甘肃省定西市2019-2020学年高考数学最后模拟卷含解析

甘肃省定西市2019-2020学年高考数学最后模拟卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．3
4
8
1
(3)(2)x x x
+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864 C ．－4864 D ．1280
【答案】A 【解析】 【分析】
根据二项式展开式的公式得到具体为：()2
3
174268811322x C x C x x ⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣
⎦化简求值即可.
【详解】
根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出
1
x
项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()2
3174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A. 【点睛】
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
2．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部
（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=u u u r u u u r
，则()
2
AE AC +u u u r u u u r 的最小值为（ ） A ．
23
2
B ．12
C ．
252
D ．13
【答案】C 【解析】 【分析】
分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=u u u r u u u r
，可求
1x y +=，而222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r
+=+++，化简求解.
【详解】
解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，
(0,2)y ∈，则(,)AE x y =u u u r ，(2,2)AC =u u u r ，由2AE AC ⋅=u u u r u u u r
，即222x y +=，得1x y +=.所以
2
22()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++22
4()8x y x y =++++
2
2213x x =-+=21252()22x -+
，所以当1
2x =时，2()AE AC +u u u r u u u r 的最小值为252
. 故选：C. 【点睛】
本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.
3．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84
【答案】B 【解析】
由a 1+a 3+a 5=21得24242
1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2
135()22142q a a a ++=⨯=，选B.
4．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝
【答案】B 【解析】
解：命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ．
5．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2
375150a a a +-+=，则9S =（ ）
A ．35
B ．36
C ．45
D ．54
【答案】C 【解析】 【分析】
由等差数列{}n a 通项公式得2
375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .
【详解】
Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，
2
375150a a a +-+=，
2552150a a ∴--=，
解得55a =或53a =-（舍），
()91959
995452
S a a a ∴=
+==⨯=，故选C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质
2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.
6．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C 【解析】 【分析】
化简得到34z i =--，得到答案. 【详解】
()117i z i +=-，故()()()()
1711768341112i i i i
z i i i i -----====--++-，对应点在第三象限.
故选：C . 【点睛】
本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力. 7．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ） A ．±6 B ．6
C ．-6
D ．
13
2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【详解】
由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅=，
所以96a ===±，
而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =， 故选：B. 【点睛】
本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.
8．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆
()()
22
001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4
C ．[)2,+∞
D ．[
)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆
()()
22
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．
【详解】
由题意，双曲线22
22x y C :1(a 0,b 0)a b
-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，
∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离
4a d c
=
=
， ∵圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴
41a c ≥，即4c
e a
=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]
1,4， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点()1,0A 作x 轴的垂线与曲线x
y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投
入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线x
y e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）
A ．
N
M N
-
B ．
M
M N
-
C ．
M N
N
- D ．
M N
【答案】D 【解析】 【分析】
利用定积分计算出矩形OABC 中位于曲线x
y e =上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e 的等式，解出e 的表达式即可. 【详解】
在函数x
y e =的解析式中，令1x =，可得y e =，则点()1,B e ，直线BC 的方程为y e =，
矩形OABC 中位于曲线x
y e =上方区域的面积为()()
1
10
1x
x
S e e dx ex e =
-=-=⎰，
矩形OABC 的面积为1e e ⨯=， 由几何概型的概率公式得1N M e =，所以，M e N
=. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用随机模拟的思想估算e 的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 10．执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）
A ．1
12
-
B ．
2360
C ．
1120
D ．
4360
【答案】D 【解析】 【分析】
根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【详解】 运行程序，
1
1,25s i =-=，
121
1,3552s i =+--=，
12311
1,455523s i =++---=，
1234111
1,55555234s i =+++----=，
1234111
1,55555234s i =+++----=，
123451111
1,6555552345
s i =++++-----=，结束循环，
故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫
++++-++++=-= ⎪⎝⎭
， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.
