最新全国各地高考数学试题汇编三角函数的图象和性质及三角恒等变换

三角函数的图象和性质及三角恒等变换
题组一
一、选择题
1. （福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理）给出下面的3个命题：（1）函数|)3
2sin(|π
+
=x y 的最小正周期是
2π；（2）函数)2
3sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；（3）45π
=x 是函数)2
52sin(π
+
=x y 的图象的一条对称轴. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
答案 C.
2. （甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题） 已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛
⎫
=+
> ⎪3⎝⎭
的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π
⎛⎫ ⎪3⎝⎭
，对称
B ．关于直线x π
=
4对称 C ．关于点0π
⎛⎫ ⎪4⎝⎭
，对称
D ．关于直线x π
=
3
对称 答案 A.
3．（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）已知函数
sin()y A x k ωϕ=++(0)A >的最大值是4，最小值是0，最小正周期是2
π
，直线3
x π
=
是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）
A ．4sin(4)26y x π=++
B ．2sin(2)23y x π=++
C ．2sin(4)23y x π
=+
+ D ．2sin(4)26
y x π
=++ 答案 D.
4．（吉林省东北师大附中2011届高三上学期第三次模底考试理） 已知函数()sin()(0)4
f x x x R π
ωω=+
∈>，的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图
象，只要将()y f x =的图象
（ ）
A ． 向左平移
8π
个单位长度 B ． 向右平移
8
π
个单位长度
C ． 向左平移
4
π
个单位长度 D ． 向右平移
4
π
个单位长度 答案 A.
5．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）函数32()f x ax bx cx d =+++图象如右图,
则函数2233
c
y ax bx =++的单调递增区间为（ ）
A ．(,2]-∞-
B ．[3,)+∞
C ．[2,3]-
D ．1
[,)2
+∞
答案 B.
6．（湖北省涟源一中、双峰一中2011届高三第五次月考理）下列函数中，周期为π，且在42ππ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，上为减函数的是
（ ）
A ．sin()
2y x π
=+
B ．cos(2)2
y x π
=+
C ．sin(2)2
y x π
=+
D ．cos()2
y x π
=+
答案 C.
7．（湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考试卷）函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图像如图所示，
πϕπ-<<,则ϕ的值为
（ ）
A ．3
π
-
B ．6
π
-
C ．23
3
π
π-
-
或
D ．56
6
π
π-
-
或 答案 A. 8．（黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试理） 函数2
()2cos sin 21f x x x =+- ，给出下列四个命题 （1）函数在区间5[,]88
ππ
上是减函数；
（2）直线8
π
=
x 是函数图象的一条对称轴；
（3）函数)(x f 的图象可由函数x y 2sin 2=的图象向左平移
4
π
而得到；
（4）若[0,
]2
x π
∈ ，则)(x f 的值域是2]
其中正确命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B.
9．（黑龙江省哈九中2011届高三期末考试试题理）将函数
3sin2y x =的图像按向量(,1)
6
a π
=-
平移之后所得函数图像的解析式为
（ ）
A ．
3sin(2)13
y x π
=+
+ B ．
3sin(2)13
y x π
=-+ C ．
3sin 216y x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
D ．
3sin(2)16
y x π
=+
+
答案 A.
10 . （广西北海二中2011届高三12月月考试题理）sin(2)3
y x π
=+
的图象是
（ ） A.关于原点成中心对称 B.关于y 轴成轴对称
C.关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称 D.关于直线12x π=成轴对称
答案 D.
11．（河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考理）已知函数
)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示,则函数)(x f 的解析式
为
A ．)421sin(2)(π
+
=x x f
B ．)4321sin(2)(π
+
=x x f
C ．)4
21sin(2)(π
-=x x f
D ．)4
321sin(2)(π-
=x x f 答案 B. 12．（广东省高州市南塘中学2011届高三上学期16周抽考理）
已知函数])1cos[(])1sin[()(x a x a a x f -+-=的最大值为2，则)(x f 的最小正周期为
（ ）
A ．
4π
B ．
2
π
C ．π
D ．π2
答案 C.
13．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）函数1)4
(cos 22--=πx y 是
（ ）
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为
2π
的奇函数 D ．最小正周期为
2
π
的偶函数 答案 A.
14．（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）函数2
()2cos sin 21f x x x =+- ，给出下列四个命题 （1）函数在区间5[,]88
ππ
上是减函数；
（2）直线8
π
=
x 是函数图象的一条对称轴；
（3）函数)(x f 的图象可由函数x y 2sin 2=的图象向左平移
4
π
而得到； （4）若 [0,
]2
x π
∈ ，则)(x f 的值域是[0,2]
其中正确命题的个数是 （ ▲ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 B.
