流体力学(相似原理与_)

流量：
Qp Qm
或

v p Ap vm Am Qp
 v l2
Qm 
v l2
按以上步骤，便可实现原型、模型流动在相应准则控制下的流 动相似。
例1：一桥墩长lp =24m，墩宽bp=4.3m，水深hp=8.2m，河中水 流平均流速vp=2.3m/s，两桥台的距离Bp=90m。取 =50来设计水工
vp vm
Qp
因为
Qm
Qm 

v p Ap vm Am
2 l
所以
Q p vm
l2 v p
2.3  (90  4.3)  8.2  0.325 3   0 . 091 ( m / s) 2 50  2.3
例 2：汽车高 hp=1.5m，最大行速为 108km/h ，拟在风洞中测定 其阻力。风洞的最大风速为 45m/s ，问模型的最小高度为多少？若 模型中测得阻力为1.50kN，试求原型汽车所受的阻力。 解：（1）求模型的最小高度hm 对于分析气体阻力问题，可按雷诺准则计算。雷诺准则为
粘性力比尺
于是
Tp
 p p Ap
du p
 l2 2 v    l v
化简后
l  v 1 
v pl p
或者
即
p
雷诺数

vmlm
m
—— 无量纲数
( Re ) p  ( Re ) m
上式说明，若作用在流体上的力主要是粘性力时，两个流动动 力相似，它们的雷诺数应相等。反之，两个流动的雷诺数相等，则 这两个流动一定是在粘性力作用下动力相似。
l
模型试验，试求模型各几何尺寸和模型中的平均流速和流量。
解：（1）模型的各几何尺寸
由给定的
l
= 50 直接计算
24   0.48(m) l 50 桥墩宽 b  b p  4.3  0.086(m) m l 50
桥墩长 l m 
lp
90 桥台距离 Bm    1.80(m) l 50
对应角相等 θp = θm
以角标p表示原型(prototype)，m表示模型(model)。 线性尺寸成比例
l 
lp lm

dp dm
式中λl——长度比尺； lp——原型某一部位长度； lm——模型对应部位的长度。
面积比尺
A 
体积比尺
Ap Am

2 lp 2 lm
 l2
v 
Vp Vm
第五章 相似原理与量纲分析
流动相似 相似准则 模型试验 量纲分析
§5－1
流动相似
几何相似
运动相似 动力相似
初始条件和边界条件的相似
原型：流体实际流动的实物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的 代表物，称为模型。
模型试验：依据相似原理把流体流动原型按一定比例缩小制成
模型，模拟与实际情况相似的流体进行观测和分析研究，然后将模 型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。 关键问题：模型流体和原型流体保持流动相似。
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界 上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等 。
五、流动相似的含义
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流 动。
Fm  2 2  m lm vm
—— 无量纲数
F Ne  2 2 l v
在相似原理中称为牛顿数Ne
∴
( Ne ) p  ( Ne ) m
上式说明，两个流动动力相似，它们的牛顿数相等；反之两个
流动的牛顿数相等，则两个流动动力相似。 在相似原理中，两个动力相似流动中的无量纲数，如牛顿数， 称为相似准数。动力相似条件（相似准数相等）称为相似准则。
§ 5－ 2
相似准则
雷诺准则 佛汝德准则 欧拉准则
§5－2 相似准则
在模型实验中，只要使其中起主导作用外力满足相似条件，就 能够基本上反映出流体的运动状态。
一、雷诺准则
作用在流体上的力主要是粘性力。 牛顿内摩擦定律 粘性力 T  A du  A du
dy
dy
dy p T       l v dum Tm  m m Am dym 由于作用力仅考虑粘性力，F = T ，即  f  T
p Eu  v 2
则 所以
pm  2 2  p v p  m vm
pp
—— 无量纲数
(Eu) p  ( Eu) m
上式说明，若作用在流体上的力主要是压力，两个流动动力相 似，则它们的欧拉数应相等。反之，两个流动的欧拉数相等，则这 两个流动一定是在压力作用下动力相似。
§ 5－ 3
模型试验
化简得：
 1  g l
2 v
或 所以
v
2 p
g pl p
2 vm  g mlm
—— 无量纲量
v2 佛汝德数 Fr  gl
( Fr ) p  ( Fr ) m
上式说明，若作用在流体上主要是重力，两个流动动力相似，
它们的佛汝德数相等，反之，两个流动的佛汝德数相等，则这两个 流动一定是在重力作用下动力相似。



物理量x的性质可由量纲指数α，β，γ来反映。 ●如α，β，γ有一个不为零，则x为有量纲量。 也称纯数。
●如α，β，γ均为零，即dim x =L0 T0 M0 = 1,则称x为无量纲量，
●基本量与导出量适当组合可以组合成无量纲量。
无量纲量有如下特点： ①量纲表达式中的指数均为零； ②没有单位； ③量值与所采用的单位制无关。 ●由于基本量是彼此互相独立的，故它们之间不能组成无量纲 量。
l v 1 
由于   1 ， 故
vm l   v v p 1
vp
108 1000 hm   hp  1.5   1(m) l vm 45 3600
hp
（2）求原型汽车所受的阻力 由在推导牛顿数得到的力的比尺为
 f   l2 2 v
v  1 l ， 则 此处   1 ，
流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、
各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似
的。 模型和原型保证流动相似，应满足： 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似
一、几何相似
几何相似是指原型与模型的外形相似，其各对应角相等，而且 对应部分的线尺寸均成一定比例。
则
 v  l
（1）
通常λg = 1，则上式为
v 
l
（2）
要同时满足雷诺准则和佛汝德准则两个条件，式（1）和式（2） 32 相等。即得：  