11．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“
”表示一个阳爻，“
”表示一个阴爻）
若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）
A ．
356
B ．
328
C ．
314
D ．
14
【答案】C 【解析】 【分析】
分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【详解】
由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是2
33C =；
仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是1
33C =，于是所求
的概率2
8333
14
P C +==． 故选：C 【点睛】
本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 12．为得到
的图象，只需要将
的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位 【答案】D 【解析】
试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将
的图象向右平移个单位；故选D ． 考点：三角函数的图像变换．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x ',若函数()y f x '=没有零点,且
()20192019x
f f x ⎡⎤-=⎣⎦,当()sin cos
g x x x kx =--在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上与()f x 在R 上的单调性相同时,则实数k 的取值范围是______. 【答案】(],1-∞- 【解析】 【分析】
由题意可知：()f x 为R 上的单调函数，则()2019x f x -为定值，由指数函数的性质可知()f x 为R 上的增
函数，则()g x 在[2
π
-
，
]2
π
单调递增，求导，则()0g x '…恒成立，则)4
min k x π
+„，根据函数的正
弦函数的性质即可求得k 的取值范围． 【详解】
若方程()0f x '=无解，
则()0f x '>或()0f x '<恒成立，所以()f x 为R 上的单调函数，
x R ∀∈都有[()2019]2019x f f x -=，
则()2019x f x -为定值，
设()2019x t f x =-，则()2019x f x t =+，易知()f x 为R 上的增函数， ()sin cos g x x x kx =--Q ，
()sin cos )4g x x x k x k π
∴'=+-=+-，
又()g x 与()f x 的单调性相同，
()g x ∴在R 上单调递增，则当[2
x π
∈-
，
]2
π
，()0g x '…恒成立，
当[2
x π
∈-
，
]2
π
时，[4
4
x ππ
+∈-，
3]4π，sin()[4x π+∈，1]，
∴)[4
x π
+∈-，
此时1k -„， 故答案为：(],1-∞- 【点睛】
本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．
14．将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是___． 【答案】
5
36
【解析】 【分析】
先求出基本事件总数6×6＝36，再由列举法求出“点数之和等于6”包含的基本事件的个数，由此能求出“点数之和等于6”的概率． 【详解】
基本事件总数6×6＝36，点数之和是6包括()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1共5种情况，则所求概率是
5
36
．
故答案为
536
【点睛】
本题考查古典概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
15．点P 在双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右支上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，直线1PF 与以坐标
原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则该双曲线的渐近线的斜率为__________． 【答案】43
± 【解析】
如图，A 是切点，B 是1PF 的中点，因为OA a
=，所以22BF a =，又122F F c =，所以12BF b =，
24PF b =，又2122PF F F c ==，根据双曲线的定义，有122PF PF a -=，即422b c aa -=，两边
平方并化简得223250c ac a --=，所以53c a =，因此2
413b c a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
.
16．已知直线4x y b -=被圆22
2210x y x y +--+=截得的弦长为2，则b 的值为__ 【答案】1 【解析】 【分析】
根据弦长为半径的两倍，得直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可解得． 【详解】
解：圆2
2
2210x y x y +--+=的圆心为（1，1），半径1r =， 因为直线4x y b -=被圆2
2
2210x y x y +--+=截得的弦长为2， 所以直线40x y b --=经过圆心（1，1），
410b ∴--=，解得3b =．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．
（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m；
（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：
抗倒伏易倒伏
矮茎
高茎
（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，2
()
P K K
…0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）190（2）见解析（3）可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
【解析】
【分析】
（1）排序后第10和第11两个数的平均数为中位数；
（2）由茎叶图可得列联表；
（3）由列联表计算2
K可得结论．
【详解】
解：（1）
190190
190
2
m
+
==．
（2）
（3）由于
2
2
45(1516410)
7.287 6.635
19262520
k
⨯⨯-⨯
==>
⨯⨯⨯
，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，
认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
【点睛】
本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键．
18．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：
(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的22
⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？
(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．视频率为概率．
①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；
②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动．每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：
现某市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求X的分布列及数学期望．
附表及公式：
2
2
()
,
()()()()
n ad bc
K n a b c d
a b c d a c b d
-
==+++ ++++
【答案】 (1)不能；(2) ①25
；②分布列见解析，4. 【解析】 【分析】
（1）根据题目所给的数据可求2×2列联表即可；计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．（2）由相互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P ＝1﹣（25）3﹣（3
5）31825
=，解出X 的分布列及数学期望E （X ）75
4
=即可； 【详解】
(1)由图中表格可得22⨯列联表如下:
将22⨯列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值
22
2
()100(45153010) 3.030 3.841()()()()25755545
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，
所以在犯错误的概率不超过0. 05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关. (2)视频率为概率,用户为男“环保达人”的概率为
35.为女“环保达人”的概率为2
5
， ①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为
33
231815525
P ⎛⎫⎛⎫=--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
②X 的取值为10，20，30，40.
