全国100套中考数学压轴题分类解析汇编专题[最新]-37页精选文档

2013年全国100套中考数学压轴题分类解析汇编
专题2：动点问题
1. （2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．
（1）当BC =1时，求线段OD 的长；
（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD =x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】解：（1）∵点O 是圆心，OD ⊥BC ，BC =1，∴BD =12BC =12。

又∵OB =2
，∴==。

（2）存在，DE 是不变的。

如图，连接AB ，
则=。

∵D 和E 是中点，∴DE
=12
（3）∵BD =x ，
∴OD =。

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB =900。

∴∠2+∠3=45°。

过D
作DF ⊥OE ，垂足为点F 。

∴DF =OF。

由△BOD ∽△EDF ，得BD OD
=
EF DF
，即x EF EF
x 。

∴OE
2. （2012福建南平14分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ，且∠1=∠B =∠C ．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅
助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明） 答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．
（2）若∠B =45°，BC =2，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合）， ①求CE 的最大值；
②若△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
【答案】解：（1）AB =AC ；∠AED =∠ADC ；△ADE ∽△ACD 。

（2）①∵∠B =∠C ，∠B =45°，∴△ACB 为等腰直角三角形。

∵∠1=∠C ，∠DAE =∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD 。

∴AD ：AC =AE ：AD ，∴22AD AE AC 2
==22
AD 2= 。

当AD 最小时，AE 最小，此时AD ⊥BC ，AD =1
2
BC =1。

∴AE 的最小值为 2221⨯=。

∴CE 的最大值= 222-=。

②当
AD =AE 时，∴∠1=∠AED =45°，
∴∠DAE =90°。

∴点D 与B 重合，不合题意舍去。

当EA =ED 时，如图1，∴∠EAD =∠1=45°。

∴AD 平分∠BAC ，∴AD 垂直平分BC 。

∴BD =1。

当DA =DE 时，如图2，
∵△ADE ∽△ACD ，∴DA ：AC =DE ：DC 。

∴DC =CA =2。

∴BD =BC －DC =2－2。

综上所述，当△ADE 是等腰三角形时，BD 的长的长为1
或2。

3. （2012甘肃兰州12分）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y ＝2
3
x 2
＋bx ＋c 经过点B ，且顶点在直线x ＝52
上． (1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE ，点A 、B 、O 的对应点分别是D 、C 、E ，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接BD ，已知对称轴上存在一点P 使得△PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；
(4)在(2)、(3)的条件下，若点M 是线段OB 上的一个动点(点M 与点O 、B 不重合)，过点M 作∥BD 交x 轴于点N ，连接PM 、PN ，设OM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 和t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M 点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线y ＝23
x 2＋bx ＋c 经过点B (0，4)，∴c ＝4。

∵顶点在直线x ＝5
2
上，∴b 5=
2223-
⋅，解得10b=3
-。

∴所求函数关系式为2210
y=x x+433
-。

（2）在Rt △ABO 中，OA ＝3，OB ＝4
，∴AB 5。

∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝CD ＝DA ＝AB ＝5。

∴C 、D 两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，
当x ＝5时，2210
y=55+4=433⨯-
⨯；
当x ＝2时，2210
y=22+4=033
⨯-⨯。

∴点C 和点D 都在所求抛物线上。

（3）设CD 与对称轴交于点P ，则P 为所求的点，
设直线CD 对应的函数关系式为y ＝kx ＋b ，
则5k+b=42k+b=0⎧⎨⎩，解得，4k=3
8
b=3⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩。

∴直线CD 对应的函数关系式为48
y=x 33
-。

当x ＝5
2时，4582y==3233⨯-。

∴P (5223
，)。

（4）∵MN ∥BD ，∴△OMN ∽△OBD 。

∴OM ON OB OD =
，即t ON 42=，得t
ON 2
=。

设
对称轴交x 于点F ，则
()PFOM 112555
S PF OM OF=+t =t+223246
⎛⎫=⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭梯形。

2255115117t+t t+t +t 46466412⎛⎫
=---=- ⎪⎝⎭
(0＜t ＜4)。

∵2
2117117289S=t +t=t +41246144⎛⎫--- ⎪
⎝⎭，1
04
<-，0＜
17
6
＜4， ∴当17t=
6时，S 取最大值是289144。

此时，点M 的坐标为(0，176)。

4. （2012广东省9分）如图，抛物线213
y=x x 922
--与x 轴交于A 、B 两
点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC ． （1）求AB 和OC 的长；
（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．
【答案】解：（1）在213y=x x 922
--中， 令x =0，得y =－9，∴C （0，﹣9）；
令y =0，即213x x 9=022
--，解得：x 1=﹣3，x 2=6，∴A （﹣3，0）、B （6，0）。

∴AB =9，OC =9。

（2）∵ED ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ，∴2
AED ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即：2
s m 19992
⎛⎫
= ⎪⎝⎭⋅⋅。

∴s =12
m 2（0＜m ＜9）。

（3）∵S △AEC =12
AE •OC =92m ，S △AED =s =1
2m 2，
∴S △EDC =S △AEC ﹣S △AED =﹣12m 2+92m =﹣12（m ﹣92
）2+81
8。

∴△CDE 的最大面积为818，此时，AE =m =9
2
，BE =AB
﹣AE =9
2。

又22BC 6+9=313=，
过E 作EF ⊥BC 于F ，则Rt △BEF ∽Rt △BCO ，得：EF BE OC BC =，即：9
EF
29313
=。

∴27
EF 1326
=。

∴以E 点为圆心，与BC 相切的圆的面积 S ⊙E =π•EF 2=729
52
π。

5. （2012贵州毕节16分）如图，直线l 1经过点A （－1，0），直线l 2
经过点B (3，0), l 1、l 2均为与y 轴交于点C (0，3-)，抛物线2y=a x+bx+c(a 0)
≠经过A 、B 、C 三点。

