厦门市重点中学2022年高一上数学期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知函数()f x 在(,)-∞+∞上图像关于y 轴对称，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[0,2)x ∈时，2()log (1)=+f x x ，则(2020)(2019)f f -+的值为（ ）
A.2-
B.1-
C.1
D.2 2
．tan151tan15
+的值为（ ）
B.1
D.2 3．函数()11f x x =-，设0.2122
111log ,log ,()333a b c ===，则有 A.()()()f a f c f b << B.()()()f b f a f c <<
C.()()()f b f c f a <<
D.()()()f c f b f a << 4．已知函数()f x 的定义域为R ，命题():p f x 为奇函数，命题:(0)0=q f ，那么p 是q 的（）
A.充分必要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件 5．为了得到sin(2)6y x π=-
的图象，可以将sin 2y x =的图象（ ） A.向左平移
1112π个单位 B.向左平移12π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向右平移
3π个单位 6．若无论实数k 取何值，直线10kx y k ---=与圆22220x y x y b +--+=相交，则b 的取值范围为（）
A.(),2-∞-
B.(),2-∞
C.(),0∞-
D.()0,2
7．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下图所示，则()x g x a b =+的图象是（ ）
A. B. C. D.
8．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象 A.向右平移6
π B.向右平移3π C.向左平移6π D.向左平移
3π 9．若a =20.5，b =log π3，c =log 20.3，则（ ）
A.b c a >>
B.b a c >>
C.c a b >>
D.a b c >>
10．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是 A.12a =，32A > B.12a =，32
A ≤
C.1a =，1A ≥
D.1a =，1A ≤
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为1个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积为_______________________.
12．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度至少需要计算的次数是______________
13．半径为2cm ，圆心角为23π的扇形面积为. 14．设()111f x x x x =++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______
15．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5
BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数
（1）若有两个零点、，且，求的值；
（2）若命题“，”假命题，求的取值范围 17．化简
（1）31cos sin 22x x - （2）sin cos x x +
18．已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠）.
（1）若120x x <<，试比较12()2x x f +与12()()2
f x f x +的大小，并说明理由； （2）若1a >，且(())A t f t ，，(2(2))B t f t ++，，(4(4))C t f t ++，(2)t ≥三点在函数()y f x =的图像上，记ABC
的面积为S ，求()S g t =的表达式，并求()g t 的值域.
19．如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =，2OA AD =，90D ∠=︒，且1BO AD ==.
（Ⅰ）用,OA OB 表示CB ；
（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值.
20．已知，tan 2α=，计算：
（1）2sin 3cos 4sin 9cos αααα
-- （2）222sin cos 6cos 3510sin 6sin cos αααααα
+--- 21．已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--
（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；
（2）解不等式()0f x >
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、C
【解析】据条件即可知()f x 为偶函数，并且()f x 在[0，)+∞上是周期为2的周期函数，又[0x ∈，2)时，2()log (1)=+f x x ，从而可得出(2020)(2020)(0)0f f f -===，()(2019)11f f ==，从而找出正确选项
【详解】解：函数()f x 在(,)-∞+∞上图象关于y 轴对称；
()f x ∴是偶函数；
又0x 时，(2)()f x f x +=；
()f x ∴在[0，)+∞上为周期为2的周期函数；
又[0x ∈，2)时，2()log (1)=+f x x ；
(2020)(2020)(021010)(0)0f f f f ∴-==+⨯==，()(2019)(121009)11f f f =+⨯==；
(2020)(2019)1f f ∴-+=
故选：C
【点睛】考查偶函数图象的对称性，偶函数的定义，周期函数的定义，以及已知函数求值，属于中档题 2、B
【解析】根据正切的差角公式逆用可得答案 ()tan151tan15tan 45tan15333tan 4515tan151tan151tan 45t 1an15=--=⨯=⨯=-++⨯， 故选：B
3、D
【解析】1
21log 3a =>1，21log 3b =<0，0<0.213
c =（）<1，∴b<c<1， 又1()1
f x x =-在x ∈（-∞，1）上是减函数，∴f (c )<f (b )<0，而f (a )>0，∴f (c )<f (b )<f (a ) . 点睛：在比较幂和对数值的大小时，一般化为同底数的幂（利用指数函数性质）或同底数对数（利用对数函数性质），有时也可能化为同指数的幂（利用幂函数性质）比较大小，在不能这样转化时，可借助于中间值比较，如0或1等．把它们与中间值比较后可得出它们的大小
4、C
【解析】根据奇函数的性质及命题充分必要性的概念直接判断.
