甘肃省武威市第六中学2014届高三第四次月考数学(理)试题(含答案)

甘肃武威市第六中学2014届高三第四次月考数学（理）试题
（本试卷共3页，大题3个，小题22个。

答案要求写在答题卡上）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）
1. 若复数a ＋3i
1＋2i
(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )
A ．－6
B ．13 C.3
2 D.13
2．若函数f(x)＝sin x ＋φ
3
(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A.π2
B.2π3
C.3π2
D.5π3
3．已知集合{1,2,3,4,5},{(,)|,,}A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈则B 中所含元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．10
4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1
2
，则切点的横坐标为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D.1
2
5．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )
A ．2n －1 B.n ＋1n
C ．n 2
D ．n
6．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )作的功为( )
A.3J
B.23
3J
C.433
J D ．23J
7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )
A ．1∶2
B ．2∶3
C ．3∶4
D ．1∶3
8．函数f (x )＝log 2x 2的图象的大致形状是( )
9．已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.2
，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
10. P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
11．已知函数f (x )＝x e x －ax －1，则关于f (x )零点叙述正确的是( )
A ．当a ＝0时，函数f (x )有两个零点
B ．函数f (x )必有一个零点是正数
C ．当a ＜0时，函数f (x )有两个零点
D ．当a ＞0时，函数f (x )只有一个零点
12．设f (x )是定义在R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，当x ≥1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
－1，则f ⎝⎛⎭
⎫23，f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫
13的大小关系是( )
A ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫13
B ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32
C ．f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13
D ．f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭
⎫23 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
13．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
14．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________．
15．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →
＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．
16．在等差数列{a n }中，若a 1＜0，S 9＝S 12，则当n 等于________时，S n 取得最小值．
武威六中第一轮高考复习阶段性过关测试卷（四）
数 学（理）答题 卡
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
13． ． 14． ． 15． ． 16． ． 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .
(1)若c ＝2，C ＝π
3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；
(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．
18. 在数列}{n a 中，11=a ，并且对于任意n ∈N *
，都有1
21+=
+n n
n a a a ．
(1）证明数列}1
{
n
a 为等差数列，并求}{n a 的通项公式； (2)求数列}{1+n n a a 的前n 项和n T
19.已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫
2π3－x 的值；
(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．
20．已知a 是实数,函数2
()()f x x x a =-.
(Ⅰ)若(1)3f '=,求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)求()f x 在区间[]2,0上的最大值.
21．已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两个根，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－b n
2
(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
22. 设函数f(x)=2
1x
e x ax ---.
（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;（Ⅱ）若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围.
(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，
即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， - - - - - - - - - - - - -9分 ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，- - - - - - - - - - - - -10分 当cos A ＝0时，∵0＜A ＜π，∴A ＝π
2
，△ABC 为直角三角形；
当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． - - - - - - - - - - - - -12分
19. 【解】 (1)∵m ·n ＝1，即3sin x 4cos x 4＋cos 2x
4
＝1，
即
32sin x 2＋12 cos x 2＋1
2
＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.- - - - - - - - - - - - -- - 3分
∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3 - - - - - - - - - - - - -- - 4分 ＝－⎣⎡⎦
⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝2·⎝⎛⎭⎫122－1＝－12
. - - - - - - - - - - - - -- - 6分
20. 【答案】(Ⅰ)()2
32f x x ax '=-,由'(1)3f =易得a =0,从而可得曲线()y f x =在(1,(1))f 处
的切线方程为320.x y --= - - - - - - - - - - - - -- - 5分
(Ⅱ令'()0f x =,得1220,3
a
x x ==
.
当20,3
a
≤即0a ≤时,()f x 在[0,2]上单调递增, max ()(2)84f x f a ==-； 当
22,3
a
≥即3a ≥时,()f x 在[0,2]上单调递减, max ()(0)0f x f ==; - - -9分 当202,3
a <
<即03a <<时,()f x 在2[0,]3a 上单调递减,在2[,2]3a
上单调递增,函数
f (x )(0≤ x ≤2)的最大值只可能在x =0或x =2处取到,因为f (0) =0,f (2)=8-4a ,令f (2) ≥ f (0),
得a ≤ 2,所以max
84,02;
()0,2 3.a a f x a -<≤⎧=⎨
<<⎩
- - - - - - - - - - - - -- - 11分 综上,max
84,2;
()0, 2.a a f x a -≤⎧=⎨
>⎩
- - - - - - - - - - - - -- - 12分 21.【解】 (1)∵a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两根，且数列{a n }的公差d >0，
∴a 3＝5，a 5＝9，公差d ＝a 5－a 3
5－3
＝2.
∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝2n －1. - - - - - - - - - - - -- - 3分 又当n ＝1时，有b 1＝S 1＝1－b 12，∴b 1＝1
3，
当n ≥2时，有b n ＝S n －S n －1＝1
2(b n －1－b n )，
∴
b n b n －1＝13
(n ≥2)．∴数列{b n }是首项b 1＝13，公比q ＝1
3的等比数列，
∴b n ＝b 1q n －
1＝13
n . - - - - - - - - - - - - -- - 6分
(2)由(1)知c n ＝a n b n ＝2n －13n ，∴T n ＝131＋332＋5
33＋…＋2n －13n ，①
13T n ＝132＋333＋5
34＋…＋2n －33n ＋2n －13n ＋1，② - - - - - - - - - - - - -- - 9分 ①－②得23T n ＝13＋232＋233＋…＋23n －2n －13
n ＋1
＝13＋2132＋133＋…＋13n －2n －1
3
n ＋1，整理得T n ＝1－n ＋13n . - - - - - - - - - - - - -- - 12分。