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴依次与x 轴交于点D 、与l 2交于点E 、与抛物线交于点F 、与l 1交于点G 。

求证：DE =EF =FG ;
(3)若l 1⊥l 2于y 轴上的C 点处，点P 为抛物线上一动点，要使△PCG 为等腰三角形，请写出符合条件的点P 的坐标，并简述理由。

【答案】解：（1）∵抛物线2y=ax +bx+c(a 0)≠经过
A （－1，0），
B （3，0），
C （0，3-）三点，
∴ a b c 09a 3b c 0 c 3⎧-+=⎪
++=⎨⎪=-⎩ ，解得3
a 23
b
c 3
⎧=⎪⎪⎪⎪=
⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩。

∴抛物线的解析式为：2323
y=
x +x 3-． （2）证明：设直线l 1的解析式为y =kx +b ，由直线l 1经过A （－1，0），C （0，3-），得
∴ k b 0
b 3-+=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得k 3 b 3
⎧=-⎪⎨
=-⎪⎩，∴直线l 1的解析式为：y =-3-x 3- 。

直线l 2经过B （3，0），C （0，3-）两点，同理可求得直线l 2解析式为：
y =
3x 3- 。

∵抛物线()2
2323343y=
x +x 3=x 1---
， ∴对称轴为x =1，D （1，0），顶点坐标为F （1，43
3
- ）。

点E 为x =1与直线l 2：y = 3x 3-的交点，令x =1，得y =23
-
，∴E （1，23
-
）。

点G 为x =1与直线l 1：y =-3-x 3- 的交点，令x =1，得y =23- ，∴G （1，23-）。

∴各点坐标为：D （1，0），E （1，233- ），F （1，43
3
-），G （1，23- ），它们均位于对称轴x =1上。

∴DE =EF =FG =
23。

（3）如图，过C 点作C 关于对称轴x =1的对称点P 1，
CP 1交对称轴于H 点，连接CF ，PG 。

△PCG 为等腰三角形，有三种情况：
①当CG =PG 时，如图，由抛物线的对称性可知，此时
P 1满足P 1G =CG 。

∵C （0，3-），对称轴x =1，∴P 1（2，3- ）。

②当CG =PC 时，此时P 点在抛物线上，且CP 的长度等于CG 。

如图，C （1，3- ），H 点在x =1上，∴H （1，3-）。

在Rt △CHG 中，CH =1，HG =|y G －y H |=|23- －（3-）|= 3， ∴由勾股定理得：()2
2CG 132=+=。

∴PC =2．
如图，CP1=2，此时与①中情形重合。

又Rt△OAC中，()2
2
=+=，∴点A满足PC=2的条件，但点A、C、AC132
G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。

③当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上.
∵l1⊥l2，∴△ECG为直角三角形。

由（2）可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点。

∴CF=FG，∴F为满足条件的P点，∴P2（1，43
-）。

又CG3
cos CGE
∠==，∴∠CGE=30°。

∴∠HCG=60°。

EG2
又P1C=CG，∴△P1CG为等边三角形。

∴P1点也在CG的垂直平分线上，此种情形与①重合。

综上所述，P点的坐标为P1（2，3
-）或P2（1，43
-）。

6. （2012贵州遵义12分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如
果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
【答案】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角
形，
∴∠ACB=60°。

∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°。

设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+C=6+x。

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=1
2QC，即6﹣x=1
2
（6+x），解得
x=2。

∴当∠BQD=30°时，AP=2。

（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会
改变。

理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接
QE，PF。

∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°。

∵点P、Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ。

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°。

∴在△APE和△BQF中，
∵∠A=∠FBQ，AP=BQ，∠AEP=∠BFQ=90°，∴△APE≌△BQF（AAS）。

∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF。

∴四边形PEQF是平行四边形。

∴DE=1
2
EF。

∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=1
2
AB。

又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3。

∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。

7. （2012湖北宜昌12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E 都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x 轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣3）a．
（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；
（2）当点C与点A重合时，求a的值；
（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？
【答案】解：（1）当x =0时，y =1；当y =0时，x =﹣3，
∴OA =1，OB =3。

∴A 的坐标是（0，1）。

∴tan ∠ABO =
OA 3
OB 33
==。

∴∠ABO =30°。

（2）∵△CDE 为等边三角形，点A （0，1），∴tan 30°=
OD
OA
，∴OD =
3
3。

∴D 的坐标是（﹣
3，0），E 的坐标是（3，0）， 把点A （0，1），D （﹣3，0），E （3
，0）代入 y =a （x ﹣m ）
2
+n ，得
222
1=am +n 30=a m +n 30=a m +n
⎧
⎪⎪⎪⎛⎫⎪-- ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
，解得a=3
m=0n=1
-⎧⎪⎨⎪⎩。

∴a =﹣3。

（3）如图，设切点分别是Q ，N ，P ，连接MQ ，MN ，MP ，ME ，
过点C 作CH ⊥x 轴，H 为垂足，过A 作AF ⊥CH ，F 为垂足。

∵△CDE 是等边三角形，∠ABO =30°，
∴∠BCE =90°，∠ECN =90°。

∵CE ，AB 分别与⊙M 相切，
∴∠MPC =∠CNM =90°。

∴四边形MPCN 为矩形。

∵MP=MN，∴四边形MPCN为正方形。

a（a＜0）。

∴MP=MN=CP=CN=3（1
∵EC和x轴都与⊙M相切，∴EP=EQ。

∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60°。

∴∠EMQ，=30°。

∴在Rt△MEP中，tan30°=PE
，∴PE=3）a。

PM
a+﹣3）a=﹣。

∴CE=CP+PE=3（1
∴DH=HE=
∴OH=﹣OE=﹣4
∴E（﹣a0），C（﹣3a）。

设二次函数的解析式为：y=a（x）2﹣3a，
∵E在该抛物线上，∴a（﹣）2﹣3a=0，
得：a2=1，解之得a1=1，a2=﹣1。

∵a＜0，∴a=﹣1。

∴AF CF=2，∴AC=4。

∴点C移动到4秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切。

8. （2012湖南常德10分）已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连结DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连结OP，ON。