【详解】():p f x 为奇函数,则()00f =，
但:(0)0=q f ，无法得函数()f x 为奇函数，例如()2
f x x =，满足()00f =，但是为偶函数， 所以p 是q 的充分不必要条件，
故选：C.
5、A
【解析】根据左加右减原则，只需将函数sin 2y x =向左平移1112
π个单位可得到sin(2)6y x π=-. 【详解】1111sin 2()sin(2)sin[(2)2]sin(2)12666y x x x x πππππ=+
=+=-+=-， 即sin 2y x =向左平移
1112
π个单位可得到sin(2)6y x π=-. 故选：A 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，三角函数诱导公式，属于基础题.
6、A
【解析】利用二元二次方程表示圆的条件及点与圆的位置关系即得.
【详解】由圆22220x y x y b +--+=，可知圆()()22
2240b -+-->， ∴2b <，
又∵直线10kx y k ---=，即()11y k x +=-，恒过定点()1,1-，
∴点()1,1-在圆22
220x y x y b +--+=的内部， ∴()()2
21121210b +--⨯-⨯-+<，即2b <-，
综上，2b <-.
故选：A.
7、A
【解析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可. 【详解】解：由图象可知：(0)00(1)(1)0(1)(1)0(2)(1)0(1)(1)0(3)f ab f a b f a b <<⎧⎧⎪⎪>⇒-->⎨⎨⎪⎪-<----<⎩⎩
，
因a b >，所以由(1)可得：0a b >>，
由(3)可得：101b b -->⇒<-，
由(2)可得：101a a ->⇒<，
因此有101a b >>>->，
所以函数()x g x a b =+是减函数，(0)10g b =+<，所以选项A 符合，
故选：A
8、B 【解析】先将sin 2[2()]63y x cos x ππ
⎛
⎫=-=- ⎪⎝⎭，进而由平移变换规律可得解. 【详解】函数22sin 2cos[2]=cos(2)cos(2)[2()]626333
y x x x x cos x ππππππ⎛
⎫⎛⎫=-=---=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以只需将cos 2y x =向右平移
3
π可得[2()]3y cos x π=-. 故选B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移变换，解题的关键是将函数名统一，需要利用诱导公式，属于中档题. 9、D
【解析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出
【详解】∵a=20.5＞1，1＞b=log π3＞0，c=log 20.3＜0，
∴a＞b ＞c.
故选D
【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题
10、A
【解析】分析：2y =，1y =-关于y a =对称，可得12a =
，由直线2y =及1y =-的距离小于2A 可得32
A >. 详解：因为曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>> 在区间2π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0， 可知2y =，1y =-关于y a =对称， 所以21122
a -==，又弦长不为0， 直线2y =及1y =-的距离小于2A ，
∴32
A >．故选A. 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，以及数形结合思想的应用，属于简单题.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、16π
【解析】由已知得该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，根据圆锥和球体的体积公式可得答案. 【详解】该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为3241π1π233⨯+⨯327π3
⨯=， 设制成的大铁球半径为R ，则3432ππ33
R =，得2R =，故大铁球的表面积为24π16πR =. 故答案为：16π.
