材料力学概念及基础知识
材料力学基本概念及计算公式
材料力学基本概念及计算公式材料力学是研究物质在外力作用下的力学性质和变形规律的学科，主要研究物质的力学性质，包括弹性、塑性、稳定性等。
下面将介绍材料力学的基本概念及计算公式。
1.弹性力学：(1) 弹性模量（Young’s modulus）：材料承受应力时的应变程度。
计算公式：E = σ / ε，其中 E 为弹性模量，σ 为应力，ε 为应变。
(2) 剪切模量（Shear modulus）：材料抵抗剪切变形的能力。
计算公式：G = τ/ γ，其中 G 为剪切模量，τ 为剪切应力，γ 为剪切应变。
(3) 泊松比（Poisson’s ratio）：材料在受力作用下沿一方向延伸时，在垂直方向上收缩的比例。
计算公式：ν = -ε_y / ε_x，其中ν 为泊松比，ε_x 为纵向应变，ε_y 为横向应变。
2.稳定性分析：(1) 屈曲载荷（Buckling load）：结构在受压作用下失去稳定性的临界载荷。
计算公式：F_cr = π²EI / L²，其中 F_cr 为屈曲载荷，E 为弹性模量，I 为截面惯性矩，L 为结构长度。
(2) 欧拉稳定性理论（Euler’s stability theory）：用于分析长杆（例如柱子）的稳定性。
计算公式：P_cr = π²EI / (KL)²，其中P_cr 为屈曲载荷，E 为弹性模量，I 为截面惯性矩，K 为杆件端部支撑系数，L 为杆件长度。
3.塑性力学：(1) 屈服点（yield point）：材料开始发生塑性变形的点，也是材料在加强阶段的上线。
计算公式：σ_y = F_y / A_0，其中σ_y 为屈服点应力，F_y 为屈服点力，A_0 为断面积。
(2) 韧性（toughness）：材料吸收能量的能力，一般由应力-应变曲线上的面积表示。
计算公式：T = ∫σ dε，其中 T 为韧性，σ 为应力，ε 为应变。
4.疲劳力学：(1) 疲劳极限（fatigue limit）：材料在循环应力作用下出现裂纹的最大应力。
材料力学基本概念和公式
材料力学基本概念和公式
材料力学是一门应用物理学，研究的是将外力和结构结合在一起的物
理学问题。
它研究物体的外部力和内部应力、应变之间的关系，并研究这
种关系如何影响物体的力学性能。
材料力学的基本概念与公式包括：（1）力：力是一个向量，表示对物体做了其中一种操作的作用，其
大小决定了物体的变形和变化。
它的单位是牛顿，记作F。
力的方向由它
的向量指示。
例如，F＝10N，表示牛顿单位中有10N的力沿着它的方向作用。
（2）应力：应力是物体力的结果，它是由外部力对物体施加的压力，表现为物体表面内的力矩的大小。
由于应力是由外部力引起的，它的单位
也是牛顿，记作σ。
应力的方向依赖于外部力的大小和方向，也可以由
向量表示。
例如，σ＝20N，表示牛顿单位中有20N的应力沿着它的方向
施加。
（3）应变：应变是物体因外力的作用而发生变形的程度。
它由物体
表面受力的区域的形状、位置和尺寸来表示，它的单位是厘米，记作ε。
应变的方向与应力的方向是正相关的，也可以由向量表示。
例如，ε＝
0.02cm，表示物体表面受力的区域的形状、位置和尺寸变化了0.02cm。
（4）抗压强度：抗压强度是指物体在受到压力的作用时，能承受多
少应力而不发生破坏。
它的单位是牛顿每厘米，记作σ＝fp。
材料力学概念及基础知识
材料⼒学概念及基础知识⼀、基本概念1 材料⼒学的任务是：研究构件的强度、刚度、稳定性的问题，解决安全与经济的⽭盾。
2 强度：构件抵抗破坏的能⼒。
3 刚度：构件抵抗变形的能⼒。
4 稳定性：构件保持初始直线平衡形式的能⼒。
5 连续均匀假设：构件内均匀地充满物质。
6 各项同性假设：各个⽅向⼒学性质相同。
7 内⼒：以某个截⾯为分界，构件⼀部分与另⼀部分的相互作⽤⼒。
8 截⾯法：计算内⼒的⽅法，共四个步骤：截、留、代、平。
9 应⼒：在某⾯积上，内⼒分布的集度(或单位⾯积的内⼒值)、单位Pa。
10 正应⼒：垂直于截⾯的应⼒(σ)11 剪应⼒：平⾏于截⾯的应⼒( )12 弹性变形：去掉外⼒后，能够恢复的那部分变形。
13 塑性变形：去掉外⼒后，不能够恢复的那部分变形。
14 四种基本变形：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。
⼆、拉压变形15 当外⼒的作⽤线与构件轴线重合时产⽣拉压变形。
16 轴⼒：拉压变形时产⽣的内⼒。
17 计算某个截⾯上轴⼒的⽅法是：某个截⾯上轴⼒的⼤⼩等于该截⾯的⼀侧各个轴向外⼒的代数和，其中离开该截⾯的外⼒取正。
18 画轴⼒图的步骤是：①画⽔平线，为X轴，代表各截⾯位置；②以外⼒的作⽤点为界，将轴线分段；③计算各段上的轴⼒；④在⽔平线上画出对应的轴⼒值。
（包括正负和单位）19 平⾯假设：变形后横截⾯仍保持在⼀个平⾯上。
20 拉（压）时横截⾯的应⼒是正应⼒，σ=N/A21 斜截⾯上的正应⼒：σα=σcos2α22 斜截⾯上的切应⼒：α=σSin2α/223 胡克定律：杆件的变形时与其轴⼒和长度成正⽐，与其截⾯⾯积成反⽐，计算式△L=NL/EA（适⽤范围σ≤σp）24 胡克定律的微观表达式是σ=Eε。
25 弹性模量（E）代表材料抵抗变形的能⼒（单位Pa）。
26 应变：变形量与原长度的⽐值ε=△L/L（⽆单位），表⽰变形的程度。
27 泊松⽐（横向变形与轴向变形之⽐）µ=∣ε1/ε∣28 钢（塑）材拉伸试验的四个过程：⽐例阶段、屈服阶段、强化阶段、劲缩阶段。
材料力学基本概念知识点总结
材料力学基本概念知识点总结材料力学是研究物质材料的力学性质和行为的学科，是许多工程学科的基础和核心内容之一。
本文将对材料力学的基本概念进行总结，包括应力、应变、弹性、塑性等方面。
一、应力与应变1.1 应力应力是描述物体内部受力情况的物理量。
一般分为法向应力和切应力两个方向，分别表示作用在物体上的垂直和平行于截面的力。
法向应力可进一步分为压应力和拉应力，分别表示作用在物体上的压缩力和拉伸力。
1.2 应变应变是物体在受力作用下发生形变的度量。
一般分为线性应变和剪切应变两类，分别表示物体长度或体积的变化以及物体形状的变化。
线性应变可进一步分为正应变和负应变，分别表示物体拉伸或压缩时的形变情况。
二、弹性与塑性2.1 弹性弹性是材料的一种特性，指材料在受力作用下能够恢复原先形状和大小的能力。
即当外力停止作用时，材料能够完全恢复到初始状态。
弹性按照应力-应变关系可分为线弹性和非线弹性，前者表示应力与应变之间呈线性关系，后者表示应力与应变之间不呈线性关系。
2.2 塑性塑性是材料的另一种特性，指材料在受力作用下会发生形变并保持在一定程度上的能力。
即当外力停止作用时，材料只能部分恢复到初始状态。
塑性按照塑性变形的特点可分为可逆塑性和不可逆塑性，前者表示形变能够通过去应力恢复到初始状态，后者表示形变无法通过去应力完全恢复。
三、应力-应变关系应力-应变关系是描述材料力学行为的重要概念之一。
在材料的弹性范围内，应力与应变之间满足线性比例关系，也就是胡克定律。
根据胡克定律，应力等于弹性模量与应变的乘积。
四、杨氏模量与剪切模量4.1 杨氏模量杨氏模量是衡量材料抵抗线弹性形变的能力，也叫做弹性模量。
杨氏模量越大，材料的刚性越高，抗拉伸和抗压缩的能力越强。
4.2 剪切模量剪切模量是衡量材料抵抗剪切形变的能力，也叫做切变模量。
剪切模量越大，材料的抗剪强度越高，抗剪形变的能力越强。
五、破坏力学破坏力学是研究材料在外力作用下失效的学科。
材料力学的基本知识与原理解析
材料力学的基本知识与原理解析材料力学是研究材料在外界力作用下的力学性质和变形规律的学科。
它是现代工程学的基础学科之一，对于工程设计、材料选择和结构分析具有重要的意义。
本文将从材料力学的基本概念、应力与应变关系、材料的弹性与塑性行为以及材料失效等方面进行解析。
一、基本概念材料力学研究的对象是材料的内部结构和外部力的相互作用。
材料可以是金属、陶瓷、塑料等各种物质的组合体。
材料力学的基本概念包括应力、应变、弹性模量、屈服强度等。
应力是指单位面积上的力，可以分为正应力和剪应力。
应变是指物体单位长度的变化量，可以分为线性应变和剪切应变。
弹性模量是衡量材料抗拉伸变形能力的指标，屈服强度则是材料开始发生塑性变形的临界点。
二、应力与应变关系应力与应变之间存在一定的关系，这种关系被称为应力-应变关系。
对于线性弹性材料来说，应力与应变之间呈线性关系，可以用胡克定律来描述。
胡克定律表示应力与应变成正比，比例常数为弹性模量。
然而，在材料的应力超过一定临界值后，材料会发生塑性变形，此时应力与应变的关系就不再呈线性关系。
三、材料的弹性与塑性行为材料的弹性行为是指材料在外力作用下能够恢复原状的能力。
弹性行为是材料力学中最基本的性质之一。
当外力作用消失时，材料会恢复到原来的形状和尺寸。
然而，当外力超过材料的屈服强度时，材料会发生塑性变形。
塑性变形是指材料在外力作用下会永久性地改变其形状和尺寸。
