：由（1）得：i
y y --的关系如下表：
所以
()()()()()52
2
2
2
2
21
155ˆ0.5 3.510 6.50.5i i i y y
==++++=-----∑()()()5
2
2
2
2221
1000201010020i i y y ==++++=---∑ 所以()()
52
2
1
52
1
155
110.8451
1000
ˆi i i i i y y R y y ===-=-
=-∑-∑ 由(2)可得ˆi i y y -与i i y y -
的关系如下表：
所以
()()()()()()5
2
2
2
2
2
2
1
180ˆ15893i i i y y
==++++=------∑
()()()5
2
2
2
2221
1000
201001020i i y y ==++++=---∑所以
()()
5
2
2
1521
80
110.9221000ˆi i i i i y y
R y y ===-=-=-∑-∑ 因为0。

845＜0.92,所以2
1R ＜2
2
R
所以（2）得拟合效果好于（1）的拟合效果。

C 组(我对你很有吸引力哟）：
5．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y(万元）有如下的统计数据。

若由此资料可知y 对x 呈线性相关关系，试求:
(1) 线性回归方程
(2)
估计设备的使用年限为10年时，维修费用为多少？
解:（1)由上表中数据列成下表：
学必求其心得，业必贵于专精
于是5152221
5112.3545ˆ90545i i i i i X Y x y b X x
=
=--⨯⨯==-⨯-∑∑， ˆˆ5 1.2340.08a y bx =-=-⨯=，所以线性回归方程为ˆˆˆ 1.230.08y
bx a x =+=+. （2)当10x =时，ˆ 1.23100.0812.38y =⨯+=(万元），估计当使用10年时的维修费
用为12．38万元。

【小结与反思】。