12、7
【解析】设至少需要计算n 次，则n 满足
0.10.0012n <，即2100n >，由于72128=，故要达到精确度要求至少需要计算7次
13、243
cm π 【解析】求出扇形的弧长,利用扇形面积公式求解即可. 【详解】因为半径为2cm ,圆心角为
23π的扇形,弧长为43π, 所以扇形面积为:
221442233cm cm ππ⨯⨯= 故答案为243
cm π. 【点睛】本题考查扇形的面积公式的应用,考查计算能力，属于基础题.
14
、2,)+∞
【解析】作出f (x )的图像，当0x <
时，min ()1f x =，当0x >时，min ()2f x =.令()t f x =，则20t at b ++=，则该关于t 的方程有两个解1t 、2t ，设1t ＜2t
，则11)t ∈
，21,)t ∈+∞.令2()g t t at b =++
，则(2)01)0
g g >⎧⎪⎨<⎪⎩，据此求出a 的范围，从而求出b 的范围 【详解】当1≥x 时，11()11f x x x x x
=++-=+，
当01x <<时，112()11f x x x x x x
=++-=+-， 当0x <时，112()11f x x x x x x
=--
+-=--+， 则f (x )图像如图所示：
当0x <时，2()121f x x x
=--+≥，当0x >时，min ()2f x = 令()t f x =，则20t at b ++=，
∵关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，
∴关于t 的方程20t at b ++=有两个解1t 、2t ，设1t ＜2t ，
则1(2,221)t ∈，2(221,)t ∈+∞，
令2
()g t t at b =++，则(2)420(221)942(221)0g a b g a b =++>⎧⎪⎨=++<⎪⎩， ∴42b a -->且942221
b a ---<+ 要存a 满足条件，则4422221
b --<+22b >
故答案为：(422,)++∞
15、24:25
【解析】设三角形ABC 三边的边长分别为3,4,5，分别求出阴影部分面积和大正方形面积即可求解.
【详解】解：由题意，“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5
BAC ∠=， 设三角形ABC 三边的边长分别为3,4,5，则大正方形的边长为5 ，所以大正方形的面积2525S ==， 如图，将CA 延长到D ，则2CD CA =，所以CA AD =，又B 到AC 的距离即为B 到AD 的距离， 所以三角形ABC 的面积等于三角形ABD 的面积，即13462ABC ABD S S ==⨯⨯=， 所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积4624S '=⨯=，
所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为24:25.
故答案为：24:25.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）
； （2）.
【解析】（1）由已知条件可得，结合韦达定理可求得实数的值；
（2）由已知可知，命题“
，”为真命题，可得其判别式，即可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由已知可得，可得或，
由韦达定理可得
，， 所以，
，解得，合乎题意.
故. 【小问2详解】
解：由题意可知，，， 则判别式，解得
. 所以，实数的取值范围是
. 17、（1）cos 6x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
（224x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ 【解析】三角换元之后，逆用和差角公式即可化简
【小问1详解】
31sin cos cos sin sin 266
x x x x ππ-=⋅-⋅cos 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【小问2详解】
22sin cos 2sin cos 22x x x x +=⋅+⋅⎭ 2sin cos cos sin 44x x ππ⎫=⋅+⋅⎪⎭24x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ 18、（1）当01a <<时，1212()()(
)22x x f x f x f ++<；当1a >时，1212()()()22x x f x f x f ++>；（2）()()()222log 4t g t t t +=+；4,log 3a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
【解析】（1）根据题意分别代入求出1212()()(
),22x x f x f x f ++，再比较12122
x x x x +求解.
（2）先表示出()S g t =的表达式，再根据函数的单调性求()g t 的值域.
