湖南省岳阳市2019-2020学年中考数学第五次押题试卷含解析

湖南省岳阳市2019-2020学年中考数学第五次押题试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知一个正n 边形的每个内角为120°，则这个多边形的对角线有（ ）
A ．5条
B ．6条
C ．8条
D ．9条
2．如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，AB 是O e 的直径，点C ，D 在O e 上，若DCB 110∠=o ，则AED ∠的度数为(
)
A ．15o
B ．20o
C ．25o
D ．30o
4．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（ ）
A ．15π
B ．24π
C ．20π
D ．10π
5．如图，△ABC 的面积为8cm 2 ， AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（ ）
A ．2cm 2
B ．3cm 2
C ．4cm 2
D ．5cm 2
6．如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是（ ）
A ．13∠=∠
B ．11803∠=-∠o
C ．1903∠=+∠o
D ．以上都不对
7．由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．下列运算正确的是（ ）
A ．﹣（a ﹣1）＝﹣a ﹣1
B ．（2a 3）2＝4a 6
C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2
D ．a 3+a 2＝2a 5 9．满足不等式组21010x x -≤⎧⎨
+>⎩的整数解是（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．1
10．估计10﹣1的值在（ ）
A ．1和2之间
B ．2和3之间
C ．3和4之间
D ．4和5之间
11．计算2
11
a a a ---的结果是（ ） A ．1 B ．-1
C ．11a -
D ．2211+-a a 12．关于x 的正比例函数，y=（m+1）23m
x -若y 随x 的增大而减小，则m 的值为 （ ） A ．2 B ．-2 C ．±2 D ．-12
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车先后经过这个十字路口，则至少有一辆汽车向左转的概率是___．
14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点Q 在对角线OB 上，若OQ=OC ，则点Q 的坐标为_______.
15．如图，用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm ．
16．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P= 40°，则∠BAC= .
17．5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为__．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．
20．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
21．（6分）已知边长为2a 的正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点Q ，对于平面内的点P 与正方形ABCD ，给出如下定义：如果2a PQ a <<，则称点P 为正方形ABCD 的“关联点”.在平面直角坐标系xOy 中，若A （﹣1，1），B （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），D （1，1）.
（1）在11,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，213,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()
30,2P 中，正方形ABCD 的“关联点”有_____； （2）已知点E 的横坐标是m ，若点E 在直线3y x =上，并且E 是正方形ABCD 的“关联点”，求m 的取值范围；
（3）若将正方形ABCD 沿x 轴平移，设该正方形对角线交点Q 的横坐标是n ，直线31y x =+与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点.如果线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，求n 的取值范围. 22．（8分）已知抛物线y=a （x-1）2+3（a≠0）与y 轴交于点A （0,2），顶点为B ，且对称轴l 1与x 轴交于点M
（1）求a 的值，并写出点B 的坐标；
（2）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C ，且新抛物线的对称轴l 2与x 轴交于点N ，过点C 做DE ∥x 轴，分别交l 1、l 2于点D 、E ，若四边形MDEN 是正方形，求平移后抛物线的解析式.
23．（8分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以AD 、OD 为邻边作平行四边形ADOE ，连接BE
求证：四边形AOBE 是菱形若180EAO DCO ∠+∠=︒，2DC =，求四边形
ADOE 的面积
24．（10分）如图1，在正方形ABCD 中，E 是边BC 的中点，F 是CD 上一点，已知∠AEF ＝90°． （1）求证：23EC DF =； （2）平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上一点，F 是边CD 上一点，∠AFE ＝∠ADC ，∠AEF ＝90°． ①如图2，若∠AFE ＝45°，求EC DF
的值； ②如图3，若AB ＝BC ，EC ＝3CF ，直接写出cos ∠AFE 的值．
25．（10分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE=AB ，连接DE ，AC （1）求证：四边形ACDE 为平行四边形；
（2）连接CE 交AD 于点O ，若AC=AB=3，cosB=13
，求线段CE 的长．
26．（12分）如图1，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点E 在AC 上（且不与点A 、C 重合），在△ABC 的外部作等腰Rt △CED ，使∠CED=90°，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．
（1）求证：△AEF 是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，连接AE ，求证：2AE ； （3）如图3，将△CED 绕点C 继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD 为菱形，且△CED 在△ABC 的下方时，若5CE=2，求线段AE 的长．
27．（12分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，
若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为2
3
．求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
【分析】
多边形的每一个内角都等于120°，则每个外角是60°，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据多边形一个顶点出发的对角线＝n﹣3，即可求得对角线的条数．
【详解】
解：∵多边形的每一个内角都等于120°，
∴每个外角是60度，
则多边形的边数为360°÷60°＝6，
则该多边形有6个顶点，
则此多边形从一个顶点出发的对角线共有6﹣3＝3条．
∴这个多边形的对角线有1
2
（6×3）＝9条，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查多边形内角和与外角和及多边形对角线，掌握求多边形边数的方法是解本题的关键．2．C
【解析】
看到的棱用实线体现.故选C.