（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）
（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：
①BN =CP ： ②OP =ON ，且OP ⊥ON
(2) 设AB =4，BP =x ，试确定以O 、P 、B 、N 为顶点的四边形的面积y 与x 的函数关系。

【答案】（1）证明：如图1，
①∵四边形ABCD 是正方形，
∴OC =OB ，DC =BC ，∠DCB =∠CBA =90°，∠OCB =∠OBA =45°，
∠DOC =90°，DC ∥AB 。

∵DP ⊥CN ，∴∠CMD =∠DOC =90°。

∴∠BCN +∠CPD =90°，∠PCN +∠DCN =90°。

∴∠CPD =∠CNB 。

∵DC ∥AB ，∴∠DCN =∠CNB =∠CPD 。

∵在△DCP 和△CBN 中，∠DCP =∠CBN ，∠CPD =∠BNC ，DC =BC ，
∴△DCP ≌△CBN （AAS ）。

∴CP =BN 。

②∵在△OBN 和△OCP 中，OB =OC ，∠OCP =∠OBN ， CP =BN ，
∴△OBN ≌△OCP （SAS ）。

∴ON =OP ，∠BON =∠COP 。

∴∠BON +∠BOP =∠COP +∠BOP ，即∠NOP =∠BOC =90°。

∴ON ⊥OP 。

（2）解：∵AB =4，四边形ABCD 是正方形，∴O 到BC 边的距离是2。

图1中，OBN BOP OPBN 11S S S 4x 2x 240x 422<<∆∆=+=⋅-⋅+⋅⋅=四形（）（）边， 图2中，2POB PBN OBNP 111S S S x 2x 4x x x x 4222
>∆∆=+=⋅⋅+⋅-⋅=-四形（）（）边。

∴以O 、P 、B 、N 为顶点的四边形的面积y 与x 的函数关系是：
240x 4y=1 x x x 42
<<>⎧⎪⎨-⎪⎩（）（） 。

9. （2012湖南张家界10分）如图，⊙O 的直径AB =4，C 为圆周上一点，
AC =2，过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧¼CBA
上一动点（不与A ．C 重合）．
（1）求∠APC 与∠ACD 的度数；
（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．
（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．
【答案】解：（1）连接AC，如图所示：
AB=2。

∵AB=4，∴OA=OB=OC=1
2
又∵AC=2，∴AC=OA=OC。

∴△ACO为等边三角形。

∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∠AOC=30°。

∴∠APC=1
2
又DC与圆O相切于点C，∴OC⊥DC。

∴∠DCO=90°。

∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。

（2）连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。

当点P移动到弧CB的中点时，∠COP=∠POB=60°。

∴△COP和△BOP都为等边三角形。

∴AC=CP=OA=OP。

∴四边形AOPC为菱形。

（3）当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC。

当点P继续运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为：
∵CP与AB都为圆O的直径，∴∠CAP=∠ACB=90°。

在Rt△ABC与Rt△CPA中，AB=CP，AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）。

综上所述，当点P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA。

10. （2012江苏无锡10分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，∠BAC=1
∠DAB。

2
又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。

如图1，连接BD交AC于O。

∵四边形ABCD是菱形，
AC。

∴AC⊥BD，OA=1
2
AB=1。

∴OA=3，AC=2OA=23。

∴OB=1
2
运动ts后，AP=3t，AO=t，∴AP AC
=3
=。

AQ AB
又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.
∴PQ∥BC.
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC。

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=13
-。

PC=3t
22
由PM=PQ=AQ=t，即3
-=t，解得t=436-，
3t
2
此时⊙P与边BC有一个公共点。

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°∴△PQB为等边三角形。

∴QB=PQ=AQ=t。

∴t=1。

∴当436t1
-≤时，⊙P与边BC有2个公共点。

<
如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即233t
- =t
∴t=33
-。

∴当1≤t≤33
-时，⊙P与边BC有一个公共点。

当点P运动到点C，即t=2时，Q、B重合，⊙P过
点B ，
此时，⊙P 与边BC 有一个公共点。

综上所述，当t =436-或1≤t ≤33-或t =2时，⊙P 与菱形ABCD 的边BC 有1个公共点；当436t 1<-≤时，⊙P 与边BC 有2个公共点。

11. （2012江苏南通12分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，点D 是BC 边的中点．点P 从点B 出发，以acm /s (a ＞0)的速度沿BA 匀速向点A 运动；点Q 同时以1cm /s 的速度从点D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts ．
(1)若a ＝2，△BPQ ∽△BDA ，求t 的值；
(2)设点M 在AC 上，四边形PQCM 为平行四边形．
①若a ＝ 5 2
，求PQ 的长； ②是否存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分
线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】解：（1）△ABC 中，AB =AC =10，BC =12，D
是BC 的中点，∴BD =CD =12
BC =6。