塑性变形会导致材料的强度降低和损伤积累，最终可能导致材料的失效。
四、材料失效材料失效是指材料在使用过程中不再满足设计要求或无法继续承受外界力的情况。
材料失效可以分为强度失效和稳定性失效两种。
强度失效是指材料在外力作用下超过其强度极限而发生破坏。
稳定性失效是指材料在长期使用过程中，由于材料的内部缺陷或损伤积累导致材料的性能逐渐下降，最终无法继续使用。
材料失效对于工程结构的安全性和可靠性具有重要影响，因此，对于材料失效机理的研究和预测是材料力学的重要内容之一。
材料力学
第一讲第一章材料力学基本知识§1.1 基本概念：理论力学------研究物体（刚体）受力和机械运动一般规律的科学。
材料力学------研究构件（杆件）在外力作用下内力、变形、以及破坏或失效一般规律的科学，为合理设计构件提供有关强度、刚度、稳定性等分析的基本理论和方法。
4．1 构件的承载能力为保证构件正常工作，构件应具有足够的能力负担所承受的载荷。
因此，构件应当满足以下要求：1、强度要求：即构件在外力作用下应具有足够的抵抗破坏的能力。
在规定的载荷作用下构件当然不应破坏，包括断裂和发生较大的塑性变形。
例如，冲床曲轴不可折断；建筑物的梁和板不应发生较大塑性变形。
强度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生意外断裂或显著塑性变形。
2、刚度要求：即构件在外力作用下应具有足够的抵抗变形的能力。
在载荷作用下，构件即使有足够的强度，但若变形过大，仍不能正常工作。
例如，机床主轴的变形过大，将影响加工精度；齿轮轴变形过大将造成齿轮和轴承的不均匀磨损，引起噪音。
刚度要求就是指构件在规定的事业条件下不发生较大的变形。
3、稳定性要求：即构件在外力作用下能保持原有直线平衡状态的能力。
承受压力作用的细长杆，如千斤顶的螺杆、内燃机的挺杆等应始终维持原有的直线平衡状态，保证不被压弯。
稳定性要求就是指构件在规定的使用条件下不产生丧失稳定性破坏。
如果构件的横截面尺寸不足或形状不合理，或材料选用不当，不能满足上述要求，将不能保证工程结构或机械的安全工作。
相反，如果不恰当的加大构件横截面尺寸或选用高强材料，这虽满足了上述要求，却使用了更多的材料和增加了成本，造成浪费。
我们可以作出以下结论：材料力学是研究各类构件（主要是杆件）的强度、刚度和稳定性的学科，它提供了有关的基本理论、计算方法和实验技术，使我们能合理地确定构件的材料和形状尺寸，以达到安全与经济的设计要求。
在工程实际问题中，一般来说，构件都应具有足够的承载能力，即足够的强度、刚度和稳定性，但对具体的构件又有所侧重。
3材料力学基本概念
4、平:
三、应力的概念 平均应力：横截面某范围内单位面积上微内力
的平均集度。
F1
m O点
F微内力
F p A
A微面积 F2
m
一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方
向都将趋于一定极限(即全应力)，得到
F dF pm lim A0 A dA
第二节
一、相关概念
杆件变形的基本形式
1. 杆轴线—由杆件各截面的中心（形心）连接而成的线。 2. 等截面杆—各横截面面积相同的杆。
二、杆件变形的基本形式 1. 轴向拉压变形 受力特点： 外力与杆轴线重合。 变形特点：
杆件沿轴线方向伸长或 缩短。
二、杆件变形的基本形式
2. 剪切变形
受力特点：外力与杆轴线垂直。 变形特点：杆件横截面发生相互错对。
1N 1Pa 2 m
1N 1MPa 2 1mm
第四节
变形与应变
一、变形：受力体形状和大小的变化，分为长 度和角度的改变，即线变形和角变形。 1.弹性变形：变形固体在外力去掉后能恢复原 来形状和尺寸的性质。 2.塑性变形：变形固体在外力作用下发生变形， 且去掉外力后不能恢复的变形。 3.理想弹性体：去掉外力后能完全恢复原状的 物体。
3. 扭转变形 受力特点：外力偶与杆轴线垂直。 变形特点：杆件横截面绕杆轴线相对转动 。
4. 弯曲变形 受力特点：外力偶在杆轴线的纵向平面内。 变形特点：杆件由直线变为曲线 。
第三节 内力、截面法、应力
一、内力的概念
无外力
P
P 原有内力 工程力学中
有 外 力 作 用 后
的内力
P+P '
材料力学知识点总结
材料力学知识点总结材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科。
它是工程力学的一个重要分支，对于机械、土木、航空航天等工程领域的设计和分析具有重要意义。
以下是对材料力学主要知识点的总结。
一、基本概念1、外力与内力外力是指物体受到的来自外部的作用力，包括集中力、分布力等。
内力则是物体内部各部分之间的相互作用力，当物体受到外力作用时，内力会随之产生以抵抗外力。
2、应力与应变应力是单位面积上的内力，它反映了材料内部受力的强弱程度。
应变是物体在受力作用下形状和尺寸的相对变化，分为线应变和切应变。
3、杆件的基本变形杆件在受力作用下主要有四种基本变形形式：拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲。
二、拉伸与压缩1、轴力与轴力图轴力是指杆件沿轴线方向的内力。
通过绘制轴力图，可以直观地表示出轴力沿杆件轴线的变化情况。
2、横截面上的应力在拉伸（压缩）情况下，横截面上的应力均匀分布，其大小等于轴力除以横截面面积。
3、材料在拉伸与压缩时的力学性能通过拉伸试验，可以得到材料的强度指标（屈服强度、抗拉强度）和塑性指标（伸长率、断面收缩率）。
不同材料具有不同的力学性能，如低碳钢的屈服和强化阶段，铸铁的脆性等。
4、胡克定律在弹性范围内，应力与应变成正比，即σ ＝Eε ，其中 E 为弹性模量。
5、拉伸（压缩）时的变形计算根据胡克定律，可以计算杆件在拉伸（压缩）时的变形量。
三、剪切1、剪切内力与剪切应力剪切内力通常用剪力表示，剪切应力则是单位面积上的剪力。
2、剪切实用计算在工程中，通常采用实用计算方法来确定剪切面上的平均应力。
四、扭转1、扭矩与扭矩图扭矩是指杆件在扭转时横截面上的内力偶矩。
扭矩图用于表示扭矩沿杆件轴线的变化。
2、圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时，横截面上的应力分布呈线性规律，其最大应力发生在圆周处。
扭转角的计算与材料的剪切模量、扭矩和轴的长度等因素有关。
五、弯曲1、剪力与弯矩弯曲内力包括剪力和弯矩，它们的计算和绘制剪力图、弯矩图是弯曲分析的重要内容。
材料力学原理
材料力学原理材料力学原理是材料科学与工程中的重要基础学科，它研究材料在外力作用下的力学性能和变形行为。
材料力学原理的研究对于材料的设计、加工和应用具有重要的指导意义。
本文将从材料力学原理的基本概念、应力与应变、弹性力学、塑性力学等方面进行介绍。
首先，材料力学原理的基本概念。
材料力学原理是研究材料在外力作用下的力学性能和变形行为的学科，它包括静力学、动力学和弹塑性力学等内容。
静力学研究材料在平衡状态下的力学性能，动力学研究材料在外力作用下的运动规律，而弹塑性力学则研究材料在外力作用下的弹性和塑性变形行为。
其次，应力与应变是材料力学原理中的重要概念。
应力是单位面积上的力，它描述了材料受到的外力作用程度。
而应变则是材料单位长度上的变形量，它描述了材料在外力作用下的变形程度。
应力与应变之间的关系可以通过杨氏模量和泊松比来描述，它们是材料力学性能的重要指标。
接下来，弹性力学是材料力学原理中的重要内容。
弹性力学研究材料在外力作用下的弹性变形行为，它包括胡克定律、拉伸与压缩、弯曲等内容。
胡克定律描述了材料的线弹性行为，而拉伸、压缩和弯曲则是材料在外力作用下的典型变形形式。
最后，塑性力学是材料力学原理中的另一个重要内容。
塑性力学研究材料在外力作用下的塑性变形行为，它包括屈服、硬化、蠕变等内容。
材料的塑性变形是材料加工和应用中不可避免的问题，因此塑性力学的研究对于材料的设计和加工具有重要意义。
综上所述，材料力学原理是材料科学与工程中的重要基础学科，它研究材料在外力作用下的力学性能和变形行为。
材料力学原理的研究对于材料的设计、加工和应用具有重要的指导意义，它包括静力学、动力学、弹性力学和塑性力学等内容。
希望本文的介绍能够对读者对材料力学原理有所了解，并对相关领域的研究和应用有所帮助。
材料力学中的基本知识及其应用
材料力学中的基本知识及其应用材料力学是研究材料的力学性能和行为的一门学科，它是材料科学和工程学的重要基础。
在工程实践中，掌握材料力学的基本知识对于设计和制造高性能材料和结构至关重要。
本文将介绍材料力学的基本概念和应用，并探讨其在工程领域中的重要性。
第一部分：材料力学的基本概念材料力学的基本概念包括应力、应变和弹性模量。
应力是单位面积上的力，可以描述材料受力后的变形程度。
应变是材料受力后的变形量与原始尺寸的比值，可以用来描述材料的变形性能。
弹性模量是描述材料对应力的响应能力，它衡量了材料在受力后能够恢复原状的能力。