3．B
【解析】
试题解析：连接AC ，如图，
∵AB 为直径，
∴∠ACB=90°，
∴1109020ACD DCB ACB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
∴20AED ACD ∠=∠=︒．
故选B ．
点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
4．B
【解析】
解：根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为6，所以圆锥的底面圆的面积=π×（62）2=9π，圆锥的侧面积=12
×5×π×6=15π，所以圆锥的全面积=9π+15π=24π．故选B ．
点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．也考查了三视图．
5．C
【解析】
【分析】
延长AP 交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可求得△PBC 的面积．
【详解】
延长AP 交BC 于E ．
∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，∴∠ABP ＝∠EBP ，∠APB ＝∠BPE ＝90°．
在△APB 和△EPB 中，∵，∴△APB ≌△EPB （ASA ），∴S △APB ＝S △EPB ，AP ＝PE ，
∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE S△ABC＝4cm1．
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S△PBC＝S△PBE+S△PCE S△ABC．
6．C
【解析】
【分析】
根据∠1与∠2互补，∠2与∠1互余，先把∠1、∠1都用∠2来表示，再进行运算．
【详解】
∵∠1+∠2=180°
∴∠1=180°-∠2
又∵∠2+∠1=90°
∴∠1=90°-∠2
∴∠1-∠1=90°，即∠1=90°+∠1．
故选C．
【点睛】
此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．
7．A
【解析】试题分析：几何体的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1.
故选A．
考点：三视图
视频
8．B
【解析】
【分析】
根据去括号法则，积的乘方的性质，完全平方公式，合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A 、因为﹣（a ﹣1）=﹣a+1，故本选项错误；
B 、（﹣2a 3）2=4a 6，正确；
C 、因为（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2，故本选项错误；
D 、因为a 3与a 2不是同类项，而且是加法，不能运算，故本选项错误．
故选B ．
【点睛】
本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，理清指数的变化是解题的关键．
9．C
【解析】
【分析】
先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
【详解】
210 10x x -≤⎧⎨+⎩①＞②
∵解不等式①得：x≤0.5，
解不等式②得：x ＞-1，
∴不等式组的解集为-1＜x≤0.5，
∴不等式组的整数解为0，
故选C ．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
<<.
【详解】
<
∴34<，
∴213<<
﹣1的值在2和3之间.
【点睛】
的大小，在确定答案的范围. 11．C
【解析】
【分析】
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
【详解】
解：
()()
2211
1=
111
a a
a a
a
a a a
+-
---
---
=
221
1
a a
a
-+
-
=
1
1
a-
，
故选：C.
【点睛】
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．B
【解析】
【分析】
根据正比例函数定义可得m2-3=1，再根据正比例函数的性质可得m+1＜0，再解即可．
【详解】
由题意得：m2-3=1，且m+1＜0，
解得：m=-2，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了正比例函数的性质和定义，关键是掌握正比例函数y=kx（k≠0）的自变量指数为1，当k ＜0时，y随x的增大而减小．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．5
9
．
【解析】
【分析】
根据题意，画出树状图，然后根据树状图和概率公式求概率即可．【详解】
解：画树状图得：
Q共有9种等可能的结果，至少有一辆汽车向左转的有5种情况，
∴至少有一辆汽车向左转的概率是：5
9
．
故答案为：5
9
．
【点睛】
此题考查的是求概率问题，掌握树状图的画法和概率公式是解决此题的关键．14．(,)
【解析】
如图，过点Q作QD⊥OA于点D，
∴∠QDO=90°.