∵a =2，∴BP =2t ，DQ =t 。

∴BQ =BD －QD =6－t 。

∵△BPQ ∽△BDA ，∴BP BQ BD AB =，即t 6t 610-=，解得：18t=13。

（2）①过点P 作PE ⊥BC 于E ，
∵四边形PQCM 为平行四边形，
∴PM ∥CQ ，PQ ∥CM ，PQ =CM 。

∴PB ：AB =CM ：AC 。

∵AB =AC ，∴PB =CM 。

∴PB =PQ 。

∴BE =12BQ =12（6－t ）。

∵a = 5 2，∴PB = 5 2
t 。

∵AD ⊥BC ，∴PE ∥AD 。

∴PB ：AB =BE ：BD ，即51t (6t)22106=－。

解得，t =32。

∴PQ =PB = 5 2t =154
（cm ）。

②不存在．理由如下：
∵四边形PQCM 为平行四边形，∴PM ∥CQ ，PQ ∥CM ，PQ =CM 。

∴PB ：AB =CM ：AC 。

∵AB =AC ，∴PB =CM ，∴PB =PQ 。

若点P 在∠ACB 的平分线上，则∠PCQ =∠PCM ，
∵PM ∥CQ ，∴∠PCQ =∠CPM 。

∴∠CPM =∠PCM 。

∴PM =CM 。

∴四边形PQCM 是菱形。

∴PQ =CQ 。

∴PB =CQ 。

∵PB =at ，CQ =BD +QD =6+t ，∴PM =CQ =6+t ，AP =AB －PB =10－at ，且 at =6+t ①。

∵PM ∥CQ ，∴PM ：BC =AP ：AB ，∴
6t 10at 1210+-=，化简得：6at +5t =30②。

把①代入②得，t =611-。

∴不存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上。

12. （2012江苏泰州12分） 如图，已知一次函数1y kx b =+的图象与x
轴相交于点A ，与反比例函数2c y x =的图象相交于B （－1，5）、C （25，d ）两点．点P （m ，n ）是一次函数1y kx b =+的图象上的动点．
（1）求k 、b 的值；
（2）设31m 2-<<，过点P 作x 轴的平行线与函数2c y x =的图象相交于
点D ．试问△PAD 的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设m 1a =-，如果在两个实数m 与n 之间（不包括m 和n ）有且只
有一个整数，求实数a 的取值范围．
【答案】解：（1）将点B 的坐标代入2c y x =，
得c 51
=
- ，解得c=5-。

∴反比例函数解析式为25y x
=-。

将点C （52，d ）的坐标代入25y x
=-，得5d =252
=--。

∴C （52，－2） ∵一次函数1y kx b =+的图象经过B （－1，5）、C （52
，－2）两点，
∴5k b 52k b 2=-+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得k=2b=3-⎧⎨⎩。

（2）存在。

令1y 0=，即2x 30-+=，解得3
x 2=。

∴A （32
，0）。

由题意，点P （m ，n ）是一次函数1y 2x 3=-+的图象上的动点，且31m 2-<< ∴点P 在线段AB 上运动（不含A 、B ）。

设P （
3n n 2-，）。

∵DP ∥x 轴，且点D 在25y x =-的图象上， ∴D P D 5y y n x =n ==-，，即D （5n n
-，）。

∴△PAD 的面积为2113n 51349S PD OP=+n=n +222n 4216-⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

∴S 关于n 的二次函数的图象开口向下，有最大值。

又∵n =2m 3-+，31m 2-<<，得0n 5<<，而3
0n=52
<<。

∴当3n=2时，即P （3342 ，）时，△PAD 的面积S 最大，为4916。

（3）由已知，P （1a,2a+1- ）。

易知m ≠n ，即1a 2a+1-≠，即a 0≠。

若a 0>，则m 1n <<。

由题设，m 0n 2>≤，，解出不等式组的解为10a 2
<≤。

若a 0<，则n 1m <<。

由题设，n 0m 2<≥，，解出不等式组的解为1a 02<-≤。

综上所述，数a 的取值范围为1a 02<-≤，10a 2<≤。

13. （2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，点M 为边BC 的中点，点P 为边CD 上的动点（点P 异于C 、D 两点）。

连接PM ，过点P 作PM 的垂线与射线DA 相交于点E （如图）。

设CP =x ，DE =y 。

（1）写出y 与x 之间的函数关系式 ▲ ；
（2）若点E 与点A 重合，则x 的值为 ▲ ；
（3）是否存在点P ，使得点D 关于直线PE 的对称点D ′落在边AB 上？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）y =－x 2＋4x 。

（2）2+2或22-。

（3）存在。

过点P 作PH ⊥AB 于点H 。

则
∵点D 关于直线PE 的对称点D ′落在边AB 上，
∴P D ′=PD =4－x ，E D ′=ED = y =－x 2＋4x ，EA =AD －ED = x 2－4x ＋2，∠P D ′E =∠D =900。

在Rt △D ′P H 中，PH =2， D ′P =DP =4－x ，D ′H =()2224x 2x 8x+12--=-。

∵∠ E D ′A =1800－900－∠P D ′H =900－∠P D ′H =∠D ′P H ，∠P D ′E =∠P HD ′ =900，
∴△E D ′A ∽△D ′P H 。

∴E D EA D P D H '=''，即222x 4x 4x x 8x+12
-=--＋， 即22x x 8x+12=-，两边平方并整理得，2x 2－4x ＋1=0。

解得22x 2±=。

∵当2+2x 2=时，y =22+22+25+22+4=2>⎛⎫-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴此时，点E 已在边DA 延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。

∵当22x -=时，y =2
22225+22+4=2<⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴此时，点E 在边AD 上，符合题意。

∴当22x -=时，点D 关于直线PE 的对称点D ′落在边AB 上。

14. （2012江苏徐州8分）如图1，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AD =4cm ，AB =dcm 。

动点E 、F 分别从点D 、B 出发，点E 以1 cm /s 的速度沿边DA 向点A 移动，点F 以1 cm /s 的速度沿边BC 向点C 移动，点F 移动到点C 时，两点同时停止移动。

以EF 为边作正方形EFGH ，点F 出发xs 时，正方形EFGH 的面积为ycm 2。

已知y 与x 的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示。

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）自变量x 的取值范围是 ▲ ；
（2）d = ▲ ，m = ▲ ，n =
▲ ；
（3）F 出发多少秒时，正方形EFGH 的面积
为16cm 2？
【答案】解：（1）0≤x ≤4。