第二部分：材料力学的应用材料力学的应用广泛，涉及到材料的设计、制造和使用。
在材料的设计过程中，材料力学可以帮助工程师选择合适的材料和确定合理的结构设计，以满足特定的应力和应变要求。
在材料的制造过程中，材料力学可以指导工程师选择适当的工艺参数，以确保材料的质量和性能。
在材料的使用过程中，材料力学可以帮助工程师评估材料的耐久性和可靠性，以确保材料在使用过程中不会发生失效。
第三部分：材料力学在工程领域中的重要性材料力学在工程领域中具有重要的意义。
首先，材料力学可以帮助工程师理解材料的性能和行为，从而指导材料的设计和制造。
其次，材料力学可以帮助工程师评估材料的可靠性和安全性，从而确保工程项目的顺利进行。
此外，材料力学还可以帮助工程师解决材料失效和损坏的问题，提高工程项目的效率和可持续性。
结论材料力学是材料科学和工程学的重要基础，掌握材料力学的基本知识对于设计和制造高性能材料和结构至关重要。
材料力学的应用广泛，涉及到材料的设计、制造和使用。
在工程领域中，材料力学具有重要的意义，可以帮助工程师理解材料的性能和行为，评估材料的可靠性和安全性，解决材料失效和损坏的问题。
因此，深入学习和应用材料力学的知识对于工程师来说是非常重要的。
材料力学的基本知识与基本原理
材料力学的基本知识与基本原理材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和力学行为的学科。
它是材料科学与工程中的重要基础学科，对于材料的设计、制备和应用具有重要意义。
本文将介绍材料力学的基本知识与基本原理，帮助读者更好地理解材料的力学性质。
一、材料力学的基本概念材料力学是研究材料在外力作用下的力学行为的学科，它主要包括静力学、动力学和弹性力学等内容。
静力学研究材料在力的作用下的平衡状态，动力学研究材料在力的作用下的运动状态，而弹性力学则研究材料在外力作用下的弹性变形。
二、材料力学的基本原理1. 牛顿第一定律牛顿第一定律也被称为惯性定律，它指出物体在没有外力作用下将保持静止或匀速直线运动。
在材料力学中，这一定律可以解释材料在没有外力作用下的静力平衡状态。
2. 牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体受力后的运动状态的定律，它表明物体所受合力与物体的加速度成正比。
在材料力学中，牛顿第二定律可以用来描述材料在外力作用下的运动状态，从而研究材料的力学性能。
3. 弹性力学原理弹性力学原理是研究材料在外力作用下的弹性变形的原理。
它基于胡克定律，即应力与应变成正比。
应力是单位面积上的力，应变是单位长度上的变形量。
弹性力学原理可以用来计算材料在外力作用下的应力和应变，从而研究材料的弹性性能。
4. 应力与应变的关系应力与应变的关系是材料力学中的重要内容，它可以通过应力-应变曲线来描述。
应力-应变曲线是材料在外力作用下的应力和应变之间的关系曲线，它可以反映材料的力学性能和变形特性。
在应力-应变曲线中，通常有线弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段等不同的阶段。
5. 杨氏模量和泊松比杨氏模量和泊松比是材料力学中的两个重要参数。
杨氏模量是描述材料在拉伸或压缩时的刚度的参数，它越大表示材料越硬。
泊松比是描述材料在拉伸或压缩时的体积变化与形变的比值，它越小表示材料越不易变形。
三、材料力学的应用材料力学的研究成果广泛应用于材料科学与工程领域。
材料力学的基本知识
3、扭转 、
4、弯曲 、
六、许用应力和安全系数
屈服极限：产生屈服时的最低应力， 屈服极限：产生屈服时的最低应力，用
σ s 表示 σ b 表示
强度极限：使材料拉断前的最大应力， 强度极限：使材料拉断前的最大应力，用
许用应力：每种材料所允许使用的应力， 许用应力：每种材料所允许使用的应力，用 [σ ]表示 塑性材料 脆性材料
四、内力、截面法和应力的概念 内力、 内力
物体内部各部分之间因外力而引起 的附加相互作用力， 的附加相互作用力，即“附加内 力”。
m
截面法
（1）截开
F m F m m F m m
F
在求内力的截面m 在求内力的截面m-m 处，假想地将杆截为两部 分。 （2）代替 取左部分部分作为研 究对象。弃去部分对研究 究对象。 对象的作用以截开面上的 内力代替，合力为F 内力代替，合力为FN 。
2、材料各向同性假设 、
即假设变形固体在各个方向上的力学性质完全相同。 即假设变形固体在各个方向上的力学性质完全相同。 具有这种属性的材料称为各向同性材料。铸铁、玻璃、 具有这种属性的材料称为各向同性材料。铸铁、玻璃、 混凝土、钢材等都可以认为是各向同性材料。 混凝土、钢材等都可以认为是各向同性材料。
F F
m
FQ
n
m− n
F
τ
a) b) c) d)
F 强度计算公式 τ = ≤ [τ ] A
根据实验结果， 之间有一定的关系： 根据实验结果，[τ ] 与 [σ ] 之间有一定的关系：
[τ ] = ( 0.75
[τ ] = ( 0.8
0.8 ) [σ ]
1.0 ) [σ ]
（对于塑性材料） 对于塑性材料） （对于脆性材料） 对于脆性材料）
材料力学重点总结材料力学重点
材料力学阶段总结一. 材料力学(de)一些基本概念1.材料力学(de)任务：解决安全可靠与经济适用(de)矛盾. 研究对象：杆件强度：抵抗破坏(de)能力 刚度：抵抗变形(de)能力 稳定性：细长压杆不失稳.2. 材料力学中(de)物性假设连续性：物体内部(de)各物理量可用连续函数表示. 均匀性：构件内各处(de)力学性能相同. 各向同性：物体内各方向力学性能相同.3. 材力与理力(de)关系, 内力、应力、位移、变形、应变(de)概念材力与理力：平衡问题,两者相同； 理力：刚体,材力：变形体.内力：附加内力.应指明作用位置、作用截面、作用方向、和符号规定.应力：正应力、剪应力、一点处(de)应力.应了解作用截面、作用位置（点）、作用方向、和符号规定.正应力⎩⎨⎧拉应力压应力应变：反映杆件(de)变形程度⎩⎨⎧角应变线应变变形基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲.4. 物理关系、本构关系 虎克定律；剪切虎克定律：⎪⎩⎪⎨⎧==∆=Gr EA Pl l E τεσ夹角的变化。
剪切虎克定律：两线段——拉伸或压缩。
拉压虎克定律：线段的适用条件：应力～应变是线性关系：材料比例极限以内. 5. 材料(de)力学性能（拉压）：一张σ-ε图,两个塑性指标δ、ψ,三个应力特征点：b s p σσσ、、,四个变化阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段. 拉压弹性模量E ,剪切弹性模量G ,泊松比v ,）（V EG +=12塑性材料与脆性材料(de)比较：6. 安全系数、 许用应力、工作应力、应力集中系数安全系数：大于1(de)系数,使用材料时确定安全性与经济性矛盾(de)关键.过小,使构件安全性下降；过大,浪费材料. 许用应力：极限应力除以安全系数. 塑性材料[]ssn σσ=s σσ=0脆性材料[]bbn σσ=b σσ=07. 材料力学(de)研究方法1) 所用材料(de)力学性能：通过实验获得.2)对构件(de)力学要求：以实验为基础,运用力学及数学分析方法建立理论,预测理论应用(de)未来状态.3)截面法：将内力转化成“外力”.运用力学原理分析计算.8.材料力学中(de)平面假设寻找应力(de)分布规律,通过对变形实验(de)观察、分析、推论确定理论根据.1) 拉（压）杆(de)平面假设实验：横截面各点变形相同,则内力均匀分布,即应力处处相等. 2) 圆轴扭转(de)平面假设实验：圆轴横截面始终保持平面,但刚性地绕轴线转过一个角度.横截面上正应力为零. 3) 纯弯曲梁(de)平面假设实验：梁横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于梁(de)纵向纤维；正应力成线性分布规律.9 小变形和叠加原理 小变形：① 梁绕曲线(de)近似微分方程 ② 杆件变形前(de)平衡③切线位移近似表示曲线④力(de)独立作用原理叠加原理：①叠加法求内力②叠加法求变形.10 材料力学中引入和使用(de)(de)工程名称及其意义（概念）1) 荷载：恒载、活载、分布荷载、体积力,面布力,线布力,集中力,集中力偶,极限荷载.2) 单元体,应力单元体,主应力单元体.3) 名义剪应力,名义挤压力,单剪切,双剪切.4) 自由扭转,约束扭转,抗扭截面模量,剪力流.5) 纯弯曲,平面弯曲,中性层,剪切中心（弯曲中心）,主应力迹线,刚架,跨度, 斜弯曲,截面核心,折算弯矩,抗弯截面模量.6) 相当应力,广义虎克定律,应力圆,极限应力圆.7) 欧拉临界力,稳定性,压杆稳定性.8)动荷载,交变应力,疲劳破坏.二. 杆件四种基本变形(de)公式及应用1. 四种基本变形：2. 