∵四边形OABC是正方形，且边长为2，OQ=OC，
∴∠QOA=45°，OQ=OC=2，
∴△ODQ是等腰直角三角形，
∴OD=OQ==.
∴点Q的坐标为.
15．42
【解析】
【分析】
先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可出圆锥的高. 【详解】
圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为1206
180
π
⨯
=4πcm
∴圆锥的底面半径为2，
故圆锥的高为22
=42cm
62
【点睛】
此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式.
16．20°
【解析】
【分析】
根据切线的性质可知∠PAC＝90°，由切线长定理得PA＝PB，∠P＝40°，求出∠PAB的度数，用∠PAC ﹣∠PAB得到∠BAC的度数．
【详解】
解：∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴∠PAC＝90°．
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB．
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝（180°﹣∠P）÷2＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∴∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝90°﹣70°＝20°．
故答案为20°．
【点睛】
本题考查了切线的性质，根据切线的性质和切线长定理进行计算求出角的度数．
17．
【解析】
【分析】
甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据甲、乙两厂5月份用水量与6月份用水量列出关于x、y的方程组即可.
【详解】
甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键.
18．2．
【解析】
【分析】
当PC⊥AB时，线段PQ最短；连接CP、CQ，根据勾股定理知PQ2=CP2﹣CQ2，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．
【详解】
连接CP、CQ；如图所示：
∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∠CQP=90°，根据勾股定理得：PQ2=CP2﹣CQ2，∴当PC⊥AB时，线段PQ最短．
∵在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，AC=23，∴CP=AC BC
AB
⋅
=
232
4
⨯
=3，
∴PQ=22
CP CQ
-=312
-=，∴PQ的最小值是2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．作图见解析.
【解析】
【分析】
由题意可知，先作出∠ABC的平分线，再作出线段BD的垂直平分线，交点即是P点.
【详解】
∵点P到∠ABC两边的距离相等，
∴点P在∠ABC的平分线上；
∵线段BD 为等腰△PBD 的底边，
∴PB=PD ，
∴点P 在线段BD 的垂直平分线上，
∴点P 是∠ABC 的平分线与线段BD 的垂直平分线的交点，
如图所示：
【点睛】
此题主要考查了尺规作图，正确把握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键.
20．每件衬衫应降价1元.
【解析】
【分析】
利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.
【详解】
解：设每件衬衫应降价x 元.
根据题意，得 （40-x ）（1+2x ）=110,
整理，得x 2-30x+10=0,
解得x 1=10，x 2=1．
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x 1=10应舍去，
∴x=1.
答：每件衬衫应降价1元.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.
21．（1）正方形ABCD 的“关联点”为P 2，P 3；（2）122m ≤≤212m ≤≤-；（3）332n ≤≤【解析】
【分析】
（1）正方形ABCD 的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），由此画出图形即可判断；
（2）因为E 是正方形ABCD 的“关联点”，所以E 在正方形ABCD 的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），因为E 在直线3y x =上，推出点E 在线段FG 上，求出点F 、G 的横坐标，再根据对称性即可解决问题；
（3）因为线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，分两种情形：
①如图3中，MN 与小⊙Q 相切于点F ，求出此时点Q 的横坐标；②M 如图4中，落在大⊙Q 上，求出点Q 的横坐标即可解决问题；
【详解】
（1）由题意正方形ABCD 的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），
观察图象可知：正方形ABCD 的“关联点”为P 2，P 3；
（2）作正方形ABCD 的内切圆和外接圆，
∴OF ＝1，2OG =.
∵E 是正方形ABCD 的“关联点”，
∴E 在正方形ABCD 的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），
∵点E 在直线3y x =上，
∴点E 在线段FG 上.
分别作FF’⊥x 轴，GG’⊥x 轴，
∵OF ＝1，2OG =
∴12OF '=，22
OG '=.
∴12 22
m
≤≤.
根据对称性，可以得出
21
22
m
-≤≤-.
∴12
2
m
≤≤或
21
2
m
-≤≤-.