（2）3，2，25．
（3）过点E 作EI ⊥BC 垂足为点I 。

则四边形DEIC 为矩形。

∴EI =DC =3，CI =DE =x 。

∵BF =x ，∴IF =4－2x 。

在
Rt △EFI 中，
()22222EF EI IF 34 2 x ==-＋＋。

∵y 是以EF 为边长的正方形EFGH 的面积，
当y =16时，()2
234 2 x 16-=＋，
解得，124747x x -==
＋，。

∴F 出发47
＋或
47-秒时，正方形EFGH 的面积为16cm 2。

15. （2012四川乐山13分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ．
①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标． 【答案】解：（1）解方程x 2﹣2x ﹣3=0，得 x 1=3，x 2=﹣1。

∵m ＜n ，∴m =﹣1，n =3。

∴A （﹣1，﹣1），B （3，﹣3）。

∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y =ax 2+bx 。

∴a b=19a 3b=3--⎧⎨--⎩，解得：1a=21
b=2⎧
-⎪⎪⎨⎪⎪⎩。

∴抛物线的解析式为211
y=x +x 22
-。

（2）①设直线AB 的解析式为y =kx +b 。

∴k+b=13k+b=3--⎧⎨-⎩，解得：1k=23
b=2⎧
-⎪⎪⎨
⎪-⎪⎩。

∴直线AB 的解析式为13y=x 22--。

∴C 点坐标为（0，3
2
-）。

∵直线OB 过点O （0，0），B （3，﹣3），∴直线OB 的解析式为y =﹣x 。

∵△OPC 为等腰三角形，∴OC =OP 或OP =PC 或OC =PC 。

设P （x ，﹣x ）。

（i ）当OC =OP 时，()229
x +x =4-，解得123232
x =x =-
，（舍去）。

∴P 1（
3232
44
-
，）。

（ii ）当OP =PC 时，点P 在线段OC 的中垂线上，∴P 2（3
344
-，）。

（iii ）当OC =PC
时，由2
2
39
x +x+=24⎛⎫- ⎪⎝
⎭，解得123
x =x =02
，（舍去）。

∴P 3（33
22
-，）。

综上所述，P 点坐标为P 1（3232-，）或P 2
（33
44
-，）或P 3（3
32
2
-，）。

②过点D 作DG ⊥x 轴，垂足为G ，交OB 于Q ，过
B 作BH ⊥x 轴，垂足为H ．设Q （x ，﹣x ），D （x ，211x +x 22
-）． S △BOD =S △ODQ +S △BDQ =12
DQ •OG +12
DQ •GH =12
DQ （OG +GH ）=
2111x+x +x 322
2⎡⎤⎛⎫-⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ∵0＜x ＜3，∴当3
x=2
时，S 取得最大值为
27
16
，此时D （3328- ，）。

②利用S △BOD =S △ODQ +S △BDQ 得出关于x 的二次函数，从而得出最值
即可。

16. （2012四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形
ABCD 是菱形，顶点A ．C ．D 均在坐标轴上，且AB =5，sinB =45
．
（1）求过A ．C ．D 三点的抛物线的解析式； （2）记直线AB 的解析式为y 1=mx +n ，（1）中抛物线的解析式为y 2=ax 2+bx +c ，求当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围；
（3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上A ．E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，△PAE 的面积最大？并求出面积的最大值．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，且AB =5，∴AB =AD =CD =BC =5，
sinB =sinD =45。

在Rt △OCD 中，OC =CD •sinD =4，OD =3，∴OA =AD ﹣OD =2。

∴A （﹣2，0）、B （﹣5，4）、C （0，4）、D （3，0）。

设抛物线的解析式为：y =a （x +2）（x ﹣3），将C （0，4）代入得：2×（﹣3）a =4，解得a =﹣23。

∴抛物线的解析式为y =23
（x +2）（x ﹣3）222x +x+43
3
=-。

（2）由A （﹣2，0）、B （﹣5，4）得直线AB ：148y x 3
3
=--。

由（1）得：222
2
y x +x+43
3=-，则：
248y x 33
22y x +x+433⎧=--⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
，解得：11x 2y 0=-⎧⎨=⎩，22x 528y 3=⎧⎪⎨=-⎪⎩。

由图可知：当y 1＜y 2时，﹣2＜x ＜5。

（3）∵S △PAE 等于AE 和AE 上高乘积的一半，
∴当在抛物线上A ．E 两点之间，P 到直线AB 的距离最大时，S △PAE 最大。

若设直线L ∥AB ，则直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P 。

设直线L ：4y x+b 3
=-，
当直线L 与抛物线有且只有一个交点时，24
22x+b x +x+43
3
3
-=-，且△=0。

由
2422x+b x +x+4333
-=-化简，得
22x 6x+3b 120--=，
解得，b =
112。

且24x 12x+90-=，解得3
x=2。

∴直线L ：411y x+32=-。

∴点P （37
22 ，）。

由（2）得：E （5，283-），则直线PE ：11
y x+93
=-。

设直线PE 与x 轴交于点F ，则点F （27
11
，0），
∴AF =OA +OF =49
11。

∴△PAE 的最大值：PAE PAF AEF 149287343
S S S 2113212
∆∆∆=+=⨯⨯+=
（）。

综上所述，当P （3722 ，）时，△PAE 的面积最大，为
343
12。

17. （2012四川广元12分）如图，在矩形ABCO 中，AO =3，tan ∠ACB =3
4，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系。

设D ，
E 分别是线段AC ，OC 上的动点，它们同时出发，点D 以每秒3个单位的速度从点A 向点C 运动，点E 以每秒1个单位的速度从点C 向点O 运动，设运动时间为t 秒。

（1）求直线AC 的解析式；
（2）用含t 的代数式表示点D 的坐标；
（3）当t 为何值时，△ODE 为直角三角形？
（4）在什么条件下，以Rt △ODE 的三个顶点能确定一条对称轴平行于
y 轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式。