133
(10)248
P X ==⨯=,
1113313
(20)2424432P X ==⨯+⨯⨯=,
12
1133
(30)C 24416P X ==⨯⨯⨯=, 1111
(40)24432
P X ==⨯⨯=,
所以X 的分布列为
X10 20 30 40
P
3
8
13
32
3
16
1
32
()10203040
83216324
E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中点，AC，BD交于点O.
（1）求证：OE∥平面PBC；
（2）求三棱锥E﹣PBD的体积.
【答案】（1）证明见解析（2
83
【解析】
【分析】
（1）连接OE，利用三角形中位线定理得到OE∥PC，即可证出OE∥平面PBC；
（2）由E是PA的中点，
11
22
E PBD PBD P ABD
A
V V V
-
==
﹣﹣
，求出S△ABD，即可求解.
【详解】
（1）证明：如图所示：
∵点O，E分别是AC，PA的中点，
∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PC，又∵OE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴OE∥平面PBC；
（2）解：∵PA＝AB＝4，∴AE＝2，
∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴S△ABD
1
446043
2
sin
=⨯⨯⨯︒=，
∴三棱锥E﹣PBD的体积
11218
3
23
2E PBD PBD P B A A D ABD V V V PA S -==⋅==
﹣﹣△.
【点睛】
本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积，注意等体积法的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.
20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，330x y --=过椭圆C 的右焦点F ,过F
的直线m 交椭圆C 于,M N 两点(均异于左、右顶点). （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线:4l x =,A 为椭圆C 的右顶点. 若直线AM 交l 于点P ，直线AN 交l 于点Q ，试判断
()FP FQ MN +⋅u u u v u u u v u u u u v
是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）22
143
x y +=（2）定值为0.
【解析】 【分析】
（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c ，再根据离心率得a b ，，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简
()FP FQ MN +⋅u u u r u u u r u u u u r
，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果.
【详解】
（1330x y -=过椭圆C 的右焦点F ,所以(1,0)1F c ∴=，
因为离心率为12，所以22
12,31243
c x y a b a =∴==+=，
（2）(2,0)A ，设直线:1m x ty =+，1122(,)(,)M x y N x y 则11
112:(2)(4,)22
y y AM y x P x x =
-∴-- 22
222:(2)(4,)22
y y AN y x Q x x =
-∴--
因此12
21211222()(33,
)(,)22
y y FP FQ MN x x y y x x +⋅=++⋅----u u u r u u u r u u u u r 12
212112226()()(
)22
y y x x y y x x =-+-+-- 121221212121212212242()
()6(
)]()6]11()1
y y ty y y y y y t y y t ty ty t y y t y y -+=-++=-+---++[[ 由22
143
1x x y ty ，+=+=得22(34)690t y ty ++-=，
所以1212
2269
,3434
t y y y y t t --+==++， 因此222122122
2122122236122442()3434346496()1
1
343434
t t t
ty y y y t t t t t t t y y t y y t t t --+-++++===---+++++++ 即()0.FP FQ MN +⋅=u u u r u u u r u u u u r
【点睛】
本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 与1B BC V 是全等的等边三角形.