【详解】解：（1）当01a <<时，()log a f x x =在()0,∞+上单调递减； 1212()log 22
a x x x x f ++=， 121212()()11log log log 222
a a a f x f x x x x x +=+= 又120x x <<，
12122x x x x +∴
>
故1212()()()22
x x f x f x f ++<； 同理可得：当1a >时，()log a f x x =在()0,∞+上单调递增；
1212()log 22
a x x x x f ++=，
1212()()11log log log 222
a a a f x f x x x +=+= 又120x x <<，
122
x x +∴> 故1212()()()22
x x f x f x f ++>， 综上所述：当01a <<时，1212()()()22x x f x f x f ++<；当1a >时，1212()()()22
x x f x f x f ++>； （2）由题意可知：
()()()()()()111()2224244222
S g t f t f t f t f t f t f t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⨯++⨯+⨯++++⨯-⨯++⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()224f t f t f t =+--+
()()2222log 2log log 4t t t =+--+
()()
2
22log 4t t t +=+，(2)t ≥， 1a >，故()log a f x x =在[)2,+∞上单调递增； 令()()()2
224144t g t t t t t
+==+++，(2)t ≥， 当2t ≥时，24y t t =+在[)2,+∞上单调递增； 故()2414g t t t
=++在[)2,+∞上单调递减； 故()()()
222log 4t g t t t +=+在[)2,+∞上单调递减； 故()()()()2max 2242log log 2243
a a g t g +===⨯+， 故()g t 的值域为：4,log 3a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
.
19、（Ⅰ）CB 32OA OB =--（Ⅱ）25cos 5
PCB ∠= 【解析】(Ⅰ)直接利用向量的线性运算即可 (Ⅱ)以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.可得
55,cos 33CP CB CP AP AC PCB CP CB
⋅⎛⎫=-=--∠= ⎪⎝⎭⋅，代入各值即可 【详解】（Ⅰ）因为 2OA AD =，
所以 32
DO AO =
.因为 2CD BO =， 所以 =++CB CD DO OB 322
BO AO OB =++ 32OA OB =-- （Ⅱ）因 2CD BO =，
所以 OB CD .因为 2OA AD =，
所以点,,O A D 共线.
因为90D ∠=︒，
所以90O ∠=︒.
以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
因为 1BO AD ==，2CD BO =，2OA AD =，
所以 ()()()2,0,0,1,3,2A B C .
所以 ()1,2AC =，()2,1AB =-.
因为 点P 在线段AB 上，且3AB AP =，
所以 121,333AP AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
所以 55,33CP AP AC ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭
. 因为 ()3,1CB =--，
所以
553cos 55
CP CB
PCB CP CB +⋅∠===⋅. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题
20、（1）1-；（2）
527
. 【解析】（1）先把2sin 3cos 4sin 9cos αααα--化为2tan 34tan 9αα--，然后代入tan 2α=可求； （2）先把222sin cos 6cos 3510sin 6sin cos αααααα+---化为222tan 33tan 55tan 6tan αααα
+---，然后代入tan 2α=可求. 【详解】（1）2sin 3cos 4sin 9cos αααα--2tan 322314tan 9429
αα-⨯-===--⨯-； （2）2222222sin cos 6cos 32sin cos 3cos 3sin 510sin 6sin cos 5cos 5sin 6sin cos αααααααααααααα
+-+-=---- 22222tan 33tan 22332555tan 6tan 5526227
αααα+-⨯+-⨯===---⨯-⨯. 【点睛】本题主要考查齐次式的求值问题，齐次式一般转化为含有正切的式子，结合正切值可求.
21、（1）f （x ）为奇函数，证明见解析；
（2）当a ＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a ＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）
【解析】（1）先求出函数的定义域，再求出f （﹣x ）与f （x ）的关系，利用函数的奇偶性的定义，得出结论； （2）分类讨论底数的范围，再利用函数的定义域和单调性，求得x 的范围
【小问1详解】
对于函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，
由1010x x +⎧⎨-⎩
＞＞，求得﹣1＜x ＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）， 再根据()()log (1)log (1)a a f x x x f x -=-+-+=-
可得f （x ）为奇函数
【小问2详解】
不等式f（x）＞0，即log a（x+1）＞log a（1﹣x），
当a＞1时，可得x+1＞1﹣x，且x∈（﹣1，1），求得0＜x＜1
当0＜a＜1时，可得x+1＜1﹣x，且x∈（﹣1，1），求得﹣1＜x＜0，
综上，当a＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）。