【答案】解：（1）根据题意，得
CO =AB =BC •tan ∠ACB =4， ∴A （0，3）、B （4，3）、C （4，0）。

设直线AC 的解析式为：y =kx +3，代入C 点坐标，得：4k +3=0，k =34
-。

∴直线AC ：y =3
4-x +3。

（2）分别作DF ⊥AO ，DH ⊥CO ，垂足分别为F ，H ， 则有△ADF ∽△DCH ∽△ACO 。

∴AD ：DC ：AC =AF ：DH ：AO =FD ：HC ：OC ， 而AD =3t （其中0≤t ≤3
5
），OC =AB =4，AC =5， ∴FD =4
12AD t 5
5=
，AF =39AD t 55=，DH =93t 5-，HC =12
4t 5
-。

∴D （12t 5，9
3t 5
-）。

（3）CE = t ，E （t ，0），OE =OC -CE =4- t ，HE =|CH -CE |=12t 17t
(4)t 455
-
-=-， 则OD 2=DH 2+OH 2=2229t 12t 54
(3)(
)=9t t 95
55
-+-+， DE 2=DH 2+HE 2=2229t 17t 74
(3)(4)=t 38t 25555
-+--+。

当△ODE 为直角三角形时，有OD 2+DE 2=OE 2，或OD 2+OE 2=DE 2，或DE 2+OE 2=OD 2，
即2225474
(9t t 9)(t 38t 25)(4t)55
-
++-+=-①， 或2225474
(9t t 9)(4t)t 38t 2555-++-=-+②，
或2227454
(t 38t 25)(4t)9t t 955
-++-=-+③，
上述三个方程在0≤t ≤3
5内的所有实数解为12341520
t t 1t 0t 1917====，，，。

（4）当DO ⊥OE ，及DE ⊥OE 时，即3t 0=和420
t 17
=时，以Rt △ODE 的三个
顶点不确定对称轴平行于y 轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于y 轴的抛物线。

∵D （
12t 5，93t 5-）
，E （4-t ，0）∴当2t 1=时，D （125，6
5
），E （3，0）。

∵抛物线过O （0，0），∴设所求抛物线为2y ax bx =+，将点D ，E 坐标代
入，得
614412=a+b 525
50=9a+3b ⎧⎪⎨⎪⎩，解得5a 65b 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

∴所求抛物线为255
y x x 62
=-+。

18. （2012四川巴中12分）如图，在平面直角坐标
系中，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，四边形ABCO 为矩形，AB =16，点D 与点A 关于y 轴对称，
tan ∠ACB =3
4
，点E ，F 分别是线段AD ，AC 上的
动点（点E 不与点A ，D 重合），且∠CEF =∠ACB 。

（1）求AC 的长和点D 的坐标； （2）说明△AEF 与△DCE 相似；
（3）当△EFC 为等腰三角形时，求点E 的坐标。

【答案】解：（1）∵四边形ABCO 为矩形，∴∠B =90°。

在
Rt △ABC 中，BC =AB ÷tan ∠ACB =16÷
43
=12 ，
AC =2222AB BC 16+1220+==。

则AO =BC =12。

∴ A （-12，0）。

∵点D 与点A 关于y 轴对称，∴D （12，0）。

（2）∵点D 与点A 关于y 轴对称，∴∠CDE =∠CAO 。

∵∠CEF =∠ACB ，∠ACB =∠CAO ，∴∠CDE =∠CEF 。

又∵∠AEC =∠AEF +∠CEF =∠CDE +∠DCE （三角形外角性质），∴∠AEF =∠DCE 。

则在△AEF 与△DCE 中，∠CDE =∠CAO ，∠AEF =∠DCE ， ∴△AEF ∽△DCE 。

（3）当△EFC 为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE =EF 时，∵△AEF ∽△DCE ，∴△AEF ≌△DCE 。

∴AE =CD =20。

∴OE =AE －OA =20－12=8。

∴E （8，0）。

②当EF =FC 时，如图所示，过点F 作FM ⊥CE 于
M ，
则点M 为CE 中点。

∴CE =2ME =2EF •cos ∠CEF =2EF •cos ∠ACB =6
5
EF 。

∵点D 与点A 关于y 轴对称，∴CD =AC =20。

∵△AEF ∽△DCE ，
∴
EF AE CE CD = ，即
EF AE 620EF 5= ，解得50
AE 3=。

∴OE =AE －OA =50141233-=，∴E （14
3
，0）。

③当CE =CF 时，则有∠CFE =∠CEF ，∵∠CEF =∠ACB =∠CAO ，∴∠CFE =∠CAO 。

即此时F 点与A 点重合，这与已知条件矛盾。

综上所述，当△EFC 为等腰三角形时，点E 的坐标为（8，0）或（14
3
，0）。

19. （2012山东临沂11分）已知，在矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，动点M 从点A 出发沿边AD 向点D 运动．
（1）如图1，当b =2a ，点M 运动到边AD 的中点时，请证明∠BMC =90°；
（2）如图2，当b ＞2a 时，点M 在运动的过程中，是否存在∠BMC =90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当b ＜2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵b =2a ，点M 是AD 的中点，∴AB =AM =MD =DC =a ，
又∵在矩形ABCD 中，∠A =∠D =90°，
∴∠AMB =∠DMC =45°。

∴∠BMC =90°。

（2）解：存在，理由如下：
若∠BMC =90°，则∠AMB =∠DMC =90°。

又∵∠AMB +∠ABM =90°，∴∠ABM =∠DMC 。

又∵∠A =∠D =90°，∴△ABM ∽△DMC 。

∴AM AB
CD DM
=。

设AM =x ，则x a
b
b x
=
-，整理得：x 2﹣bx +a 2=0。

∵b ＞2a ，a ＞0，b ＞0，∴△=b 2﹣4a 2＞0。

∴方程有两个不相等的实数根。

又∵两根之积等于a 2＞0，∴两根同号。

又∵两根之和等于b ＞0，∴两根为正。

符合题意。

∴当b ＞2a 时，存在∠BMC =90°。

（3）解：不成立．理由如下：
若∠BMC =90°，由（2）可知x 2﹣bx +a 2=0，
∵b ＜2a ，a ＞0，b ＞0，∴△=b 2﹣4a 2＜0，∴方程没有实数根。