四种基本变形(de)刚度,都可以写成：刚度 = 材料(de)物理常数×截面(de)几何性质 1)物理常数：某种变形引起(de)正应力：抗拉（压）弹性模量E ； 某种变形引起(de)剪应力：抗剪（扭）弹性模量G . 2)截面几何性质：拉压和剪切：变形是截面(de)平移： 取截面面积 A ； 扭转：各圆截面相对转动一角度或截面绕其形心转动：取极惯性矩ρI ；梁弯曲：各截面绕轴转动一角度：取对轴(de)惯性矩Z I . 3. 四种基本变形应力公式都可写成：应力=截面几何性质内力对扭转(de)最大应力：截面几何性质取抗扭截面模量maxρ=ρI W p对弯曲(de)最大应力：截面几何性质取抗弯截面模量max y I W ZZ =4. 四种基本变形(de)变形公式,都可写成：变形=刚度长度内力⨯因剪切变形为实用计算方法,不考虑计算变形.弯曲变形(de)曲率221dxyd x ±=ρ）（,一段长为 l (de)纯弯曲梁有： z x EI l M x l=ρ=θ）（补充与说明：1、关于“拉伸与压缩”指简单拉伸与简单压缩,即拉力或压力与杆(de)轴线重合；若外荷载作用线不与轴线重合,就成为拉（压）与弯曲(de)组合变形问题；杆(de)压缩问题,要注意它(de)长细比λ（柔度）.这里(de)简单压缩是指“小柔度压缩问题”. 2、关于“剪切”实用性(de)强度计算法,作了剪应力在受剪截面上均匀分布(de)假设.要注意有不同(de)受剪截面： a.单面受剪：受剪面积是铆钉杆(de)横截面积； b.双面受剪：受剪面积有两个：考虑整体结构,受剪面积为2倍销钉截面积；运用截面法,外力一分为二,受剪面积为销钉截面积.c.圆柱面受剪：受剪面积以冲头直径d 为直径,冲板厚度 t 为高(de)圆柱面面积. 3.关于扭转表中公式只实用于圆形截面(de)直杆和空心圆轴.等直圆杆扭转(de)应力和变形计算公式可近似分析螺旋弹簧(de)应力和变形问题是应用杆件基本变形理论解决实际问题(de)很好例子. 4.关于纯弯曲纯弯曲,在梁某段剪力 Q=0 时才发生,平面假设成立.横力弯曲（剪切弯曲）可以视作剪切与纯弯曲(de)组合,因剪应力平行于截面,弯曲正应力垂直于截面,两者正交无直接联系,所以由纯弯曲推导出(de)正应力公式可以在剪切弯曲中使用.5.关于横力弯曲时梁截面上剪应力(de)计算问题为计算剪应力,作为初等理论(de)材料力学方法作了一些巧妙(de)假设和处理,在理解矩形截面梁剪应力公式时,要注意以下几点：1) 无论作用于梁上(de)是集中力还是分布力,在梁(de)宽度上都是均匀分布(de).故剪应力在宽度上不变,方向与荷载（剪力）平行.2) 分析剪应力沿梁截面高度分布变化规律时,若仅在截面内,有Q bdh h n=τ⎰)(,因 )(h τ=τ (de)函数形式未知,无法积分.但由剪应力互等定理,考虑微梁段左、右内力(de)平衡,可以得出：bI QS z Z *=τ剪应力在横截面上沿高度(de)变化规律就体现在静矩*z S 上, *z S 总是正(de).剪应力公式及其假设： a.矩形截面假设1：横截面上剪应力τ与矩形截面边界平行,与剪应力Q(de)方向一致； 假设2：横截面上同一层高上(de)剪应力相等. 剪应力公式：b I y QS y z z )()(*=τ ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22*22y y b y S Z）（）（ 平均ττ2323max=⋅=bh Q b. 非矩形截面积假设1： 同一层上(de)剪应力τ作用线通过这层两端边界(de)切线交点,剪应力(de)方向与剪力(de)方向.假设2：同一层上(de)剪应力在剪力Q 方向上(de)分量y τ相等.剪应力公式：z z y I y b y QS y )()()(*=τ2322*)(32)(y R y S z -=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ℜ•=222134)(R y Q y y πτ 平均ττ34max =c.薄壁截面假设1：剪应力τ与边界平行,与剪应力谐调. 假设2：沿薄壁t,τ均匀分布. 剪应力公式：zz tI QS *=τ学会运用“剪应力流”概念确定截面上剪应力(de)方向. 三.梁(de)内力方程,内力图,挠度,转角遵守材料力学中对剪力 Q 和弯矩 M (de)符号规定.在梁(de)横截面上,总是假定内力方向与规定方向一致,从统一(de)坐标原点出发划分梁(de)区间,且把梁(de)坐标原点放在梁(de)左端（或右端）,使后一段(de)弯矩方程中总包括前面各段.均布荷载 q 、剪力Q 、弯矩M 、转角θ、挠度 y 间(de)关系：由： ，M dxyd EI =22 Q dx dM =, q dx dQ = 有 ）（）（x q dxyd EI x Q dx dMdxy d EI ===4433设坐标原点在左端,则有：q： q dxyd EI =44, q 为常值Q ： A qx dxyd EI +=33：M B Ax x q dx y d EI ++=2222 ：θC Bx x A x qdx dy EI +++=2326：y D Cx x B x A x q y EI ++++=⋅2342624 其中A 、B 、C 、D 四个积分常数由边界条件确定. 例如,如图示悬臂梁：则边界条件为：430080600000lq D y lq C B M A Q l x l x x x =→=-=→=θ=→==→=====|||| 8624434ql x ql x q y EI +-=⋅EIql yx 84==截面法求内力方程：内力是梁截面位置(de)函数,内力方程是分段函数,它们以集中力偶(de)作用点,分布(de)起始、终止点为分段点；1)在集中力作用处,剪力发生突变,变化值即集中力值,而弯矩不变；2)在集中力偶作用处,剪力不变,弯矩发生突变,变化值即集中力偶值；3)剪力等于脱离梁段上外力(de)代数和.脱离体截面以外另一端,外力(de)符号同剪力符号规定,其他外力与其同向则同号,反向则异号；4)弯矩等于脱离体上(de)外力、外力偶对截面形心截面形心(de)力矩(de)代数和.外力矩及外力偶(de)符号依弯矩符号规则确定.梁内力及内力图(de)解题步骤：1)建立坐标,求约束反力；2)划分内力方程区段；3)依内力方程规律写出内力方程；4)运用分布荷载q、剪力Q、弯矩M(de)关系作内力图；关系：()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+====⎰⎰dcdcCDCDxdxQMMxdxqQQxQdxdMxqdxdQdxMd，22规定：①荷载(de)符号规定：分布荷载集度q向上为正；②坐标轴指向规定：梁左端为原点,x轴向右为正.剪力图和弯矩图(de)规定：剪力图(de) Q轴向上为正,弯矩图(de) M轴向下为正.5)作剪力图和弯矩图：①无分布荷载(de)梁段,剪力为常数,弯矩为斜直线；Q＞0,M图有正斜率（﹨）；Q＜0,有负斜率（／）；②有分布荷载(de)梁段（设为常数）,剪力图为一斜直线,弯矩图为抛物线；q＜0,Q图有负斜率（﹨）,M 图下凹（︶）；q＞0,Q图有正斜率（／）,M图上凸（︵）；③ Q=0(de)截面,弯矩可为极值；④集中力作用处,剪力图有突变,突变值为集中力之值,此处弯矩图(de)斜率也突变,弯矩图有尖角；⑤集中力偶作用处,剪力图无变化,弯矩图有突变,突变值为力偶之矩；⑥在剪力为零,剪力改变符号,和集中力偶作用(de)截面（包括梁固定端截面）,确定最大弯矩（maxM）；⑦指定截面上(de)剪力等于前一截面(de)剪力与该两截面间分布荷载图面积值(de)和；指定截面积上(de)弯矩等于前一截面(de)弯矩与该两截面间剪力图面积值(de)和.共轭梁法求梁(de)转角和挠度：要领和注意事项：1)首先根据实梁(de)支承情况,确定虚梁(de)支承情况2)绘出实梁(de)弯矩图,作为虚梁(de)分布荷载图.特别注意：实梁(de)弯矩为正时,虚分布荷载方向向上；反之,则向下.3)虚分布荷载()x q (de)单位与实梁弯矩()xM单位相同()mKN⋅若为,虚剪力(de)单位则为2mKN⋅,虚弯矩(de)单位是3mKN⋅4)由于实梁弯矩图多为三角形、矩形、二次抛物线和三次抛物线等.计算时需要这些图形(de)面积和形心位置.叠加法求梁(de)转角和挠度：各荷载对梁(de)变形(de)影响是独立(de).当梁同时受n 种荷载作用时,任一截面(de)转角和挠度可根据线性关系(de)叠加原理,等于荷载单独作用时该截面(de)转角或挠度(de)代数和.四. 应力状态分析 1.单向拉伸和压缩应力状态划分为单向、二向和三向应力状态.是根据一点(de)三个主应力(de)情况而确定(de). 如：x σ=σ1,032==σσ 单向拉伸有：EXX σε=,x z Y v εεε-==主应力只有x σ=σ1,但就应变,三个方向都存在.