l
要实现两流动相似，一是模型的流速应为原型流速的 1 / l 倍； 2 二是必须按   来选择运动粘度的比值，但通常这后一条件难 3 l 于实现。 若模型与原型采用同一种介质，即   1 ，根据粘性力和重 力的相似，由式（1）和式（2），有如下的条件：
dim x  L T  M 
（1）
dim x  L T  M 
导出量纲 速度 加速度 密度 力 压强 dim v = LT-1 dim a = LT-2 dim ρ= M L-3 dim F = M L T-2 dim p = M L-1 T-2
2、无量纲量
量纲公式 dim x  L T M

l3 p
3 lm
 3 l
由上式可知，几何相似是通过长度比尺λl来表示的。只要任一 对应长度都维持固定的比尺关系λl，就保证了流动的几何相似。
二、运动相似
运动相似是指原型与模型两个流动的流速场和加速度场相似。
要求两个流场中所有对应的速度和加速度的方向对应一致，大小都 维持固定的比例关系。 速度比尺
问题1：运动粘度的量纲是： (C)
A. L/T2； B. L/T3 C. L2/T； D. L3/T。
问题2：速度v，长度l，重力加速度 g 的无量纲集合是： (D) 2 l v v lv A. B. gl C. gv D. gl g 问题3：速度v, 密度ρ, 压强 p 的无量纲集合是： (D)
2 a  l t
因为
V  3 l
则
 f     l 
3 l
2 t
即
Fp Fm

2 2  pl p vp 2 2  mlm vm
 l       t
2 l
 2 2      l v  
2
上式可写成
Fp
 l v
2 p p
2 p
模型律的选择 模型设计
§5－3 模型试验
模型的设计，首先要解决模型与原型各种比尺的选择问题，即 所谓模型律的问题。
一、模型律的选择
在进行模型设计时，根据原型的物理量确定模型的量值，这就 是模型律的选择，模型律的选择应依据相似准则来确定。
现在仅考虑粘性力与重力同时满足相似。
由雷诺准则
由佛汝德准则
l  v 1  2 v 1  g l
u 
up um tp tm
up um  lp tp lm t m
时间比尺 则
t 
u 
l  t
l p t p 2  ( )  l t 2 lm t m
加速度比尺
a 
ap am

lp t2 p lm t
2 m
由于各相应点速度成比例，所以相应断面平均流速有同样的速 度比尺，即
二、佛汝德准则
作用在流体上的力主要是重力。即：重力
重力比尺
G = mg = ρVg
 pV p g p G       g 3 l Gm  mVm g m
Gp
由于作用力F中仅考虑重力G，因而 F = G，即λf = λG 于是
3  l2 2     v  g l
示为dim v。
量纲可分为基本量纲和导出量纲。 基本量纲必须具有独立性，不能从其它基本量纲推导出来，而
且可以用它来参与表示其它各物理量的量纲。在流体力学中常用长
度、时间、质量（L、T、M）作为基本量纲。 由基本量纲推导出来的量纲，称导出量纲。它可用三个基本量 纲的指数乘积形式来表示。对于任何一个物理量x，其量纲可写作
2  l  f  l2 2  1 v 2 l
故
Fp  Fm  1.50kN
§5－4 量纲分析
量纲和量纲和谐原理
量纲分析法
一、量纲(dimension)和量纲和谐原理
1、量纲
表示物理量的种类，称为这个物理量的量纲（或称因次）。
同一物理量，可以用不同的单位来度量，但只有唯一的量纲。 在物理量的代表符号前面加“dim” 表示量纲，例如速度 v 的量纲表
水深
Bp
8.2 hm    0.164(m) l 50
hp
（2）模型平均流速与流量 对一般水工建筑物的流动，起主要作用的是重力，所以模型试 验只需满足佛汝德准则。即
2 v 1  g l
，模型的流速为
在此λg = 1，则
v  l
vp
vm 
模型流量为
l

2.3 50

 0.325(m / s)
三、欧拉准则
作用在流体上的力主要是压力P。即：压力
压力比尺 P 
P = pA
Pp Pm

p p Ap pm Am
  p l2
Baidu Nhomakorabea
由于作用力F中只考虑压力P，因而 F = P，即 于是可得 化简得 欧拉数
2  l2 2    v p l
 f  P
p 1 2   v
流场中所有对应点的各种作用力的方向对应一致，大小都维持固定 比例关系。 即
f 
Fp Fm
式中 Fp——原型某点上的作用力； Fm——模型对应点上的作用力。 由牛顿第二定律：F = ma = ρV a 则力的比尺为
 pV p a p f      V a Fm  mVm am
Fp
v 
1
l
v  l
显然，要同时满足以上两个条件，则
小，失去了模型实验的价值。
l  1
,即模型不能缩
从上述分析可见，一般情况下同时满足两个或两个以上作用力
相似是难以实现的。
二、模型设计
模型设计首先定出长度比尺
l ，再以选定的比尺 l 缩
小（或放大）原型的几何尺度，得出模型流动的几何边界。 通常，模型和原型采用同一种类流体，则     1 ，然后按 所选用的相似准则确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型流的
v 
vp vm
 u
由上可知，运动相似是通过长度比尺λl和时间比尺λt来表示的。 长度比尺已由几何相似定出。 因此，运动相似就规定了时间比尺，只要对任一对应点的流速 和加速度都维持固定的比尺关系，也就是固定了长度比尺λl和时间 比尺λt，就保证了运动相似。
三、动力相似
动力相似是指原型与模型两个流动的力场几何相似。要求两个