∴当b ＜2a 时，不存在∠BMC =90°，即（2）中的结论不成
立。

20. （2012山东济宁10分）如图，抛物线y =ax 2+bx ﹣4与x 轴交于A （4，0）、B （﹣2，0）两点，与y 轴交于点C ，点P 是线段AB 上一动点（端点除外），过点P 作PD ∥AC ，交BC 于点D ，连接CP ． （1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P 运动到何处时，BP 2=BD •BC ； （3）当△PCD 的面积最大时，求点P 的坐标． 【答案】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx ﹣4与x 轴交于A （4，0）、B （﹣2，0）两点
∴16a+4b 4=0
4a 2b 4=0-⎧⎨--⎩，解得1
a=2b=1
⎧⎪⎨⎪-⎩。

∴抛物线的解析式为21y=x x 42
--。

（2）设点P 运动到点（x ，0）时，有BP 2
=BD •BC ，
在21y=x x 42
--中，令x =0时，则y =﹣4，∴点C 的坐标为（0，﹣4）。

∵PD ∥AC ，∴△BPD ∽△BAC 。

∴
BD BP
BC BA
=。

∵BC =AB =6，BP =x ﹣（﹣2）=x +2
∴
x+26=
，即)BD x+2=。

∵BP 2=BD •BC ，∴(
)
)2x+2x+2=⋅x 1=4
3
，x 2=﹣2（不合题意，
舍去）。

∴点P 的坐标是（4
3，0）。

∴当点P 运动到（43
，0）时，BP 2=BD •BC 。

（3）∵△BPD ∽△BAC ，
∴2
BPD BAC S BP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭∴()2
2
2BPD BAC BP x+211S S 64=x+2AB 623∆∆⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 又∵()BPC 1S x+242
∆=⋅⋅，
()()()22
PCD BPC BPD 111S S S =x+24x+2x 1+3233
∆∆∆=-⋅⋅-=--。

∵1
3
-＜0，∴当x =1时，S △BPC 有最大值为3。

∴点P 的坐标为（1，0）时，△PDC 的面积最大。

21. （2012山东青岛12分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6cm ，
BC ＝8cm ，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，连接DE ．点P 从点D 出发，
沿DE 方向匀速运动，速度为1cm /s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为2cm /s ，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．连
接PQ ，设运动时间为t (0＜t ＜4)s ．解答下列问题： (1)当t 为何值时，PQ ⊥AB ？
(2)当点Q 在B 、E 之间运动时，设五边形PQBCD 的面积为ycm 2
，求y 与t 之间的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t ，使得PQ 分四边形BCDE 所成的两部分的面积之比为PQE PQBCD S S ∆五形边∶＝1∶29？若存在，求出此时t 的值以及点E 到PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）如图，在Rt △ABC 中，AC =6，BC =8， ∵点D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴AD =DC =3，AE =EB =5，DE ∥BC ，且DE =12
BC =4。

∵PQ ⊥AB ，∴∠PQB =∠C =900。

又∵DE ∥BC ，∴∠AED =∠B 。

∴△PQE ∽△ABC 。

∴
PE QE
AB BC
=。

由题意，得PE =4－t ，QE =2t －5，
∴
4t 2t 5108
--=
，解得41
t=14。

∴当41
t=14
时，PQ ⊥AB 。

（2）过点P 作PM ⊥AB 于点M 。

由△PME ∽△ABC ，得
PM PE
AC AB
=
， ∴PM 4t 610-=
，即()3PM 4t 5
=-。

（3）假设存在时刻t 使PQE PQBCD S S ∆五形边∶＝1∶29，此时，PQE BCDE 1
S =
S 30
∆梯形，
∴23
391t t+6=185
1030-
⨯，即22t 13t+18=0-。

解得129
t 2t =2
=，（舍去）。

当t 2=时，PM =()364255⨯-=，ME =()48
4255
⨯-=，EQ =5－2×2=1，
MQ =ME+EQ=813+155=，22
22613205
PQ PM MQ 55⎛⎫⎛⎫=+=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

当t 2=时， PQ 分四边形BCDE 所成的两部分的面积之比为PQE PQBCD S S ∆五形边∶＝1∶29，此时点E 到PQ 的距离h 6205=
205。

22. （2012山东济南9分）如图，已知双曲线k
y x
=，经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，
BC ．
（1）求k 的值；
（2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式； （3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由． 【答案】解：（1）∵双曲线k y x =
经过点D （6，1），∴k
16
=，解得k =6。

（2）设点C 到BD 的距离为h ，
∵点D 的坐标为（6，1），DB ⊥y 轴，∴BD =6，∴S △BCD =1
2
×6•h =12，解得
h =4。

∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1，∴点C 的纵坐标为1－4= －3。

∴
6
3x
=，解得x = －2。

∴点C 的坐标为（－2，－3）。

设直线CD的解析式为y=kx＋b，则
2k b3
6k b1
-+=-
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
k
2
b2
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩。

∴直线CD的解析式为1
y x2
2
=-。

（3）AB∥CD。

理由如下：
∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C的坐标为（－2，－3），点D的坐标为（6，1），
∴点A、B的坐标分别为A（－2，0），B（0，1）。

设直线AB的解析式为y=mx+n，
则
2m n0
n1
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
1
m
2
n1
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩。