若沿 α 和 2π+α 取出单元体,则在四个截面上(de)应力为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ασ-=τασ=σασ=τασ=σπ+απ+ααα22222222Sin Sin Sin Cos x x x x ，， 看起来似乎为二向应力状态,其实是单向应力状态.2.二向应力状态. 有三种具体情况需注意1)已知两个主应力(de)大小和方向,求指定截面上(de)应力⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ασ-σ=τασ-σ+σ+σ=σαα22222212121Sin Cos由任意互相垂直截面上(de)应力,求另一任意斜截面上(de)应力⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ατ+ασ-σ=τατ-ασ-σ+σ+σ=σαα2222222Cos Sin Sin Cos x y xx yx Y x由任意互相垂直截面上(de)应力,求这一点(de)主应力和主方向⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧σ-στ-=ατ-σ-σ±σ+σ=⎭⎬⎫σσyx xxy x y x tg 222202221）（（角度 α 和 0α 均以逆时针转动为正）2) 二向应力状态(de)应力圆 应力圆在分析中(de)应用：a) 应力圆上(de)点与单元体(de)截面及其上应力一一对应；b) 应力圆直径两端所在(de)点对应单元体(de)两个相互垂直(de)面； c)应力圆上(de)两点所夹圆心角（锐角）是应力单元对应截面外法线间夹角(de)两倍2；d) 应力圆与正应力轴(de)两交点对应单元体两主应力；e)应力圆中过圆心且平行剪应力轴而交于应力圆(de)两点为最大、最小剪应力及其作用面.极点法：确定主应力及最大（小）剪应力(de)方向和作用面方向.3) 三方向应力状态,三向应力圆,一点(de)最大应力（最大正应力、最大剪应力）广义虎克定律：弹性体(de)一个特点是,当它在某一方向受拉时,与它垂直(de)另外方向就会收缩.反之,沿一个方向缩短,另外两个方向就拉长. 主轴方向：[]()[]()[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧σ+σ-σ=εσ+σ-σ=εσ+σ-σ=ε213313223211111v E v E v E ）（ 或()()()()[]()()()()[]()()()()[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ε+ε+ε+-+=σε+ε+ε--+=σε+ε+ε--+=σ213313223211121112111211v v v V E v v v v E v v v v E非主轴方向：()[]()[]()[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧σ+σ-σ=εσ+σ-σ=εσ+σ-σ=εy x z z x z y y z y x x v E v E v E 111体积应变：()32132121σσσεεε++-=++Ev五. 强度理论1.计算公式.强度理论可以写成如下统一形式：[]σσ≤r其中：r σ：相当应力,由三个主应力根据各强度理论按一定形式组合而成.[]σ：许用应力,[]nσσ=,0σ：单向拉伸时(de)极限应力,n ：安全系数.1)最大拉应力理论（第一强度理论）11σ=σr , 一般：[]nbσσ=2) 最大伸长线应变理论（第二强度理论）()3212σσσσ+-=v r ,一般：[]nbσσ=3) 最大剪应力理论（第三强度理论）313σσσ+=r , 一般：[]nsσσ=4) 形状改变比能理论（第四强度理论）()()()[]213232221421σσσσσσσ-+-+-=r , 一般：[]nsσσ=5) 莫尔强度理论[][]31σσσ-σ=σ-+M , []n+=σσ, 0+σ：材料抗拉极限应力强度理论(de)选用：1)一般,脆性材料应采用第一和第二强度理论；塑性材料应采用第三和第四强度理论.2)对于抗拉和抗压强度不同(de)材料,可采用最大拉应力理论3)三向拉应力接近相等时,宜采用最大拉应力理论；4)三向压应力接近相等时,宜应用第三或第四强度理论.六.分析组合形变(de)要领材料服从虎克定律且杆件形变很小,则各基本形变在杆件内引起(de)应力和形变可以进行叠加,即叠加原理或力作用(de)独立性原理.分析计算组合变形问题(de)要领是分与合：分：即将同时作用(de)几组荷载或几种形变分解成若干种基本荷载与基本形变,分别计算应力和位移.合：即将各基本变形引起(de)应力和位移叠加,一般是几何和.分与合过程中发现(de)概念性或规律性(de)东西要概念清楚、牢记.斜弯曲：平面弯曲时,梁(de)挠曲线是荷载平面内(de)一条曲线,故称平面弯曲；斜弯曲时,梁(de)挠曲线不在荷载平面内,所以称斜弯曲.斜弯曲时几个角度间(de)关系要清楚：ϕ力作用角（力作用平面）：α斜弯曲中性轴(de)倾角：斜弯曲挠曲线平面(de)倾角：θϕ=αtg I I tg y zϕ=θtg I I tg yzθ=α∴即：挠度方向垂直于中性轴一般,α≠ϕθ≠ϕ或即：挠曲线平面与荷载平面不重合.强度刚度计算公式：[]σ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕ+ϕ=σsin cos max max c z zW W W M 22z y f f f +=ϕ==cos zz y y EI pl EI l P f 3333ϕ==sin yy z z EI pl EI l P f 3333拉（压）与弯曲(de)组合：拉（压）与弯曲组合,中性轴一般不再通过形心,截面上有拉应力和压应力之区别偏心拉压问题,有时要求截面上下只有一种应力,这时载荷(de)作用中心与截面形心不能差得太远,而只能作用在一个较小(de)范围内这个范围称为截面(de)核心.强度计算公式及截面核心(de)求解：[]σ≤±=σzW M A N max minmax012020=++yp zp iz z iy y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=pyzpz y z i a y i a 22扭转与弯曲(de)组合形变：机械工程中常见(de)一种杆件组合形变,故常为圆轴. 分析步骤：根据杆件(de)受力情况分析出扭矩和弯矩和剪力.找出危险截面：即扭矩和弯矩均较大(de)截面.由扭转和弯曲形变(de)特点,危险点在轴(de)表面.剪力产生(de)剪应力一般相对较小而且在中性轴上（弯曲正应力为零）.一般可不考虑剪力(de)作用.弯扭组合一般为复杂应力状态,应采用合适(de)强度理论作强度分析,强度计算公式：[]σ≤τ+σ=σ2234r[]σ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=σ2234P T r W M A P[]σ≤τ+σ=σ2243r[]σ≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=σ2243PT r W M A P 扭转与拉压(de)组合：杆件内最大正应力与最大剪应力一般不在横截面或纵截面上,应选用适当强度理论作强度分析.强度计算公式[]σ≤+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=τ+σ=σ22222231244T T r M M WW M W M[]σ≤+=τ+σ=σ2222475013T r M M W.七．超静定问题：总结：分析步骤关键点：变形协调条件—力力—简单超静定梁问题拉压压杆的超静定问⎪⎭⎪⎬⎫求解简单超静定梁主要有三个步骤：1) 解得超静定梁(de)多余约束而以其反力代替；2) 求解原多余约束处由已知荷载及“多余”约束反力产生(de)变形； 3)由原多余支座处找出变形协调条件,重立补充方程.能量法求超静定问题：⎰⨯=ldx U 022刚度内力⎰⎰⎰⎰A +I M +EI M +EA N =ρτl l l ldx G kQ dx G dx dx U 002202022222卡氏第一定理：应变能对某作用力作用点上该力作用方向上(de)位移(de)偏导数等于该作用力,即：i iP U=δ∂∂注1：卡氏第一定理也适用于非线性弹性体； 注2：应变能必须用诸荷载作用点(de)位移来表示.卡氏第二定理：线弹性系统(de)应变能对某集中荷载(de)偏导数等于该荷载作用点上沿该荷载方向上(de)位移,即i iP Uδ=∂∂*若系统为线性体,则：U U=*注1： 卡氏第二定理仅适用于线弹性系统；卡氏第二定理(de)应变能须用独立荷载表示.注2： 用卡氏定理计算,若得正号,表示位移与荷载同向；若得负号,表示位移与荷载反向.