（1）求证：1BC AB ⊥； （2）若11
cos 4
B BA ∠=
，求二面角1B B C A --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（25． 【解析】 【分析】
（1）取BC 的中点O ，则1B O BC ⊥，由ABC V 是等边三角形，得AO BC ⊥，从而得到BC ⊥平面1B AO ，由此能证明1BC AB ⊥
（2）以OA ，OB ，1OB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.
【详解】
（1）取BC 的中点O ，连接AO ，1B O ，
由于ABC V 与1B BC V 是等边三角形，所以有AO BC ⊥，1B O BC ⊥， 且1AO B O O =I ，
所以BC ⊥平面1B AO ，1AB ⊂平面1B AO ，所以1BC AB ⊥． （2）设AB a =，1ABC B BC V V 与是全等的等边三角形， 所以11BB AB BC AC B C a =====， 又11cos 4
B BA ∠=
，由余弦定理可得222
2113
242AB a a a a a =+-⋅⨯=，
在1O AB V 中，有222
11AB AO B O =+，
所以以OA ，OB ，1OB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则3,0,0
2A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02a
B ⎛⎫
⎪⎝⎭，130,0,2B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 设平面1ABB 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则1310020330
ax ay n AB n AB ax az ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，
令1x =，则()
1,3,1n =r
，
又平面1BCB 的一个法向量为()1
,0,0m =u r
， 所以二面角1B B C A --的余弦值为
1130105
cos 51n n m
m θ⋅⨯+⨯+⨯===⨯⋅r r r
u r u , 即二面角1B B C A --的余弦值为
5
．
【点睛】
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角
的余弦值，属于中档题目.
22．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为1,2F 是椭圆C 的一个焦点，点(0,2)M ，直线MF 的
斜率为1．
（1）求椭圆C 的方程；
（1）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为N ，是否存在直线l 使得
||2||AB MN =？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）22
143
x y += （1）不存在，理由见解析
【解析】 【分析】
（1）利用离心率和过点(0,2)M ，列出等式，即得解
（1）设l 的方程为2y kx =+，与椭圆联立，利用韦达定理表示中点N 的坐标，用点坐标表示
||2||AB MN =，利用韦达关系代入，得到关于k 的等式，即可得解.
【详解】
（1）由题意，可得1
,2
22,c a c
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,1,a c =⎧⎨
=⎩ 则2223b a c =-=，
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=．
（1）当直线l 的斜率不存在时，
|||2,||||AB MN AB MN ==≠，不符合题意．
当l 的斜率存在时， 设l 的方程为2y kx =+，
联立22
1,43
2,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得22
(34)1640k x kx +++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，
则122
1634k x x k
+=-
+，1224
34x x k =+， 222(16)16(34)192480k k k ∆=-+=->，即21
4
k >
． 设00(,)N x y ，则1202
8234x x k
x k +=
=-+， ||2||AB MN =Q ，
1200x -=-，
02x =，
即21634k k =+， 整理得2
3
4
k =-
，此方程无解，故l 的方程不存在． 综上所述，不存在直线l 使得||2||AB MN =． 【点睛】
本题考查了直线和椭圆综合，考查了弦长和中点问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
23．已知函数()||||f x x a x b =++-，(其中0a >，0b >). （1）求函数()f x 的最小值M .
（2）若2c M >，求证：c a c <<【答案】（1）+a b .（2）答案见解析 【解析】 【分析】
（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M ；
（2）利用分析法，只需证明||a c -<，两边平方后结合2 , 0c a b a >+>即可得证.
【详解】
（1）()|||||()()|||f x x a x b x a x b a b a b =++-+--=+=+…，当且仅当()()0x a x b +-„时取等号， ∴()f x 的最小值M a b =+； （2）证明：依题意，20c a b >+>，
要证c a c <||a c -<
，即证222
2a ac c c ab -+<-，即证
220a ac ab -+<，即证(2)0a a c b -+<，又2 , 0c a b a >+>可知，(2)0a a c b -+<成立，故原不
等式成立.
【点睛】
本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．。