∴直线AB的解析式为1
y x1
2
=+。

∵AB、CD的解析式k都等于1
2
相等。

∴AB与CD的位置关系是AB∥CD。

23. （2012浙江嘉兴14分）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．
（1）如图1，当m
时，
①求线段OP的长和tan∠POM的值；
②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．
①用含m的代数式表示点Q的坐标；
②求证：四边形ODME是矩形．
【答案】解：（1）①把x
代入 y =x 2，得 y =2，∴P
，2），∴OP
∵PA 丄x 轴，∴PA ∥MO
．∴OP tan POM tan OPA AP 2
∠=∠=。

②设 Q （n ，n 2
），∵tan ∠QOB =tan ∠POM ，
∴2n n -
．∴n=- ∴Q （1
2
，）。

∴OQ。

∴当 OQ =OC 时，则C 1（0
），C 2（0
）。

当 OQ =CQ 时，则 C 3（0，1）。

（2）①∵点P 的横坐标为m ，∴P （m ，m 2）。

设 Q （n ，n 2），
∵△APO ∽△BOQ ，∴BQ BO =
AO AP 。

∴22n n =m m -，得1
n=m
-。

∴Q （2
1
1m
m
-，
）。

②设直线PO 的解析式为：y =kx +b ，把P （m ，m 2）、Q （2
1
1m
m
-， ）代入，
得：
22m =mk+b
11
=k+b
m m
⎧⎪
⎨-⋅⎪⎩，解得b =1。

∴M （0，1）。

∵
2
QB OB 1
=MO AP m =
，∠QBO =∠MOA =90°，∴△QBO ∽△MOA 。

∴∠MAO =∠QOB ，∴QO ∥MA 。

同理可证：EM ∥OD 。

又∵∠EOD =90°，∴四边形ODME 是矩形。

24. （2012浙江绍兴14分）如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，连接AC ，抛物线242y x x =--经过A ，B 两点。

（1）求A 点坐标及线段AB 的长；
（2）若点P 由点A 出发以每秒1个单位的速度沿AB 边向点B 移动，1秒后点Q 也由点A 出发以每秒7个单位的速度沿AO ，OC ，CB 边向点B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P 的移动时间为t 秒。

①当PQ ⊥AC 时，求t 的值；
②当PQ ∥AC 时，对于抛物线对称轴上一点H ，∠HOQ ＞∠POQ ，求点H 的纵坐标的取值范围。

【答案】解：（1）由抛物线2y x 4x 2=--知：当x =0时，y =﹣2，∴A （0，﹣2）。

∵四边形OABC 是矩形，∴AB ∥x 轴，即A 、B 的纵坐标相同。

当y =﹣2时，22x 4x 2-=--，解得12x 0x 4==，。

∴B （4，﹣2）。

∴AB =4。

（2）①由题意知：A 点移动路程为AP =t ，Q 点移动路程为7（t －1）=7 t －7。

当Q 点在OA 上时，即07t 72≤-<，9
1t 7
≤≤时， 如图1，若PQ ⊥AC ，则有Rt △QAP ∽Rt △ABC 。

∴
QA AP =AB BC ，即7t 7t 42-=，解得7
t 5=。

∵79
57
>，∴此时t 值不合题意。

当Q 点在OC 上时，即27t 76≤-<，913
t 77
≤<时，
如图2，过Q 点作QD ⊥AB 。

∴AD =OQ =7（t ﹣1）﹣2=7t ﹣9。

∴DP =t ﹣（7t ﹣9）=9﹣6t 。

若PQ ⊥AC ，则有Rt △QDP ∽Rt △ABC ，
∴
QA DP =
AB BC ，即296t 44-=，解得4
t 3=。

∵9413737<<，∴4
t 3
=符合题意。

当Q 点在BC 上时，即67t 78≤-≤，1315
t 77
≤≤时，
如图3，若PQ ⊥AC ，过Q 点作QG ∥AC ，则QG ⊥PG ，即
∠GQP =90°。

∴∠QPB ＞90°，这与△QPB 的内角和为180°矛盾，此时PQ 不与AC 垂直。

综上所述，当4t 3
=时，有PQ ⊥AC 。

②当PQ ∥AC 时，如图4，△BPQ ∽△BAC ，∴
BP BQ
=
BA BC
， ∴
4t 87(t 1)
42
---=
，解得t =2。

即当t =2时，PQ ∥AC 。

此时AP =2，BQ =CQ =1。

∴P （2，﹣2），Q （4，﹣1）。

抛物线对称轴的解析式为x =2，
当H 1为对称轴与OP 的交点时，有∠H 1OQ =∠POQ ， ∴当y H ＜﹣2时，∠HOQ ＞∠POQ 。

作P 点关于OQ 的对称点P ′，连接PP ′交OQ 于点M ，过P ′作P ′N 垂直于对称轴，垂足为N ，连接OP ′，在Rt △OCQ 中，∵OC =4，CQ =1。

∴OQ =17， ∵S △OPQ =S 四边形ABCD ﹣S △AOP ﹣S △COQ ﹣S △QBP =3=1
2
OQ ×PM ， ∴PM =
617。

∴PP ′=2PM =1217。

∵NPP ′=∠COQ 。

∴Rt △COQ ∽△Rt △NPP ′。

∴
''CQ OQ OC ==NP PP PN ，即'1174==P N PN
1217，解得'
12P N 17= ，48PN 17=。

∴P ′（
46141717，）。

∴直线OP ′的解析式为7
y x 23=。

∴OP ′与NP 的交点H 2（2，14
23）。

∴当H 14
y 23
>时，∠HOP ＞∠POQ 。

综上所述，当H y 2<-或H 14
y 23
>时，∠HOQ ＞∠POQ 。

希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：
1、要接受自己行动所带来的责任而非自己成就所带来的荣耀。

2、每个人都必须发展两种重要的能力适应改变与动荡的能力以及为长期目标延缓享乐的能力。

3、将一付好牌打好没有什么了不起能将一付坏牌打好的人才值得钦佩。