计算(de)正负与坐标系无关.八．压杆稳定性(de)主要概念压杆失稳破坏时横截面上(de)正应力小于屈服极限（或强度极限）,甚至小于比例极限.即失稳破坏与强度不足(de)破坏是两种性质完全不同(de)破坏.临界力是压杆固有特性,与材料(de)物性有关（主要是E）,主要与压杆截面(de)形状和尺寸,杆(de)长度,杆(de)支承情况密切相关.计算临界力要注意两个主惯性平面内惯矩I和长度系数μ(de)对应.压杆(de)长细比或柔度表达了欧拉公式(de)运用范围.细长杆（大柔度杆）运用欧拉公式判定杆(de)稳定性,短压杆（小柔度杆）只发生强度破坏而一般不会发生失稳破坏；中长杆（中柔度杆）既有强度破坏又有较明显失稳现象,通常根据实验数据处理这类问题,直线经验公式是最简单实用(de)一种.折剪系数ψ 是柔度 λ (de)函数,这是因为柔度不同,临界应力也不同.且柔度不同,安全系数也不同.压杆稳定性(de)计算公式：欧拉公式及ψ系数法（略）九． 动荷载、交变应力及疲劳强度 1.动荷载分析(de)基本原理和基本方法：1）动静法,其依据是达朗贝尔原理.这个方法把动荷(de)问题转化为静荷(de)问题.2） 能量分析法,其依据是能量守恒原理.这个方法为分析复杂(de)冲击问题提供了简略(de)计算手段.在运用此法分析计算实际工程问题时应注意回到其基本假设逐项进行考察与分析,否则有时将得出不合理(de)结果.构件作等加速运动或等角速转动时(de)动载荷系d k 为：stdd k σσ=这个式子是动荷系数(de)定义式,它给出了 d k (de)内涵和外延. d k (de)计算式,则要根据构件(de)具体运动方式,经分析推导而定.构件受冲击时(de)冲击动荷系数 d k 为：stdst d d k ∆∆σσ==这个式子是冲击动荷系数(de)定义式,其计算式要根据具体(de)冲击形式经分析推导而定.两个d k 中包含丰富(de)内容.它们不仅能给出动(de)量与静(de)量之间(de)相互关系,而且包含了影响动载荷和动应力(de)主要因素,从而为寻求降低动载荷对构件(de)不利影响(de)方法提供了思路和依据.2.交变应力与疲劳失效基本概念：应力循环,循环周期,最大、最小循环应力,循环特征(应力比),持久极限,条件持久极限,应力集中系数,构件(de)尺寸系数,表面质量系数,持久极限曲线等.应力寿命曲线：表示一定循环特征下标准试件(de)疲劳强度与疲劳寿命之间关系(de)曲线,称应力寿命曲线,也称S —N 曲线：持久极限曲线：构件(de)工作安全系数：m a r k n σψ+σβεσ=σσ=σσσ-σ1max构件(de)疲劳强度条件为：nn ≥σ十.平面图形(de)几何性质：意义总结：计算公式、物理心主惯矩及其计算公式惯性主轴、主惯矩、形惯矩、惯积的转轴公式公式惯矩、惯积的平行移轴性积及其求解惯性矩、极惯性矩、惯静矩、形心及其求解⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫1.静矩：平面图形面积对某坐标轴(de)一次矩.定义式：⎰=Ay zdA S ,⎰=Az ydA S量纲为长度(de)三次方.2. 惯性矩：平面图形对某坐标轴(de)二次矩.⎰=Ay dA z I 2,⎰=Az dA y I 2量纲为长度(de)四次方,恒为正.相应定义：惯性半径AI i y y =,AI i zz=为图形对y 轴和对 z轴(de)惯性半径.3. 极惯性矩：⎰=Ap dA I 2ρ因为222zy +=ρ所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系：()z y Ap I I dA z y I +=+=⎰224. 惯性积：⎰=Ayz yzdA I定义为图形对一对正交轴y 、z轴(de)惯性积.量纲是长度(de)四次方. yz I 可能为正,为负或为零. 5. 平行移轴公式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=abA II A b I I A a I I C C CC z y yzz z y y 226. 转轴公式：αα2sin 2cos 22211yz zy zy Ay I I I I I dA z I ---+==⎰αα2sin 2cos 221yz zy zy z I I I I I I +--+=αα2cos 2sin 211yz zy z y I I I I +-=7. 主惯性矩(de)计算公式：()2242120yzz y z y y I I I I I I +-++=()2242120yzz y zy z I I II I I +--+=截面图形(de)几何性质都是对确定(de)坐标系而言(de),通过任意一点都有主轴.在强度、刚度和稳定性研究中均要进行形心主惯性矩(de)计算.。
材料力学基本概念和公式
材料力学基本概念和公式第一章绪论第一节材料力学的任务1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。
2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。
3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与计算方法。
第二节材料力学的基本假设1.连续性假设:材料无缝填充整个组件。
2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。
木材是各向异性材料。
第三节内力1.内力:受力后变形引起的构件内部零件之间的相互作用力。
2.截面法:用假想截面将构件分成两部分以显示和确定内力的方法。
3、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，一分为二；②取一部分，得到分离体；③对分离体建立平衡方程，求得内力。
第五节变形与应变1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。
除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。
2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。
3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。
4.小变形条件:材料力学研究的问题仅限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。
在构件的受力分析中，变形可以忽略。
5、线应变：。
线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。
6、切应变：。
切应变为无量纲量，切应变单位为rad。
第六节杆件变形的基本形式1、材料力学的研究对象：等截面直杆。
2、杆件变形的基本形式：拉伸（压缩）、扭转、弯曲第二章拉伸、压缩与剪切第一节轴向拉伸（压缩）的特点1.机械特性:合力的作用线与杆的轴线重合。
2.变形特性:沿杆轴的伸长和缩短。
第六节拉伸、压缩超静定问题1.静不定和静不定的概念:所有未知力都可以从静力平衡方程中求得的问题称为静不定问题。
静力平衡方程不能求解所有未知力的问题称为超静定问题。
材料力学基本概念和公式
材料力学基本概念和公式材料力学是研究材料在受到外力作用下的变形和破坏行为的一门学科。
下面将简要介绍材料力学的基本概念和公式。
1.伸长量（ε）：伸长量是材料在受到拉伸力作用下的长度变化与原始长度之比，可以表示为ε=ΔL/L0，其中ΔL是材料受力后的长度变化，L0是材料的原始长度。
2.弹性模量（E）：弹性模量是材料表征其抵抗拉伸或压缩变形能力的物理量，定义为材料受应力作用下的应力与应变之比，可以表示为E=σ/ε，其中σ是材料受到的应力。
3.屈服强度（σy）：屈服强度是材料在受力过程中产生塑性变形的应力阈值，物理上可以看作是材料从弹性到塑性变形的过程。
屈服强度可以表示为σy=Fy/A，其中Fy是材料引起塑性变形的应力，A是材料的横截面积。
4.断裂强度（σf）：断裂强度是材料在受到应力作用下发生破坏的最大阈值，表示材料的抗拉抗压能力。
断裂强度可以表示为σf=Ff/A，其中Ff是材料破坏时受到的应力。
5. 牛顿第二定律（F = ma）：材料力学中的牛顿第二定律与经典物理学中的类似，描述了材料在受到外力作用下的加速度与作用力之间的关系。
6.雪松方程（σ=Eε）：雪松方程是描述线性弹性材料受力变形关系的基本公式，其中σ为材料受到的应力，E为弹性模量，ε为材料的应变。
7.线性弹性材料的胡克定律（σ=Eε）：对于线弹性材料来说，应力和应变之间的关系可以遵循胡克定律。
即材料的应力是弹性模量和应变的乘积。
