福建省莆田市枫亭中学2020年高二数学文测试题含解析

福建省莆田市枫亭中学2020年高二数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则
( )
A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
参考答案：
D
【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．
【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l?α，所以l∥α，
又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β．
由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出
m∥n，
与m，n异面矛盾．
故α与β相交，且交线平行于l．
故选D．
【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．
2. 如图，空间四边形中，，，，点在
线段上，且，点为的中点，则（）
A．B．
C．D．参考答案：
B
略
3. 已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,则f(-1)= （）
A． -2 B． 1 C． 0.5 D． 2
参考答案：
A
4. 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）
A．异面B．相交C．异面或平行D．相交或异面
参考答案：
D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】借助正方体判定．
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AD与C1D1是两条异面直线，
A1D1∥AD，A1D1与C1D1相交，BC∥AD，BC与C1D1异面，
故选：D．
5. 在中，若依次成等差数列，则
A．依次成等差数列B．依次成等比数列C．依次成等差数列D．依次成等比数列参考答案：
C
6. 已知，则（）
A.
B.
C.
D.
参考答案：
D
【分析】
根据余弦函数的求导公式即可.
【详解】，故选D.
【点睛】本题考查常见函数的求导，属于基础题.
7. 如果，那么下列不等中正确的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
8. 圆x2+y2﹣4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（）
A．r=1；（﹣2，1）B．r=2；（﹣2，1）C．r=1；（2，﹣1）D．r=2；（2，﹣1）
参考答案：
C
【考点】圆的一般方程．
【分析】直接化圆的一般方程为标准方程求得答案．
【解答】解：由x2+y2﹣4x+2y+4=0，得（x﹣2）2+（y+1）2=1，
∴圆x2+y2﹣4x+2y+4=0的半径为r=1；圆心坐标为（2，﹣1），
故选：C．
9. 若关于的不等式有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的
的最大值为、最小值为，则－等
于（）
A．1 B．24 C．25 D．26
参考答案：
D
提示由
得解得
∴；故选D
10. 已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点，连接
若则的离心率为 ( )
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，其中i为虚数单位，则.
参考答案：
1.
根据已知可得，则，所以，从而．12. 已知命题p：“?n∈N*，使得n2＜2n”，则命题￢p的真假为．
参考答案：
假
根据特称命题的否定是全称命题，再判断真假即可
解：命题是特称命题，则命题的否定是“?n∈N，n2≥2n”，
当n=1时不成立．
故￢p为假命题，
故答案为：假．
13. 设，则．参考答案：
1
略
14. 不等式≤的解集为 .
参考答案：
[-3, 1]
15. 已知P 是双曲线上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，
则|PF2|的值为________．
参考答案：
33
略
16. 设直线参数方程为（t为参数），则它的斜截式方程为．
参考答案：
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
【分析】先利用消参法消去参数t，即可将直线的参数方程化成直线的普通方程．
【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴消去参数t得，
则它的斜截式方程为，
故答案为：．
17. 已知矩形中，平面，且，若在边上存在点
，使得，则的取值范围是。

参考答案：
a∈[2,+∞)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设圆圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两
点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（Ⅰ）证明：为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与C1交于P,Q两
点，求证：是定值，并求出该定值.
参考答案：
（I）（）；（II）
【分析】
（I）根据几何关系，即可证明为定值，再利用椭圆的定义即可求出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）利用点斜式设出直线的方程，与椭圆方程联立方程组，得到关于的一元二次方程，利用根
与系数关系以及弦长公式表示出，同理可得，代入中进行化简即可证明
为定值。

【详解】（I）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，
所以，由题设得，，，
由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.
（II）依题意：与轴不垂直，设的方程为,,.
由得,.
则，.
所以.
同理：故(定值)
【点睛】本题考查解析几何中的轨迹问题以及定值问题，综合性强，运算量大，属于中档题。