15.（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题） 若△ABC 的内角A 满足3
2
2sin =A ，则
sin cos A A +=
（ ） A ．3
15
B ．3
15
-
C ．3
5
D ．3
5-
答案 A.
16．（广东省清远市清城区2011届高三第一次模拟考试理）函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中
)2
,0π
ϕ<
>A ）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将)(x f 的图像（ ）
A ．向右平移
6
π个单位长度 B ．向右平移12π
个单位长度
16题图
C ．向左平移6
π个单位长度 D ．向左平移12π
个单位长度
答案 A.
17. （广西北海二中2011届高三12月月考试题理）函数x y 2sin =的图象按向)3,6
(-=π
a 平移后
的解析式为 （ ） A 3)6
2sin(-+=π
x y B 3)6
2sin(--=π
x y C 3)3
2sin(-+=π
x y
D 3)3
2sin(--
=π
x y
答案 D.
18．（河南省焦作市部分学校2011届高三上学期期终调研测试理）已知函数
，下面结论错误．．
的是 A ．函数
的最小正周期为
B ．函数
是奇函数
C ．函数的图象关于直线对称
D ．函数在区间上是减函数
答案 D.
19. （贵州省遵义四中2011届高三第四次月考理））函数)3
2sin(3)(π
-=x x f 的图象为C ，以下
三个命题中，正确的有（ ）个 ①图象C 关于直线
对称; ②函数)(x f 在区间
内是增函数;
③由x y 2sin 3=的图象向右平移个单位长度可以得到图象C .
A.0
B.1
C.2
D.3 答案 C.
20．（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）
函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤+<≤-+=)380(),sin(2)02(,
1πϕωx x x kx y 的图象如下图，则
（ ）
A ．6,21,21π
ϕω===
k B ．3,21,21π
ϕω===k
C ．6
,2,21π
ϕω==-=k
D ．3
,2,2π
ϕω=
=-=k
答案 A. 二、填空题 21．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）下图展示了一个由角的区间(0,π)到实数集R 的映射过程：区间(0,π)中的角α始边落在OA 上,则终边对应半圆弧AB 上的点M ，如图1；将半圆弧AB 围成一个椭圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其椭圆中心在y 轴上，点A 的坐标为0,1，如图3中直线AM 与x 轴交于点,0N n ，则α的象就是n ，记作n f =)(α．
M
B O A
下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ①114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
； ②()f x 是奇函数； ③()f x 是定义域上的单调函数； ④()f x 的图象关于点)0,2
(π
对称 ; ⑤()f x 的图象关于y
轴对称 答案 ③④
22．（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题） 函数|)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象如图所示， 则()()()()=++++2006321f f f f 的值等于 . 答案 3.
23. （广东省新兴惠能中学2011届高三第四次月考理）已知α是第二象限角，2
2
sin =
α，则=+
)4
sin(π
α
答案 0. 三、简答题
24. （浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题文）（本小题满分14分）已知ABC ∆中的内角
,,A B C 的对边分别为,,a b c ，定义向量(2sin ,3m B =-，
2cos 2,2cos 12B n B ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭且//m n ．
（Ⅰ）求函数()sin 2cos cos2sin f x x B x B =-的单调递增区间； （Ⅱ）如果2b =，求ABC ∆的面积的最大值
2 0
2
6
x
y
答案 解：（Ⅰ）
n m // B B B 2cos 3)12
cos 2(sin 22-=-∴ B B 2cos 32sin -=∴ 即 32tan -=B
又B 为锐角 ()π,02∈∴B
322π=
∴B 3
π=∴B ()sin 2cos cos 2sin sin 23f x x B x B x π⎛
⎫
=-=-
⎪⎝
⎭
2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∴函数的单调递增区间是5,12
12k k π
πππ⎡⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
． 7分 （Ⅱ）得，由余弦定理ac
b c a B b B 2cos 2,32
22-+=
==π
0422=--+ac c a
又ac c a 22
2≥+ 代入上式得：4≤ac （当且仅当 2==c a 时等号成立．）
34
3
sin 21≤==
∆ac B ac S ABC （当且仅当 2==c a 时等号成立．
） 14分 25．（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）(本小题满分12分)
已知函数21
()2cos 2
f x x x =
--,()x R ∈ （I ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（II ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，且c =()0f C =，若向量(1,sin )m A =与向量(2,sin )n B =共线，求,a b 的值.