8.悬臂梁挠度公式（δ=(Fl^3)/(3EI)）：悬臂梁的挠度可以通过公式计算，其中F为外力作用在梁上的力，l为悬臂梁的长度，E为横截面的弹性模量，I为横截面关于挠曲轴的转动惯量。
9.铰接梁挠度公式（δ=(Fl^3)/(48EI)）：铰接梁的挠度可以通过公式计算，其中F为外力作用在梁上的力，l为铰接梁的长度，E为横截面的弹性模量，I为横截面关于挠曲轴的转动惯量。
10.压缩应力（σc）：压缩应力是材料在受到压缩力作用下的应力，可以表示为σc=F/A，其中F为材料受到的压缩力。
材料力学第1章材料力学基本概念
两种状态
（1） 承载力极限状态—强度、稳定性 （2） 正常使用极限状态—刚度
1.1.2.3 材料力学的任务
可靠性与经济性
可靠性要求 构件截面尺寸增大 经济性要求 构件截面尺寸减小
材料力学的任务
为解决构件设计中可靠性与经济性的 这一对矛盾提供理论依据 保证可靠的前提下，尽可能经济
F dF s lim A 0 A dA
应力s 的方向就是内力F 的方向
应力的分量
应力沿截面法线方向的分量，称为法向应力（normal stress）或正应力，用 表 示
应力平行于截面的分量，称为切向应力、切应力（ shear stress）或 剪应力，用 表 示
应力的单位 基本单位：N/m2=Pa 常用单位：kN/m2=kPa 帕 千帕
杆系结构
1.1.2 材料力学的任务
结构与构件的概念
结构：能承受作用并具有适当刚度的由各连接部件有 机组合而成的系统 结构构件：结构在物理上可以区分出的部件
结构构件：屋盖、楼板、梁、柱、基础 非结构构件：门、窗、隔墙
1.1.2.1 结构的功能要求
安全性 各能 整发 偶 种够 体生 然 结构功 作 承 稳 保 事 良好的工作性能 能要求 用受 定持 件 不裂 不挠 发生火灾时，在规定时 耐久性 宽缝 大度 间内可保持足够承载力 发生撞击、爆炸时，整体稳定性 结构在规定的工作环境中、预定时期 内，材料性能的劣化不致导致结构出 现不可接受的失效概率 适用性
研究基本变形杆件之 强度条件 刚度条件 稳定性条件
1.2.1 基本假定
连续性假定
材料宏观上无间隙，连续分布于所占据的空间 物理量是空间位置的连续函数
材料力学的基本概念
三、胡克定律 应力 正应力 切应力
正应变 应变
切应变
1、单向应力状态：
E
E 称为弹性模量
2、纯剪切
G
G 称为切变模量
ε ：M点沿Ma方向的正应变。
正应变：即单位长度的变形量。无量纲量，其 物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小。
切应变：即一点单元体两棱边直 角的改变量。无量纲量，单位为： rad
思考题
二、单向应力、纯剪切与切应力互等定理 在构件的同一截面上，不同点的应力一般不同，
同时，在通过同一点的不同方位的截面上，应力 一般也不同。 最基本、最简单的两种形式：单向应力状态和纯剪切。
1）截：欲求某一截面的内力， 沿该截面将构件假想地截成两 部分。 2）取：取其中任意部分为研 究对象，而弃去另一部分。
3）代：用作用于截面上的内 力，代替弃去部分对留下部分 的作用力。 4）平：建立留下部分的平衡 条件，确定未知的内力。
3.应力
定义：横截面上单位面积的内力集
度。
pm
F A
pm —— 在ΔA上的平均应力，矢量。
pLeabharlann limA0pm
lim
A0
F A
dF dA
M A
p —— M点的应力，矢量。
垂直于截面的分量——正应力—— 相切于截面的分量——切应力——
国际单位制：Pa(N/m2)、 MPa 、GPa
5.应变
在变形固体中取一微单元体。 = u s
：平均线应变（线段Ma单位长度的 平均变形）。 lim u s0 s
材料力学概念及基础知识
材料力学概念及基础知识材料力学是一门研究构件承载能力的科学，其任务是在保证安全和经济的前提下，研究构件的强度、刚度和稳定性问题。
强度是指构件抵抗破坏的能力，刚度是指构件抵抗变形的能力，稳定性是指构件保持初始直线平衡形式的能力。
为了研究这些问题，材料力学假设构件内均匀充满物质，并且在各个方向力学性质相同。
在材料力学中，内力是指构件内由于发生变形而产生的相互作用力。
计算内力的方法是通过截面法，包括四个步骤：截、留、代、平。
应力是在某个面积上内力分布的集度，单位为Pa。
正应力是垂直于截面的应力，而剪应力是平行于截面的应力。
材料力学研究的基本变形包括拉伸或压缩、剪切、扭转和弯曲。
拉压变形发生在外力的作用线与构件轴线重合时，此时会产生轴力。
计算某个截面上轴力的大小等于该截面的一侧各个轴向外力的代数和，其中离开该截面的外力取正。
轴力图的绘制步骤是先画出水平线作为X轴，然后以外力的作用点为界将轴线分段。
最后，材料力学的研究对象包括杆件、板壳和块体等构件。
为了完成材料力学的任务，理论分析和实验研究都是必不可少的手段。
材料力学主要研究构件的强度、刚度和稳定性理论。
其中，杆件包括直杆（轴线为直线）和曲杆（轴线为曲线）。
杆件受到大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用时，杆件的横截面会产生相对转动。
变形性质可以分为弹性变形和塑性变形。
研究内力的方法是截面法，而表示内力密集程度的指标是应力。
基本变形有轴向拉伸或压缩、剪切、扭转和弯曲。
轴力图可以表示轴力与横截面积的关系。
平面假设是指受轴向拉伸的杆件，在变形后横截面积仍保持不变的情况下，两平面相对位移了一段距离。
应力集中是指在某些局部位置，应力骤然增大的现象。
低碳钢的四个表现阶段是弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和局部变形阶段。
材料强度性能的主要指标是屈服强度和抗拉强度，而塑性指标主要是伸长率和断面收缩率。
材料的脆性和塑性可以通过延伸率来区分。
连接杆主要有铆钉链接、螺栓链接、焊接、键连接和销轴链接。
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一、基本概念1 材料力学的任务是：研究构件的强度、刚度、稳定性的问题，解决安全与经济的矛盾。
2 强度：构件抵抗破坏的能力。
3 刚度：构件抵抗变形的能力。
4 稳定性：构件保持初始直线平衡形式的能力。
5 连续均匀假设：构件内均匀地充满物质。
6 各项同性假设：各个方向力学性质相同。
7 内力：以某个截面为分界，构件一部分与另一部分的相互作用力。
8 截面法：计算内力的方法，共四个步骤：截、留、代、平。
9 应力：在某面积上，内力分布的集度(或单位面积的内力值)、单位Pa。
10 正应力：垂直于截面的应力(σ)11 剪应力：平行于截面的应力()12 弹性变形：去掉外力后，能够恢复的那部分变形。
13 塑性变形：去掉外力后，不能够恢复的那部分变形。
14 四种基本变形：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。
二、拉压变形15 当外力的作用线与构件轴线重合时产生拉压变形。
16 轴力：拉压变形时产生的内力。
17 计算某个截面上轴力的方法是：某个截面上轴力的大小等于该截面的一侧各个轴向外力的代数和，其中离开该截面的外力取正。
18 画轴力图的步骤是：①画水平线，为X轴，代表各截面位置；②以外力的作用点为界，将轴线分段；③计算各段上的轴力；④在水平线上画出对应的轴力值。
（包括正负和单位）19 平面假设：变形后横截面仍保持在一个平面上。
20 拉（压）时横截面的应力是正应力，σ=N/A21 斜截面上的正应力：σα=σcos²α22 斜截面上的切应力：α=σSin2α/223 胡克定律：杆件的变形时与其轴力和长度成正比，与其截面面积成反比，计算式△L=NL/EA（适用范围σ≤σp）24 胡克定律的微观表达式是σ=Eε。
25 弹性模量（E）代表材料抵抗变形的能力（单位Pa）。
26 应变：变形量与原长度的比值ε=△L/L（无单位），表示变形的程度。
27 泊松比（横向变形与轴向变形之比）μ=∣ε1/ε∣28 钢（塑）材拉伸试验的四个过程：比例阶段、屈服阶段、强化阶段、劲缩阶段。
29 比例极限σp ：比例阶段的最大应力值。
30 屈服极限σs ：屈服阶段的最小应力值。
31 强化极限σb ：断裂前能承担的最大应力值。
32 脆、塑材料的比较：①脆材无塑性变形，抗压不抗拉；塑材抗拉也抗压。
②脆材对应力的集中的反应敏感，塑材不敏感。
33 应力集中：在形状变化处，应力特别大的现象。
34 延伸率：拉断后，变形量与原长的比值(δ=△L1/L，≥5%为塑材)35 冷作硬化：进入强化阶段后，卸载再重新加载，比例极限增大的现象。
38 极限应力σjx：失去承载能力时的应力39 许用应力〔σ〕:保证安全允许达到的最大应力。
42 计算思路：外力内力应力。
43 超静定问题：未知力多于平衡方程个数的问题（用平衡方程不能或不能全部计算出构件的外力）。
44 计算超静定问题：除平衡方程以外，更需依据变形实际建立补充方程。