（3）∵
3
,0
3
M
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
、N（0，1），
∴
3
3
OM=，ON＝1.
∴∠OMN＝60°.
∵线段MN上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，
①MN与小⊙Q相切于点F，如图3中，
∵QF＝1，∠OMN＝60°，
∴
2
3
3 QM=
∵
3 OM=
∴
3 OQ=
∴
1
3 3
Q ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
②M落在大⊙Q上，如图4中，
∵2QM =33
OM = ∴32OQ =. ∴232Q ⎫⎪⎪⎭
. 332n ≤≤【点睛】
本题考查一次函数综合题、正方形的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题.
22．（1）a=-1，B 坐标为（1,3）；（2）y=-（x-3）2+3，或y=-（x-7）2+3.
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图，设抛物线向右平移后的解析式为y=-(x-m)2+3,再用m 表示点C 的坐标，需分两种情况讨论，用待定系数法即可解决问题.
【详解】
（1）把点A （0,2）代入抛物线的解析式可得，2=a+3，
∴a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+3，顶点为（1,3）
（2）如图，设抛物线向右平移后的解析式为y=-(x-m)2+3，
由()()22133
y x y x m ⎧=--+⎪⎨=--+⎪⎩解得x=12+m ∴点C 的横坐标为12
+m ∵MN=m-1,四边形MDEN 是正方形，
∴C（
1
2
+
m
，m-1）
把C点代入y=-（x-1）2+3，
得m-1=-
2 (1)
4
m-
+3,
解得m=3或-5（舍去）
∴平移后的解析式为y=-（x-3）2+3，
当点C在x轴的下方时，C（
1
2
+
m
，1-m）
把C点代入y=-（x-1）2+3，
得1-m=-
2 (1)
4
m-
+3,
解得m=7或-1（舍去）
∴平移后的解析式为y=-（x-7）2+3
综上：平移后的解析式为y=-（x-3）2+3，或y=-（x-7）2+3.
【点睛】
此题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟知正方形的性质与函数结合进行求解.
23．（1）见解析；（2）S四边形ADOE =3
【解析】
【分析】
(1) 根据矩形的性质有OA=OB=OC=OD，根据四边形ADOE是平行四边形，得到OD∥AE，AE=OD. 等量代换得到AE=OB.即可证明四边形AOBE为平行四边形.根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.
(2)根据菱形的性质有∠EAB=∠BAO.根据矩形的性质有AB∥CD，根据平行线的性质有∠BAC=∠ACD，求出∠DCA=60°，求出AD=23根据面积公式SΔADC，即可求解.
【详解】
（1）证明：∵矩形ABCD，
∴OA=OB=OC=OD.
∵平行四边形ADOE，
∴OD ∥AE ，AE=OD.
∴AE=OB.
∴四边形AOBE 为平行四边形.
∵OA=OB ，
∴四边形AOBE 为菱形.
（2）解：∵菱形AOBE ，
∴∠EAB=∠BAO.
∵矩形ABCD ，
∴AB ∥CD.
∴∠BAC=∠ACD ，∠ADC=90°.
∴∠EAB=∠BAO=∠DCA.
∵∠EAO+∠DCO=180°，
∴∠DCA=60°.