答案 解:（I
）1cos 21
()2222x f x x +=
--
=sin(2)16x π-- …………3分
则()f x 的最小值是-2,最小正周期是22T ππ
==. ……………………6分
（II ）()sin(2)106f C C π=--=,则
sin(2)
6C π
-=1, 0,022C C ππ<<∴<<,112666C πππ
∴-<-<,
26C π∴-=2π, 3C π=
, …………………………………………8分
向量
()
1,sin m A =与向量
()
2,sin n B =共线
∴1sin 2sin A B =
， ………………………………………………10分
由正弦定理得，
12a b = ① 由余弦定理得，
2222cos
3c a b ab π
=+-，即3=22a b ab +- ②
由①②解得1,2a b ==. ……………………………………………12分
26. （湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理） (12分)设(cos ,1),(sin ,2)a x b x == (1)若//a b ,求2
(sin cos )x x +的值
(2)若()()f x a b a =-⋅,求()f x 在[0,]π上的递减区间 答案 26. （1）
//2cos sin 0tan 2a b x x x ∴-=∴=
2
2
2
2
2
(sin cos )sin 2sin cos cos cos (tan 2tan 1)x x x x x x x x x +=++=⋅++ 2
219(tan 2tan 1)1tan 5
x x x =
++=+
（2
）2
1
()cos sin cos 1)42
f x x x x x π=--=-- 222242k x k πππππ-
≤-
≤+
388
k x k π
π
ππ∴-
≤≤+
k z ∈
[0,]x π∈∴令0,1k =得()f x 在区间[0,]π上的递减区间是37[0,],[,]88
ππ
π
27．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）（本小题满分13分） 设函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π
2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，1．
（Ⅰ）求()y f x =的解析式，并求函数的最小正周期和单调递增区间
（Ⅱ）若(
)12
f A π
=，其中A 是面积为
2
的锐角ABC ∆的内角，且2AB =， 求AC 和BC 的长． 答案 解：（Ⅰ）
函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π2
⎛⎫
⎪⎝⎭
，1
sin
cos
12
2
m π
π
∴+= 1m ∴= ………….2分
()sin cos )4
f x x x x π
∴=+=+ …………………….4分
∴函数的最小正周期2T π= …………………….5分
由222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
可得322444
k x k πππππ-
≤+≤+
∴()y f x =的调递增区间为3[2,2]()44
k k k Z ππ
ππ-
+∈………………7分
（Ⅱ）因为()12f A π= 即()123
f A ππ
==
∴sin sin
3
A π
= …………………9分
∵A ABC ∆的内角，∴3A π= ………………….10分
13
sin 322
ABC S AB AC A ∆=
=3AC ∴= …………………….12分 由余弦定理得：2
2
2
2cos 7BC AC AB AB AC A =+-⋅⋅= …………………….13分 28、（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）(本题满分13分) A 、B 是直线)0(1)3
cos(2
cos
2)(02
>-+
+==ωπ
ωωx x
x f y 与函数图像的两个相邻交点，且
.2||π
=
AB
（I ）求ω的值； （II ）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,23
)( 的面积为33，求a 的值.
答案
29. （广东省华附、中山附中2011届高三11月月考理） （12分）已知()f x =x x x
x x x cos sin 22
sin 23sin 2cos 23cos
--， （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期;
(Ⅱ) 当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
,求函数)(x f 的零点. 答案 解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2cos )(-==)4
2cos(2π
+
x …………………….4分
故π=T …………………………………………………5分 （Ⅱ）令0)(=x f ，)24cos(
2x +π
=0，又 ,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
…… ………….7分 592444x πππ∴
≤+≤ 3242x ππ
∴+=…………………………………………9分 故58x π= 函数)(x f 的零点是58
x π= ……………. 12分
30.（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）（12分）已知函数
()sin()sin()cos (,)66
f x x x x a a R a ππ
=++-++∈为常数.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)若函数()f x 在[-
2π，2
π
]上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值.
答案 解：（Ⅰ）∵()2sin cos cos 6f x x x a π=++3sin cos x x a =++
2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭ ……………………4分 ∴函数()f x 的最小正周期2T π= ………………………6分
(Ⅱ)∵,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，∴2363x πππ-≤+≤ ∴当63x π
π+=-，即2x π
=-时，()min 32f x f a π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭
……8分 当62x π
π
+=，即3x π
=时，()max 23f x f a π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
……10分 由题意，有(3)(2)3a a -+++=
∴31a =- ……12分
31．（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）（本小题满分12分）
已知函数a R a a x x x x f ,(2cos )62sin()62sin()(∈+--++=π
π
为常数）．
（1）求函数)(x f 的最小正周期；
（2）求函数)(x f 的单调递增区间；
（3） 若]2,
0[π∈x 时，)(x f 的最小值为2-，求a 的值．
答案
∴当0=x 时)(x f 取得最小值, 即2)6sin(2-=+-a π
, ∴1-=a ． ……………12分。