19. 已知函数在处取得极值．
(1)求，并求函数在点处的切线方程；
(2) 求函数的单调区间．
参考答案：
(1)因为，所以．1分
因为在处取得极值，所以，即，
解得所以．3分
因为，，，
所以函数在点处的切线方程为．6分
(2)由(1) ，
令，即，解得，
所以的单调递增区间为．9分
令，即，解得或，
所以的单调递减区间为，．
综上，的单调递减区间为和，单调递增区间为．12分20. （14分）设复数z=a﹣i，其中i为虚数单位，a∈R．
（1）若z2=﹣2i，求实数a的值；
（2）若a=2，求复平面内与对应的点的坐标．
参考答案：
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】（1）由z2=﹣2i，展开后利用复数相等的条件求得a值；
（2）利用复数代数形式的乘除运算化简即可求得复平面内与对应的点的坐标．【解答】解：（1）∵z2=（a﹣i）2=a2﹣1﹣2ai，
由题意，a2﹣1﹣2ai=﹣2i，
∴，解得a=1．
（2）由题意，z=2﹣i，
∴，
∴复数在复平面内所对应的点坐标为．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
21. 已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥ax+1恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求函数f（x）的导数f′（x），利用导数判断f（x）在[0，+∞）上单调递增，从而求出f（x）的最小值；
（Ⅱ）【法一】讨论a≤0以及a＞0时，对应函数f（x）的单调性，求出满足f（x）＜ax+1时a的取值范围．
【法二】根据不等式构造函数h（x）=e x﹣x2﹣x﹣ax﹣1，利用导数h′（x）判断函数h（x）的单调性与是否存在零点，
从而求出满足f（x）＜ax+1时a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数，
所以f′（x）=e x﹣x﹣1；
令g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1，
所以当x＞0时，g′（x）＞0；
故g（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，
所以f（x）在[0，+∞）上单调递增；
故当x=0时f（x）取得最小值1；
（Ⅱ）【法一】（1）当a≤0时，对于任意的x≥0，恒有ax+1≤1，
又由（Ⅰ）得f（x）≥1，故f（x）≥ax+1恒成立；
（2）当a＞0时，令h（x）=e x﹣x2﹣x﹣ax﹣1，
则h′（x）=e x﹣x﹣a﹣1，由（Ⅰ）知g（x）=e x﹣x﹣1在[0，+∞）上单调递增，
所以h′（x）=e x﹣x﹣a﹣1在[0，+∞）上单调递增；
又h′（0）=﹣a＜0，取x=2，由（Ⅰ）得≥+2+1，
h′（2）=﹣2﹣a﹣1≥+2+1﹣2﹣a﹣1=a＞0，
所以函数h′（x）存在唯一的零点x0∈（0，2），
当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，
h（x）在[0，x0）上单调递减；
所以当x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ax+1，不符合题意；
综上，a的取值范围是（﹣∞，0]．【法二】令h（x）=e x﹣x2﹣x﹣ax﹣1，则h′（x）=e x﹣x﹣a﹣1，
由（Ⅰ）知，x＞0时，e x﹣x﹣1＞0；
（1）当a≤0时，h′（x）=e x﹣x﹣a﹣1＞0，此时h（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以当x≥0时，h（x）≥h（0）=0，即e x﹣x2﹣x≥ax+1，即a≤0时，f（x）≥ax+1恒成立；（2）当a＞0时，由（Ⅰ）知g（x）=e x﹣x﹣1在[0，+∞）上单调递增，
所以h′（x）=e x﹣x﹣a﹣1＞0在[0，+∞）上单调递增，
所以h′（x）在[0，+∞）上至多存在一个零点，
如果h′（x）在[0，+∞）上存在零点x0，因为h′（0）=﹣a＜0，则x0＞0，且h′（x0）=0，
故当x∈（0，x0）时，h′（x）＜h′（x0）=0，
所以h（x）在[0，x0）上单调递减；
所以当x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ax+1，不符合题意；
如果h′（x）在[0，+∞）上不存在零点，则当x∈（0，+∞）时，恒有h′（x）＜0，
所以h（x）在[0，+∞）上单调递减；
则当x∈（0，+∞）时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ax+1，不符合题意；
综上，a的取值范围是（﹣∞，0]．
22. 设函数，若在处有极值.
（1）求实数a的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）若对任意的，都有，求实数c的取值范围.
参考答案：
(1) ，由已知得，解得. 2分
(2) 由（1）得，则，令，解得
，当，当，当，所以在处取得极大值，极大值，在处取得极小值，极小值. 7分
(3)由（2）可知极大值，极小值，又，所以函数在[－4,4]上的最大值为81，对任意的，都有，则，解得或
. 12分。