∵DC=2，
∴AD=
∴S ΔADC =122
⨯⨯=
∴S 四边形ADOE =【点睛】
考查平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，综合性比较强. 24．（1）见解析；（2）①
23EC DF =；②cos ∠AFE ＝25 【解析】
【分析】
（1）用特殊值法，设2BE EC ＝＝，则4AB BC ＝＝，证ABE ECF ∆∆∽，可求出CF ，DF 的长，即可求出结论；
（2）①如图2，过F 作FG FD ⊥交AD 于点G ，证FGD ∆和AEF ∆是等腰直角三角形，证FCE AGF ∆∆∽，求出:CE GF 的值，即可写出:EC DF 的值；②如图3，作FT FD ＝交AD 于点T ，作FH AD ⊥于H ，
证FCE ATF ∆∆∽，设CF ＝2，则CE ＝6，可设AT ＝x ，则TF ＝3x ，32AD CD x +＝＝，112
DH DT x +＝＝，分别用含x 的代数式表示出∠AFE 和∠D 的余弦值，列出方程，求出x 的值，即可求出结论．
【详解】
（1）设BE ＝EC ＝2，则AB ＝BC ＝4，
∵90AEF ∠︒＝，
∴90AEB FEC ∠+∠︒＝，
∵90AEB EAB ∠+∠︒＝，
∴∠FEC ＝∠EAB ，
又∴90B C ∠∠︒＝＝，
∴ABE ECF ∆∆∽， ∴BE AB CF EC =， 即242CF =， ∴CF ＝1，
则3DF DC CF -＝＝，
∴23
EC DF =； （2）①如图2，过F 作FG FD ⊥交AD 于点G ， ∵45AFE ADC ∠∠︒＝＝，
∴FGD ∆和AEF ∆是等腰直角三角形， ∴180135AGF DGF ∠︒-∠︒＝＝，180135C D ∠︒-∠︒＝＝， ∴∠AGF ＝∠C ，
又∵GAF D CFE AFE ∠+∠∠+∠＝， ∴∠GAF ＝∠CFE ，
∴FCE AGF ∆∆∽，
∴2=CE FE GF AF =， 又∵GF ＝DF ，
∴22
EC DF =；
②如图3，作FT FD =交AD 于点T ，作FH AD ⊥于H ， 则FTD FDT ∠∠＝，
∴180180FTD D ︒-∠︒-∠＝，
∴∠ATF ＝∠C ，
又∵TAF D AFE CFE ∠+∠∠+∠＝，且∠D ＝∠AFE ，
∴∠TAF ＝∠CFE ，
∴FCE ATF ∆∆∽， ∴FE FC CE AF AT TF ==， 设CF ＝2，则CE ＝6，可设AT ＝x ，则TF ＝3x ，32AD CD x +＝＝， ∴1
12DH DT x +＝＝，且
2FE FC AF AT x
==， 由cos =cos AFE D ∠，得213x x x +=， 解得x ＝5，
∴2cos 5
EF AFE AF ∠=＝．
【点睛】
本题主要考查了三角形相似的判定及性质的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质是解决本题的关键.
25．（1）证明见解析；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）已知四边形 ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB ∥CD ，AB=CD ，又因AE=AB ，可得AE=CD ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形 ACDE 是平行四边形；（2）连接 EC ，易证△BEC 是直角三角形，解直角三角形即可解决问题.
【详解】
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AB=CD ，
∵AE=AB ，
∴AE=CD ，∵AE ∥CD ，
∴四边形 ACDE 是平行四边形．
（2）如图，连接 EC ．
∵AC=AB=AE ，
∴△EBC 是直角三角形，
∵cosB==，BE=6， ∴BC=2，
∴EC===4． 【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定、直角三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2.
【解析】
试题分析：（1）依据AE=EF ，∠DEC=∠AEF=90°，即可证明△AEF 是等腰直角三角形；
（2）连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明△EKF ≌△EDA ，再证明△AEF 是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）当AD=AC=AB 时，四边形ABFD 是菱形，先求得2，Rt △ACH 中，2，即可得到2．
试题解析：解：（1）如图1．
∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB=DF ．∵AB=AC ，∴AC=DF ．∵DE=EC ，∴AE=EF ．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF 是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接EF ，DF 交BC 于K ．∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB ∥DF ，∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED ．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE ．∵∠DKC=∠C ，∴DK=DC ．∵DF=AB=AC ，∴KF=AD ．在△EKF 和△EDA 中，EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△EKF ≌△EDA （SAS ）
，∴EF=EA ，∠KEF=∠AED ，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴2AE ．
（3）如图3，当AD=AC=AB 时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，依据AD=AC ，ED=EC ，
可得AE 垂直平分CD ，而CE=2，∴2，Rt △ACH 中，22252（）（）
+2，
∴AE=AH+EH=42．
点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点．
27．（1）袋子中白球有2个；（2）见解析，5
9
.
【解析】【分析】
（1）首先设袋子中白球有x个，利用概率公式求即可得方程：
2
13
x
x
=
+
，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）设袋子中白球有x个，
根据题意得：
2
13
x
x
=
+
，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原分式方程的解，
∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：5
9
．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意掌握方程思想的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．。