45 剪力：平行于截面的内力（Q），该截面称作剪切面。
46 单剪：每个钉有一个剪切面。
双剪：每个钉有两个剪切面。
48 挤压力：两构件相互接触面所承受的压力。
三、扭转1 外力偶矩的矢量方向与杆件的轴线重合时杆件发生（扭转）变形。
杆件的两个相邻截面发生绕轴线的相对转动。
2 传动轴所传递的功P(kw)，转速n(r/min),则此外力偶矩为Me=9.549P/n(N*m)。
3 扭转变形时，杆件横截面上的内力称扭矩。
表示各截面上扭矩大小的图形，称作扭矩图。
4 两正交线之间的直角的改变量（），称为剪应变。
表示剪切变形的严重程度。
5 剪切胡克定律τ=G，式中G称为材料剪切弹性模量。
6 薄壁扭转构件横截面上某点的剪应力n δ，式中为圆形横截面包围的面积，δ为该点处的壁厚。
7 Ip=∫Aρ²dA称为截面的极惯性矩。
四、弯曲应力：1 梁弯曲时，作用线与横截面平行的内力，称为剪力。
数值上等于该截面之左侧或右侧梁上各个横向外力的代数和，绕截面顺转的力为正。
2 梁弯曲时，作用面垂直于轴线的内力偶矩，称为弯矩。
数值上等于该截面之左侧或右侧梁上各个外力（包括力偶）对截面力矩的代数和，使截面处产生凹变形的力矩为正。
3 无均布载荷梁段，剪力为水平直线。
无剪力（零）的梁段，弯矩为水平直线。
在集中力作用的截面，剪力图上发生转折，在集中力偶作用的截面，弯矩图上发生跃变。
在剪力为零的截面，弯矩有极大值。
最大弯矩发生在Q=0 ，集中力偶两侧、悬臂梁根部和集中力的截面上。
Iz=∫Ay²dA称为截面的轴惯性矩。
式中y是微面积dA到中性轴的距离。
中性轴通过截面的形心，是拉压区的分界线。
五、弯曲时的位移1 挠度是梁弯曲时横截面的形心在垂直于梁轴线方向的位移。
2 转角是梁变形时横截面绕其中性轴旋转的角度。
六、超静定问题1 使用静力平衡方程不能求出结构或构件全部约束力或内力的问题。
2 多余约束力解除维持构件平衡的多余约束后，以力代替该约束对构件的作用力。
变形协调方程多余约束力与基本力共同作用的变形满足梁的约束条件。
七、应力状态和强度理论1 应力状态：受力构件内部一点处不同方位截面应力的集合。
单元体：围绕构件内一点处边长为无穷小的立方体。
主平面：单元体上剪力为零的截面4 截面核心：压力作用线通过此区域，受压杆横截面上无拉应力。
5 弯矩扭合构件选用空心圆形截面比较合理。
九、压杆稳定1 稳定性：受压杆件保持原有直线平衡形式的能力。
2 临界力Pcr：受压杆件能保持稳定的最大压力。
9 提高稳定措施：①环形截面；②减小长度；③固定牢固。
冷拉是在常温条件下，以超过原来钢筋屈服点强度的拉应力，强行拉伸钢筋，使钢筋产生塑性变形以达到提高钢筋屈服点强度和节约钢材为目的。
冷拔-是材料的一种加工工艺，对于金属材料，冷拔指的是为了达到一定的形状和一定的力学性能，而在材料处于常温的条件下进行拉拔。
冷拔的产品较之于热成型有：尺寸精度高和表面光洁度好的优点。
第一章绪论§1.1 材料力学的任务二、基本概念1、构件：工程结构或机械的每一组成部分。
（例如：行车结构中的横梁、吊索等）材料力学—研究变形体，研究力与变形的关系。
2、变形：在外力作用下，固体内各点相对位置的改变。
(宏观上看就是物体尺寸和形状的改变）弹性变形—随外力解除而消失塑性变形(残余变形)—外力解除后不能消失刚度：在载荷作用下，构件抵抗变形的能力3、内力：构件内由于发生变形而产生的相互作用力。
（内力随外力的增大而增大）强度：在载荷作用下，构件抵抗破坏的能力。
4、稳定性：在载荷作用下，构件保持原有平衡状态的能力。
强度、刚度、稳定性是衡量构件承载能力的三个方面，材料力学就是研究构件承载能力的一门科学。
三、材料力学的任务材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法研究构件的强度、刚度和稳定性,还需要了解材料的力学性能。
因此在进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。
四、材料力学的研究对象构件的分类：杆件、板壳*、块体*材料力学主要研究杆件﹜直杆——轴线为直线的杆曲杆——轴线为曲线的杆等截面杆——横截面的大小形状不变的杆变截面杆——横截面的大小或形状变化的杆等截面直杆——等直杆§1.2 变形固体的基本假设在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体。
在材料力学中，对变形固体作如下假设：1、连续性假设：认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质灰口铸铁的显微组织球墨铸铁的显微组织2、均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同普通钢材的显微组织优质钢材的显微组织3、各向同性假设：认为在物体内各个不同方向的力学性能相同（沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性材料。
如木材、胶合板、纤维增强材料等）4、小变形与线弹性范围：认为构件的变形极其微小，比构件本身尺寸要小得多。
如右图，δ远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的变形略去不计。
计算得到很大的简化。
§1.3 外力及其分类外力：来自构件外部的力（载荷、约束反力）按外力作用的方式分类体积力：连续分布于物体内部各点的力。
如重力和惯性力表面力：分布力：连续分布于物体表面上的力。
如油缸内壁的压力，水坝受到的水压力等均为分布力集中力：若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。
按外力与时间的关系分类静载：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，就保持不变或变动很不显著，称为静载动载：载荷随时间而变化。
如交变载荷和冲击载荷§1.4 内力、截面法和应力的概念内力：外力作用引起构件内部的附加相互作用力。
求内力的方法—截面法(1)假想沿m-m横截面将杆切开(2)留下左半段或右半段(3)将弃去部分对留下部分的作用用内力代替(4)对留下部分写平衡方程，求出内力的值。
§1.4 内力、截面法和应力的概念为了表示内力在一点处的强度，引入内力集度,即应力的概念。
§1.5 变形与应变1.位移：MM' 刚性位移；变形位移。
2.变形：物体内任意两点的相对位置发生变化。
取一微正六面体两种基本变形：线变形——线段长度的变化角变形——线段间夹角的变化3.应变正应变（线应变）x方向的平均应变：切应变（角应变）杆件的基本变形：拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲第二章拉伸、压缩与剪切(1)§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例受力特点与变形特点：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2、轴力：截面上的内力由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。
所以称为轴力。
4、轴力图：轴力沿杆件轴线的变化杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。
必须用应力来比较和判断杆件的强度。
在拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力。
根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。
观察变形：平面假设—变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
从平面假设可以判断：（1）所有纵向纤维伸长相等（2）因材料均匀，故各纤维受力相等（3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量§2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时却是沿斜截面发生的§2.4 材料拉伸时的力学性能一试件和实验条件：常温、静载二低碳钢的拉伸明显的四个阶段1、弹性阶段ob2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）4、局部径缩阶段ef两个塑性指标: 断后伸长率断面收缩率δ＞5%为塑性材料δ＜5%为脆性材料低碳钢的S≈20-30% ψ≈60%为塑性材料三卸载定律及冷作硬化1、弹性范围内卸载、再加载2、过弹性范围卸载、再加载材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这就是卸载定律。